ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3482
Скачиваний: 14
§
28. Инвариантные подпространства. Разложение операторов
197
(
a
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
оператора
A
имеет вид
a
11
. . . a
1
k
a
1(
k
+1)
. . .
a
1
n
...
...
...
...
...
...
a
k
1
. . . a
kk
a
k
(
k
+1)
. . .
a
kn
0
. . .
0
a
(
k
+1)(
k
+1)
. . . a
(
k
+1)
n
...
...
...
...
...
...
0
. . .
0
a
n
(
k
+1)
. . .
a
nn
.
(1)
Определенного вида матрицы из
M atr
n
(
K
)
(в частности, матрицу вида
(1)) удобно записывать в виде
A
=
A
11
A
12
. . .
A
1
m
A
21
A
22
. . .
A
2
m
...
...
...
...
A
m
1
A
m
2
. . .
A
mm
= (
A
ij
)
,
(2)
где
A
ij
,
1
≤
i, j
≤
m
- прямоугольные матрицы (части матрицы
A
) при этом
число строк у каждой матрицы
A
ij
совпадает с числом столбцов матрицы
A
ji
.
Следовательно,
A
11
,
A
22
, . . . ,
A
mm
- квадратные матрицы. Произведени-
ем двух блочно-диагональных матриц
A
= (
A
ij
)
,
B
= (
B
ij
)
,
1
≤
i, j
≤
m
является
(непосредственная проверка) матрица
C
= (
C
ij
)
,
где
C
ij
=
=
n
P
k
=1
A
ik
B
kj
,
1
≤
i, j
≤
m
(считается, что матрицы
A
ij
и
B
ij
,
1
≤
i, j
≤
m
имеют одинаковое количество строк и столбцов).
Определение 3.
Матрица
A ∈
M atr
n
(
K
)
вида (2) называется
блочно-
верхнетреугольной (блочно-нижнетреугольной)
, если
A
ij
= 0
∀
j < i
(соот-
ветственно
A
ij
= 0
∀
i < j
). Матрица
A
называется блочно-диагональной,
если все матрицы вида
A
ij
, i
6
=
j
нулевые.
Ясно, что матрица (1) может быть представлена в виде блочно-верхне-
треугольной матрицы вида
A
11
A
12
0
A
22
.
(3)
Непосредственно из определения определителя матриц следует
198
Глава 3. Линейная алгебра
Т е о р е м а 2.
Если
A ∈
M atr
n
(
K
)
- блочно-верхнетреугольная (или
блочно-нижнетреугольная) матрица вида (2), то
det
A
=
det
A
11
· · ·
det
A
mm
.
В частности, характеристический многочлен
p
A
матрицы
A
имеет вид
p
A
(
λ
) =
p
A
11
(
λ
)
· · ·
p
A
mm
(
λ
)
.
Следствие.
Для спектра матрицы
A
(из теоремы 2) имеет место равен-
ство
σ
(
A
) =
σ
(
A
11
)
S
σ
(
A
22
)
S
· · ·
S
σ
(
A
mm
)
.
Еще проще поддаются изучению блочно-диагональные матрицы. Име-
ет место
Т е о р е м а 3.
Блочно-диагональная матрица
A
вида (2) обратима
тогда и только тогда, когда обратимы все матрицы
A
ii
, i
= 1
, . . . , m,
причем
матрица
A
−
1
блочно-диагональная и имеет вид
A
−
1
=
A
−
1
11
0
. . .
0
0
A
−
1
22
. . .
0
...
...
...
...
0
0
. . .
A
−
1
mm
.
Пусть
M
-
инвариантное
подпространство
линейного
оператора
A
∈
L
(
X
)
и допустим, что
X
=
M
⊕
N
. Инвариантность подпространства
M
не влечет инвариантность подпространства
N.
Однако, если
N
- инвари-
антное подпространство оператора
A
, то имеет место
Лемма 2.
В
X
существует базис такой, что матрица
A
= (
a
ij
)
опера-
тора
A
имеет блочно-диагональный вид (3), где
A
12
= 0
.
Доказательство аналогично доказательству леммы 1. Только в данном
случае векторы
e
k
+1
, . . . , e
n
следует взять в качестве базиса в
N
.
