ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3455
Скачиваний: 14
272
Глава 3. Линейная алгебра.
λ
n
=
λ
max
= max
||
x
||
=1
(
Ax, x
) = max
x
6
=0
(
Ax, x
)
(
x, x
)
.
(6)
Доказательство всех соотношений (4-6) немедленно следует из нера-
венств (3). Минимум в (5) достигается на собственном векторе
e
1
,
а мак-
симум в (6) - на векторе
e
n
.
Следствие 5.
Пусть
A
=
A
∗
∈
L
(
H
)
,
x
0
6
= 0
- вектор из
H
и
α
=
(
Ax
0
,x
0
)
(
x
0
,x
o
)
.
Тогда в каждом из полуинтервалов
(
−∞
, α
]
и
[
α,
∞
)
найдет-
ся, по крайней мере, одно собственное значение оператора
A
.
Следствие 6.
Пусть
H
−
k
- линейная оболочка собственных векторов
e
1
, . . . , e
k
оператора
A
,
H
+
k
- линейная оболочка собственных векторов
e
k
,
e
k
+1
, . . . , e
n
.
Тогда
λ
k
= max
0
6
=
x
∈
H
−
k
(
Ax, x
)
(
x, x
)
= min
0
6
=
x
∈
H
+
k
(
Ax, x
)
(
x, x
)
.
(7)
Доказательство.
Поскольку подпространства
H
−
k
, H
+
k
инвариантны
относительно оператора
A
и спектры
σ
(
A
−
k
)
, σ
(
A
+
k
)
сужений
A
−
k
и
A
+
k
опера-
тора
A
на подпространства
H
−
k
и
H
+
k
соответственно имеют вид
σ
(
A
−
k
) =
{
λ
1
, . . . , λ
k
}
, σ
(
A
+
k
) =
{
λ
k
, . . . , λ
n
}
(см. теорему 6 из
§
28), то оста-
лось использовать равенства (5) и (6) применительно к самосопряженным
операторам
(
A
−
k
) (
A
+
k
)
.
Их самосопряженность следует, например, из леммы
2,
§
35. Следствие доказано.
Следует признать, что формула (7) для определения промежуточных
собственных значений самосопряженного оператора
A
предполагает знание
его подпространств
H
−
k
H
+
k
,
что является существенным недостатком. В
следующей теореме этот недостаток в основном устраняется, так как в со-
ответствующих формулах для собственного значения
λ
k
оператора
A
будут
использоваться подпространства, не обязательно являющиеся инвариантны-
ми для
A
.
Т е о р е м а 8 (теорема Фишера-Куранта).
Пусть
A
=
A
∗
∈
L
(
H
)
и
его собственные значения
λ
j
=
λ
j
(
A
)
,
j
=
1
, . . . , n
упорядочены:
λ
1
≤
λ
2
≤ · · · ≤
λ
n
(
n
= dim
H
)
.
§
37. Спектральный радиус и норма операторов
273
Тогда имеют место равенства
λ
k
=
λ
k
(
A
) = min
M
k
⊂
H
max
0
6
=
x
∈
M
k
(
Ax, x
)
(
x, x
)
, k
= 1
, . . . , n,
(8)
λ
k
=
λ
k
(
A
) =
max
M
n
−
k
+1
⊂
H
min
0
6
=
x
∈
M
n
−
k
+1
(
Ax, x
)
(
x, x
)
, k
= 1
, . . . , n,
(9)
где внешняя оптимизация осуществляется по совокупности подпростран-
ств
M
k
и
M
n
−
k
+1
из
H
соответственно размерности
k
и
n
−
k
+ 1
.
Доказательство.
Пусть
M
k
- произвольное подпространство размерно-
сти
k
. Тогда
dim
M
k
+dim
H
+
k
=
k
+
n
−
k
+1 =
n
+1
и поэтому в силу теоремы
1 и упражнения 14 из
§
15
M
k
T
H
+
k
6
=
{
0
}
.
Если
x
k
- некоторый ненулевой
вектор из
M
k
T
H
+
k
,
то из равенства (7) получаем, что
(
Ax
k
, x
k
)
(
x
k
, x
k
)
≥
λ
k
и,
следовательно,
min
M
k
max
0
6
=
x
∈
M
K
(
Ax,x
)
(
x,x
)
≥
λ
k
.
Осталось заметить, что последнее
неравенство превращается в равенство при
M
k
=
H
k
.
Равенство (9) получается применением доказанного равенства (8) к опе-
ратору
−
A.
Теорема доказана.
Следствие 7.
Пусть
H
n
−
1
- подпространство размерности
n
−
1
из
H
(dim
H
=
n
)
и
P
n
−
1
∈
L
(
H
)
- оператор ортогонального проектирова-
ния на
H
n
−
1
.
