Истинность высказывания с квантором существования устанавливается при помощи конкретного примера. Чтобы убедиться в ложности, необходимо провести доказательство.

Пример: Наглядный материал: Игрушки в коробке.

Вопрос ребенку: «Есть ли в коробке мячи?»

Математическое предложение: «Хотя бы один из предметов – мяч».

Вариант ответа	Установление значение истинности
Да	Показ хотя бы одного мяча (конкретный пример).
нет	Просмотр каждой игрушки (доказательство).

Высказывательная форма B(x) следует из высказывательной формы A(x), если B(x) обращается в истинное высказывание при всех тех значениях x, при которых A(x) истинна. Предложения A(x) и B(x) равносильны, если из предложения A(x) следует предложение B(x), а из предложения B(x) следует предложение A(x).

Умозаключения. Их виды. Умозаключения и доказательства. Понятие умозаключения. Дедуктивное умозаключение. Правила заключения, отрицания, силлогизма. Неполная индукция, аналогия. Строение и виды теорем. Правила в начальной школе.

Умозаключение — это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких высказываний, называемых посылками, выводится высказывание, содержащее новое знание, называемое заключением.

Дедуктивным умозаключением называют умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении логического следования.

Приведем пример умозаключения, выполненного по правилу заключения: «Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 15. Запись числа 135 оканчивается цифрой 5. Следовательно, число 135 делится на 5».

Приведем пример умозаключения, выполненного по правилу отрицания: «Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5. Число 177 не делится на 5. Следовательно, оно не оканчивается цифрой 5».

Пример умозаключения, построенного по правилу силлогизма: «Если число х кратно 12, то оно кратно 6. Если число х кратно 6, то оно кратно 3. Следовательно, если число х кратно 12, то оно кратно 3».

Неполной индукцией называют умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса. Неполная

---

индукция не является дедуктивным умозаключением, поскольку, рассуждая по такой схеме, можно прийти к ложному выводу.

Аналогией называют умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта.

Теорема — это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (доказательства). С логической точки зрения теорема представляет собой высказывание вида A ⇒ B, где A и B — высказывательные формы с одной или несколькими переменными. Предложение A называют условием теоремы, а предложение B — ее заключением.

Виды теорем: обратная данной, противоположная данной, обратно-противоположная данной.

«В равнобедренном треугольнике углы при основании равны». Обратное ей предложение таково: «Если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник — равнобедренный».

---

Тема 6 Теоретические и методические основы изучения элементов алгебры

1. 
   Выражения. Числовые равенства и неравенства. Основные свойства истинных числовых равенств и неравенств. Понятие выражения с переменной (буквой). Область определения выражения с переменной.Уравнение и неравенство с одной переменной. Корень уравнения. Равносильные условия. Решение неравенства. Равносильные неравенства. Уравнения и неравенства в начальной школе.
   

Как известно, записи 3 + 7, 24 : 8, 3 ⋅ 2 − 4, (25 + 3) ⋅ 2 − 17 называют числовыми выражениями. Они образуются из чисел, знаков действий и скобок. Если выполнить все действия, указанные в выражении, то получим число, которое называют значением числового выражения.

Пусть f и g — два числовых выражения. Соединим их знаком равенства. Получим предложение f = g, которое называют числовым равенством (3 + 2 = 7 − 3.)

Пусть f и g — два числовых выражения. Соединим их знаком «>» (или «<»). Получим предложение f > g (или f < g), которое называют числовым неравенством (6 + 2 > 13 – 7).

Рассмотрим некоторые свойства истинных числовых неравенств:

1) если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравенство;

2) если обе части истинного числового неравенства умножить

на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и положительное значение, то получим также истинное числовое неравенство;

3) если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и отрицательное значение, а также поменять знак неравенства на противоположный, то получим также истинное числовое неравенство.

Пусть f(x) и g(x) — два выражения с переменной x и областью определения X. Тогда высказывательную форму вида f(х) = g(х) называют уравнением с одной переменной (4x = 5x + 2).

Значение переменной x из множества X, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения. Решить уравнение — это значит найти множество его корней.

Два уравнения f1(х) = g1(х) и f2(х) = g2(х) называют равносильными, если множества их корней совпадают.

Пусть f(х) и g(х) — два выражения с переменной x и областью определения X. Тогда неравенство вида f(х) > g(х) или f(х) < g(х) называют неравенством с одной переменной. Множество X называют областью его определения. Значение переменной x из множества X, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называют его решением. Решить неравенство — значит, найти множество его решений. Два неравенства называют равносильными, если их множества решений равны.

---

2. 
   Числовые равенства и неравенства: цели изучения темы; сравнение чисел и выражений; равенства и неравенства (введение терминов); виды упражнений с целью усвоения этих понятий.
   

Цели изучения темы: Научить сравнивать числа, сравнивать выражения. Научить записывать результаты сравнения и научить читать полученные записи.

Изучение числовых выражений, равенств и неравенств, а также уравнений начинается с первого класса, при изучении нумерации в пределах 10.