Результат леммы 2 приводит к необходимости следующего определения.
Определение 4.
Если линейное пространство
X
является прямой сум-
мой
m
инвариантных
относительно
оператора
A
∈
L
(
X
)
подпрост-
§
28. Инвариантные подпространства. Разложение операторов
199
ранств
X
i
, i
= 1
, . . . , m
(
X
=
X
i
⊕ · · · ⊕
X
m
)
,
то будем говорить,
что
A
приводится (разлагается) семейством подпространств
X
1
, X
2
, . . . , X
m
.
Пусть оператор
A
∈
L
(
X
)
приводится семейством подпространств
X
1
,
X
2
, . . . , X
m
из
X
. Символом
A
k
обозначим сужение (часть) оператора
A
на
подпространство
X
k
(1
≤
k
≤
m
)
.
Оператор
A
будем записывать в виде
A
=
A
1
⊕
A
2
⊕ · · · ⊕
A
m
.
(4)
и называть
прямой суммой
операторов
A
1
, . . . , A
m
.
Представление (4) будем
называть
разложением
оператора
A
относительно прямой суммы
X
=
X
1
⊕
· · · ⊕
X
m
.
Эта запись обосновывается тем, что если каждый вектор
x
∈
X
записать
в виде
x
=
x
1
+
· · ·
+
x
m
, где
x
k
∈
X
k
,
1
≤
k
≤
m,
то
Ax
=
Ax
1
+
Ax
2
+
· · ·
+
Ax
m
=
A
1
x
1
+
A
2
x
2
+
· · ·
+
A
m
x
m
.
Итак,
Ax
=
A
1
x
1
+
A
2
x
2
+
· · ·
+
A
m
x
m
, x
=
x
1
+
· · ·
+
x
m
.
(5)
Т е о р е м а 4.
Пусть
A
∈
L
(
X
)
- оператор простой структуры и
σ
(
A
)
=
{
λ
1
, . . . , λ
m
}
.
Тогда оператор
A
допускает разложение вида
A
=
λ
1
I
1
⊕
λ
2
I
2
⊕ · · · ⊕
λ
m
I
m
относительно прямой суммы
X
=
X
1
⊕
X
2
⊕
· · · ⊕
X
m
,
где
X
k
=
E
(
λ
k
, A
)
- собственное подпространство оператора
A
и
I
k
- тождественный оператор в
X
k
(1
≤
k
≤
m
)
.
Доказательство.
Ранее мы выяснили, что каждое собственное подпро-
странство оператора
A
инвариантно. Поскольку
Ax
k
=
λ
k
x
k
∀
x
k
∈
E
(
λ
k
, A
)
,
то сужение
A
k
оператора
A
на
E
(
λ
k
, A
)
имеет вид
λ
k
I
k
. Осталось только
заметить, что равенство
X
=
E
(
λ
1
, A
)
⊕ · · · ⊕
E
(
λ
m
, A
)
непосредственно сле-
дует из определения оператора простой структуры и теоремы 4 из
§
26 (в
качестве базиса в
X
следует взять объединение базисов из подпространств
E
(
λ
k
, A
)
, k
= 1
, . . . , m
)
.
Таким образом, части (сужения) оператора простой структуры действи-
тельно просто устроены, являясь скалярными операторами.
200
Глава 3. Линейная алгебра
Отметим, что оператор
I
∈
L
(
X
)
допускает разложение
I
=
I
1
⊕ · · · ⊕
I
m
относительно любой прямой суммы
X
=
X
1
⊕ · · · ⊕
X
m
. Следовательно,
скалярный оператор
αI, α
∈
K
есть прямая сумма
αI
1
⊕
αI
2
⊕ · · · ⊕
αI
m
.
Следующий результат обобщает лемму 2 и получается аналогичным об-
разом (выбором базиса в
X
, являющимся объединением базисов из инвари-
антных подпространств).
Т е о р е м а 5.
Пусть оператор
A
допускает разложение
A
=
A
1
⊕
A
2
⊕
· · ·⊕
A
m
относительно прямой суммы
X
=
X
1
⊕
X
2
⊕· · ·⊕
X
m
.