Рассмотрим сужение
A
n
−
1
:
H
n
−
1
→
H
n
−
1
оператора
P
n
−
1
A
на
H
n
−
1
и обозначим через
λ
0
1
≤
λ
0
2
≤ · · · ≤
λ
0
n
−
1
собственные значения
самосопряженного оператора
A
n
−
1
∈
L
(
H
n
−
1
)
.
Тогда
λ
1
≤
λ
0
1
≤
λ
2
≤
λ
0
2
≤ · · · ≤
λ
0
n
−
1
≤
λ
n
.
Доказательство.
Ввиду того, что
(
A
n
−
1
x, x
) = (
P
n
−
1
Ax, x
) = (
Ax,
P
n
−
1
x
) = (
Ax, x
)
∀
x
∈
H
n
−
1
,
то из равенств (8) и (9) получаем для
1
≤
k
≤
n
−
1
λ
0
k
=
min
M
k
⊂
H
k
−
1
max
0
6
=
x
∈
M
k
(
A
n
−
1
x, x
)
(
x, x
)
=
min
M
k
⊂
H
n
−
1
max
0
6
=
x
∈
M
k
(
Ax, x
)
(
x, x
)
≥
λ
k
,
λ
0
k
=
max
M
n
−
k
⊂
H
n
−
1
min
0
6
=
x
∈
M
n
−
k
(
A
n
−
1
x, x
)
(
x, x
)
=
max
M
n
−
k
⊂
H
n
−
1
min
x
∈
M
n
−
k
(
Ax, x
)
(
x, x
)
≤
λ
k
+1
.
274
Глава 3. Линейная алгебра.
Следствие 8.
Пусть
A
и
B
- самосопряженные операторы и
B
≥
0
.
Тогда
λ
k
(
A
+
B
)
≥
λ
k
(
A
)
, k
= 1
, . . . , n.
Если
B >
0
,
то
λ
k
(
A
+
B
)
> λ
k
(
A
)
,
k
= 1
, . . . , n.
Следствие 9.
Если
A
i
=
A
∗
i
∈
L
(
H
)
, i
= 1
,
2
,
3
и
A
1
≤
A
2
≤
A
3
,
то
λ
k
(
A
1
)
≤
λ
k
(
A
2
)
≤
λ
k
(
A
3
)
, k
= 1
, . . . , n.
Определение 5.
Пусть
A
= (
a
ij
)
- матрица из
M atr
n
(
K
)
.
Матрицы
A
k
= (
a
ij
)
, i, j
= 1
, . . . , k, k
= 1
, . . . , n
называются
главными минорами
матрицы
A
.
Т е о р е м а 9 (критерий Сильвестра).
Пусть
A
- самопряжен-
ный оператор из
L
(
H
)
и
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
m
(
K
)
- его матрица в некотором
ортонормированном базисе из
H
. Для того чтобы оператор был положитель-
но определенным оператором, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись
неравенства
a
11
=
det
A
1
>
0
, det
A
2
=
a
11
a
12
a
21
a
22
>
0
, . . . , det
A
m
=
det
A
>
0
(10)
для главных миноров
A
k
, k
= 1
, . . . , m
матрицы
A
.
Для того чтобы оператор
A
был отрицательно определенным, необхо-
димо и достаточно, чтобы знаки чисел
det
A
k
, k
= 1
, . . . , n
чередовались,
причем
det
A
1
<
0
.
Доказательство проведем индукцией по размерности евклидовых про-
странств. Если
n
= 1
,
то любой самосопряженный оператор
B
имеет вид
B
=
λ
1
I, λ
1
∈
R
,
и поэтому
B >
0
⇐⇒
det B
=
λ
1
>
0
.
Допустим теперь,
что утверждение теоремы верно для пространств размерности, не превосхо-
дящей числа
k
−
1
,
и пусть оператор
A
=
A
∗
∈
L
(
H
)
, dim H
=
K
имеет
собственные значения
λ
1
≤
λ
2
≤ · · · ≤
λ
k
.
Условие
A >
0
эквивалентно
условиям
λ
j
>
0
, j
= 1
, . . . , k
(см.теорему 2). Пусть
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
k
(
K
)
- матрица оператора
A
относительно ортонормированного базиса
e
1
, . . . , e
k
и
H
k
−
1
- подпространство из
H
, являющееся линейной оболочкой векторов
e
1
, . . . , e
k
−
1
.
Через
P
k
−
1
обозначим оператор ортогонального проектирования
§
37. Спектральный радиус и норма операторов
275
на
H
k
−
1
и рассмотрим сужение
A
k
−
1
оператора
P
k
−
1
A
на
H
n
−
1
.
Согласно
следствию 1 теоремы 8, для его собственных значений
λ
0
1
≤
λ
0
2
≤ · · · ≤
λ
0
n
−
1
имеют место неравенства
λ
1
≤
λ
0
1
≤
λ
2
≤
λ
0
2
≤ · · · ≤
λ
0
n
−
1
≤
λ
n
.