В традиционной системе обучения дети учатся сначала сравнивать числа, затем выражения с целью установления отношений «больше», «меньше», «равно», учатся записывать результаты с помощью знаков «<», «>», «=» и читать полученные равенства и неравенства.

Сравнение чисел производится сначала на основе сравнения множеств, которое осуществляется путем установления однозначного соответствия. Попутно подсчитываются элементы множеств и сравниваются полученные числа.

В дальнейшем при сравнении чисел учащиеся полагаются на знание своего места в натуральном ряду: девять меньше десяти, потому что при подсчете число девять называется перед числом десять. Установленные отношения записываются с помощью знаков «<», «>», «=». Учащиеся практикуются в чтении и письме равенств и неравенств, но сами термины вводятся только во втором классе. Исторически сложившаяся классическая школьная система при всем многообразии ее форм подчинена задаче овладения учащимися определенным объемом знаний, умений и навыков. Формирование понятий равенства, неравенства и уравнения начинается с первых дней обучения детей в школе. Сначала учащиеся учатся сравнивать объекты, числа, а затем выражения. Сравнивать выражения - значит сравнивать их значения.

В дочисловой период учащиеся выполняют упражнения на сравнение совокупностей предметов, устанавливая взаимно однозначное соответствие. На этом этапе результаты сравнения еще не записываются с помощью соответствующих знаков.

Первое знакомство с равенствами и неравенствами происходит в нумерации 1-10 при сравнении чисел. В этом концентре для сравнения чисел используют 3 способа, которые имеют различную теоретическую основу:

1 способ (на основе теоретико-множественного смысла натурального числа), с опорой на предметную наглядность: 3…4

2 способ (на основе знания натурального следования): 5..7 (5 в числовом ряду раньше 7, значит, оно меньше)

---

3 способ (с применением действия сложения): 7…5 (7=5+2)

В дальнейшем в других концентрах для сравнения чисел полезно применять два способа:

а) по месту расположения в натуральном ряду;

б) на основе сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высших разрядов.

Так же можно сравнивать и величины.

Первые неравенства полезно получать из равенств, сопровождая преобразования соответствующими операциями над множествами. В дальнейшем учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множествами:

Сравнение двух выражений.

1 способ – путем вычисления значений выражений: 6-2…6-3 (считаем ответы с двух сторон и сравниваем их)

2 способ – не вычисляя, с помощью логического анализа с опорой на знания: 6-2…6-3 (если вычитаем больше, остается меньше)

3. 
   Ознакомление с буквенными выражениями: - подготовительная работа; знакомство с выражением вида 5+а; знакомство с выражением вида, а+7; - знакомство с выражением вида, а+в.
   

Подготовительная работа по раскрытию смысла переменной начинается ещё в первом классе. С этой целью в учебник математики включаются задания, в которых переменная обозначается «окошком». Например: 3+=5, 6-=5 и др.

В 3 кл. дети знакомятся с выражениями, содержащими переменную, а затем две переменных. Термин «переменная» не вводится.

Учитель сообщает, что в математике вместо «окошка» записывают латинские буквы а, в, с и др. Затем вместо «окошка» записывают различные буквы, читают полученные выражения разными способами (5+с - сумма чисел 5 и с, 5 плюс с) и находят значения этого выражения, подставляя вместо «с» различные значения (можно изготовить несколько лент).

Подчёркивается, что 12, 6, 17 - это значения буквы «с». 17, 12, 6 - это значения выражения 5 + с при заданных значениях буквы «с». Необходимо уточнить, какие значения можно давать букве «с» в этом выражении. Какие значения букве «с» можно было бы дать в выражении 5-с? Затем проводится работа с учебником для закрепления.

Знакомство с выражениями вида а+в происходит по аналогии. Учащимся сообщается, что под буквами могут подразумеваться любые числа, соответствующие буквенному условию. Например, а+в=5, под буквами а и в могут быть любые числа из состава числа 5. Такая запись также применяется в формулах. Например, а+в=с, Р=2*(а+в).

4. 
   Методика работы над уравнениями: подготовительный этап; знакомство с уравнением; овладение способом решения уравнений; виды упражнений
   

На подготовительном этане к введению первых уравнений при изучении сложения и вычитания в пределах 10 учащиеся устанавливают связь между суммой и слагаемыми. Кроме того, к этому времени дети овладевают умением сравни­вать выражение и число и получают первые представления о числовых равенствах вида: 6+4=10, 8=5+3. Большое значе­ние в плане подготовки к введению уравнений имеют задания на подбор пропущенного числа в выражениях вида:

---

Смотрите также файлы

• Отчет по контрольной работе 1 по дисциплине Сопровождение бизнеса учет и отчетность.docx

• Тема Современное учебное занятие в условиях введения обновленных фгос ооо, фгос соо.docx

• На какие сутки медицинская сестра проводит первый послеродовый патронаж на дому.docx

• Вопросы для самопроверки по теме Методический инструмент учителя физики прп ооо, прп соо. Формирование метапредметных и личностных результатов обучения.doc

• Игра как ведущий вид деятельности детей дошкольного возраста. По курсу Психологическое сопровождение педагогической деятельности в условиях реализации фгос дошкольного образования.docx