Тогда в
X
суще-
ствует базис (равный объединению базисов подпространств
X
k
,
1
≤
k
≤
m
),
относительно которого матрица
A
оператора
A
имеет блочно-диагональный
вид
A
=
A
1
0
. . .
0
0
A
2
. . .
0
...
...
...
...
0
0
. . .
A
m
,
(6)
где
A
k
- матрица оператора
A
k
(1
≤
k
≤
m
)
относительно базиса в
X
k
(являющегося частью выбранного базиса в
X
). Для матрицы
A
вида (6)
используется запись
A
=
A
1
⊕ A
2
⊕ · · · ⊕ A
m
,
а матрицу
A
называют
прямой
суммой матриц
A
k
, k
= 1
, . . . , m.
В следующей теореме показано, что изучение операторов в основном сво-
дится к изучению его частей (при условии, что оператор задается их прямой
суммой).
Т е о р е м а 6.
Пусть оператор
A
∈
L
(
X
)
допускает разложение
A
=
A
1
⊕ · · · ⊕
A
m
относительно прямой суммы
X
=
X
1
⊕ · · · ⊕
X
m
.
Тогда имеют место следующие свойства
1) оператор
A
обратим тогда и только тогда, когда обратимы все опера-
торы
A
k
, k
= 1
, . . . , m
;
2) если оператор
A
обратим, то он допускает разложение вида
A
−
1
=
A
−
1
1
⊕
A
−
1
2
⊕ · · · ⊕
A
−
1
m
относительно той же прямой суммы
X
=
X
1
⊕
X
2
⊕
· · · ⊕
X
m
;
§
28. Инвариантные подпространства. Разложение операторов
201
3)
σ
(
A
) =
m
S
k
=1
σ
(
A
k
);
4) для любого
λ
∈
K
имеют место равенства
Ker
(
A
−
λI
) =
Ker
(
A
1
−
λI
1
)
⊕ · · · ⊕
Ker
(
A
m
−
λI
m
)
,
(7)
Im
(
A
−
λI
) =
Im
(
A
1
−
λI
1
)
⊕ · · · ⊕
Im
(
A
m
−
λI
m
)
.
(8)
Доказательство.
Свойства 1) и 3) непосредственно следуют из теорем
2 и 5 (как, впрочем, и из свойства 4)).
Из равенства (5) следуют равенства
KerA
=
KerA
1
⊕ · · · ⊕
KerA
m
,
(9)
ImA
=
ImA
1
⊕ · · · ⊕
ImA
m
.
(10)
Поскольку
λI
=
λI
1
⊕
λI
2
⊕
. . . λI
m
,
то имеет место равенство
(
A
−
λI
)
x
= (
A
1
−
λI
1
)
x
1
+
· · ·
+ (
A
m
−
λI
m
)
x
m
,
если
x
=
x
1
+
· · ·
+
x
m
.
Из этого равенства следуют равенства (7) и (8).
Если оператор
A
обратим, то по свойству 1) обратимы операторы
A
k
∈
L
(
X
k
)
, k
= 1
, . . . , m.
Рассмотрим оператор
B
∈
L
(
X
)
,
определен-
ный равенством
Bx
=
A
−
1
1
x
1
+
· · ·
+
A
−
1
m
x
m
,
если
x
=
x
1
+
· · ·
+
x
m
, x
k
∈
X
k
,
k
= 1
, . . . , m.
Тогда
ABx
=
AA
−
1
1
x
1
+
· · ·
+
AA
−
1
m
x
m
=
A
1
A
−
1
1
x
1
+
· · ·
+
A
m
A
−
1
m
x
m
=
x
1
+
· · ·
+
x
m
=
x,
т.е.
B
=
A
−
1
.
Теорема доказана.
Используем установленную в начале этого параграфа взаимосвязь
между разложениями пространства в прямую сумму и проекторами с це-
лью изложения другого подхода полученных в этом параграфе результатов,
придав им более алгебраический характер.
Лемма 3.
Подпространство
M
из линейного пространства
X
инвари-
антно относительно оператора
A
∈
L
(
X
)
тогда и только тогда, когда имеет
место равенство
P AP
=
AP
для некоторого проектора
P
из
L
(
X
)
, облада-
ющего свойством
ImP
=
M.