Если
A >
0
,
то
λ
1
>
0
,
и поэтому
λ
0
1
>
0
,
т.е. самосопряженный оператор
A
n
−
1
положителен. Так как матрица оператора
A
n
−
1
относительно базиса
e
1
, . . . , e
n
−
1
в
H
n
−
1
совпадает с главным минором
A
n
−
1
= (
a
ij
)
,
1
≤
i, j
≤
n
−
1
матрицы
A
, то
det
A
n
−
1
=
λ
0
1
λ
0
2
· · ·
λ
0
n
−
1
>
0
.
Поскольку
A
n
−
1
>
0
,
то в силу
предположения индукции все главные миноры матрицы
A
n
−
1
, совпадающие
с главными минорами
A
1
, . . . ,
A
n
−
1
,
имеют положительные определители.
Обратно, если все числа
det
A
k
, k
= 1
, . . . , n
положительны, то из поло-
жительности чисел
det
A
k
, k
= 1
, . . . , n
−
1
(в силу предположения индукции)
оператор
A
n
−
1
положителен. Поэтому
λ
0
k
>
0
, k
= 1
, . . . , n
−
1
.
Следователь-
но, из неравенства (10) следует положительность чисел
λ
2
, λ
3
. . . . , λ
n
.
По-
скольку
det
A
n
=
det
A
=
λ
1
· · ·
λ
n
>
0
,
то
λ
1
>
0
.
Таким образом, спектр
оператора
A
положителен и, следовательно,
A >
0
.
Утверждение теоремы для отрицательно определенного оператора
A
следует из полученного результата, если его применить к оператору
−
A.
Тео-
рема доказана.
Замечание 2.
Критерий Сильвестра естественным образом обобщается
для симметрических матриц. Соответствующий результат получается с по-
мощью соотнесения матрице самосопряженного оператора из
L
(
K
n
)
,
опреде-
ляемого этой матрицей.
Т е о р е м а 7
(Шура об унитарной триангуляции матриц). Пусть
задана матрица
A ∈
M atr
n
(
C
)
и пусть
λ
1
≤
λ
2
≤ · · · ≤
λ
n
- её собственные
значения. Тогда существует унитарная матрица
U
такая, что
U
−
1
A
U
=
U
x
A
U
=
B
= (
b
ij
)
,
где
B
- верхнетреугольная матрица с диагональными элементами
b
ij
=
λ
i
,
276
Глава 3. Линейная алгебра.
1
≤
i
≤
n.
Если
A ∈
M atr
n
(
R
)
, σ
(
A
)
⊂
R
,
то и
U
- ортогональная матрица
из
M atr
n
(
R
)
.
Доказательство.
Пусть
e
1
∈
C
n
- нормированный собственный вектор,
отвечающий собственному значению
λ
1
.
Дополним его векторами
x
2
, . . . , x
n
из
C
n
до ортонормированного базиса в
C
n
. Векторы
e
1
, x
2
, . . . x
n
будут столб-
цами унитарной матрицы,
U
1
∈
M atr
n
(
C
)
.
В матрице
AU
1
первый столбец
есть
λ
1
x
1
и поэтому матрица
U
∗
1
AU
1
имеет вид
λ
1
...
∗
. . . . . . . . .
0
...
A
1
.
Собственные значения матрицы
A
1
∈
M atr
n
−
1
(
C
)
- это
λ
2
, . . . , λ
n
.
Пусть
e
2
- нормированный собственный вектор для
A
1
,
отвечающий
λ
2
.
Далее все
повторяется. Для некоторой унитарной
U
2
∈
M atr
n
−
1
(
C
)
U
∗
2
A
1
U
2
=
λ
2
...
∗
. . . . . . . . .
0
...
A
2
.
и полагаем
V
2
=
1
...
∗
. . . . . . . . .
0
...
U
2
.
Матрицы
V
2
и
U
1
V
2
унитарны и при этом
V
∗
2
U
∗
1
AU
1
V
2
=
λ
1
∗
...
∗
0
λ
2
...
. . . . . . . . . . . .
0
...
A
2
.
Продолжая редукцию, находим унитарные матрицы
U
i
∈
M atr
n
−
i
+1
(
C
)
,
i
= 1
, . . . , n
−
1
,
и унитарные матрицы
V
i
∈
M atr
n
(
C
)
.
Матрица
U
=
=
U
1
V
2
V
3
· · · V
n
−
1
унитарна и она обеспечивает верхнетреугольный вид мат-
рицы
U
∗
AU
.
Если
A ∈
M atr
n
(
R
)
и
σ
(
A
)
⊂
R
,
то все собственные векторы
ее можно взять вещественными и, следовательно,
U ∈
M atr
n
(
R
)
.
Теорема
доказана.