4+ = 6, 5- =2, -3=7. В процессе выполнения таких заданий дети привыкают к мысли, что неизвестным может быть не только сумма или разность, но и одно из слагаемых (уменьшаемое или вычитаемое), в дальнейшем – компоненты действий умножения и деления.

Знакомство с уравнением происходит в 3 классе (ч.1, с. 10) при решении задачи с числами, например: «К неизвестному числу прибавили 3 и получили 8. Найти неизвестное число». По данной задаче со­ставляется равенство с неизвестным числом, которое может быть записано так: +3=8. Затем учитель поясняет, что в матема­тике принято обозначать неизвестное число малыми латинскими буква­ми. Дается запись и чтение одной из букв—x (икс). Предла­гается обозначить неизвестное число буквой x и прочитать равенство. Учитель поясняет, что такие равенства называют уравнения­ми, что решить уравнение – значит найти такое значение x, при котором равенство будет верным. Определение уравнения и корня уравнения не даётся в началь­ных классах. Учащиеся упражняются в чтении, записи и реше­нии уравнений. Показывают разные формы чтения: «К какому числу надо прибавить 2, чтобы получить 9», «Первое слагае­мое 4, второе неизвестно, сумма равна 7; чему равно второе слагаемое?» и др. При решении первых уравнений дети опираются на операции над множествами, на знание состава чисел, на ус­тановление отношений между результатами и компонентами действий (при сложении самое большое число-сумма, она со­стоит из слагаемых; при вычитании самое большое число- уменьшаемое, оно состоит из вычитаемого и разности).

Сначала уравнения решаются подбором: вместо неизвестного подставляют (например, с помощью разрезных цифр) одно за другим числа из множества чисел, данных в учебнике или учителем, пока не найдут такое, которое «подходит» (при котором получается верная запись).

в 3 классе (ч. 1, с. 48) вводятся урав­нения вида: x•3==12, 5•х=10, 15:х=5 и др., которые также вначале решаются подбором. Данный способ решения применя­ют к уравнениям, где вычисления выполняются на основе знания табличных случаев арифметических действий. Таким образом, решение уравнений способствует усвоению таблиц и состава чисел из слагаемых, из множителей.

Затем уравне­ния решают на основе знаний правил нахождения неизвестного компонента.

Учащиеся объясняют решение уравнения, пользуясь памяткой.

С целью формирования умений решать уравнения, предла­гают разнообразные задания:

---

1) Решите уравнение и выполните проверку.

2) Выполните проверку решенных уравнений, объясните ошибки в неверно решенных уравнениях.

3) Составьте уравнения с заданными числами, решите и про­верьте решение.

4) Из заданных уравнений выберите, и решите те, в которых неизвестное число находят вычитанием (делением).

5) Из заданных уравнений выпишите те, в которых неиз­вестное число равно 8.

6) Рассмотрите решение уравнения, определите, чем явля­ется неизвестное в уравнении, и вставьте пропущенный знак дей­ствия:

x 2=12, x2=12,

х=12:2. х=12•2.

Тема 7. Теоретические и методические основы изучения действий с целыми неотрицательными числами

1. 
   Теоретико – множественный смысл количественного натурального числа и нуля. Порядковые и количественные натуральные числа. Отрезок натурального ряда. Множество Z₀. Отношения "равно" и "меньше" на Z₀ их свойства. Свойства множества Z_0. Теоретико – множественный смысл суммы целых неотрицательных чисел. Существование и единственность суммы целых неотрицательных чисел. Законы сложения. Теоретико – множественный смысл разности целых неотрицательных чисел. Определение вычитания как операции, обратной сложению. Существование и единственность разности. Теоретико – множественный смысл произведения целых неотрицательных чисел. Законы умножения. Теоретико – множественный смысл частного натурального числа и целого неотрицательного числа. Существование и единственность частного. Невозможность деления на нуль. Деление с остатком.
   

С теоретико-множественной точки зрения, натуральное число - это общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Число «нуль» также имеет теоретико – множественное истолкование – оно ставится в соответствие пустому множеству

Натуральное число рассматривается как элемент специального множества, представляющего собой бесконечный упорядоченный ряд, в котором обязательно существует первое число (первый элемент) и следующие за ним числа расположены в определенном порядке. Другими словами, аксиоматическая теория рассматривает натуральное число, как число порядковое.

Отрезком Nа натурального ряда называют множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.

Каждое число в натуральном ряду больше предшествующего и меньше предыдущего на 1.

---

Z – множество целых чисел: N + 0 + числа, противоположные натуральным.

Отношение равенства целых неотрицательных чисел обладает следующими свойствами:

1. Рефлексивность. Любое целое неотрицательное число равно са­мому себе

2. Симметричность. Если число а равно числу в, то и число в равно числу

3. Транзитивность. Два числа, равные третьему, равны между собой

Отношение "меньше" на множестве Z₀ обладает следующими свойствами:

1. Для любого отличного от нуля числа а справедливо неравенство 0 < а.

2. Антирефлексивность. Любое целое неотрицательное число не вступает в отношение "меньше" с самим собой

3. Асимметричность. Если а < в, то неверно, что в < а.

4. Транзитивность

Сложение целых неотрицательных чисел связано с операцией объединения непересекающихся конечных множеств.

Для любых целых неотрицательных чисел а и в всегда существует единственное целое неотрицательное число с, являющееся их суммой, т.е. сумма любых двух целых неотрицательных чисел существует и единственна.

Законы: коммутативный закон, ассоциативный закон.

Разностью целых неотрицательных чисел а и b называется целое неотрицательное число (a-b), равное числу элементов в дополнении множества В до множества А

Разность целых неотрицательных чисел a и b существует и единственна тогда и только тогда, когда b ≤ a.

Вычитание - это арифметическая операция, которая выполняется над двумя числами (уменьшаемым и вычитаемым) и заключается в нахождении числа, что в результате сложения с вычитаемым даст уменьшаемое. Таким образом, вычитание — это операция, обратная сложению.

Произведением целых неотрицательных чисел a и b называется целое неотрицательное число a * b, удовлетворяющее следующим условиям:

1) a * b = a + a +…+ a, при b > 1, 2) a * 1 = a, при b = 1, 3) a * 0 = 0, при b = 0.

Теорико-множественный смысл: Если множеств будет «b», а каждое из них содержит по «а» элементов, то множество A1объединяетA2 и т.д… будет содержать а * b элементов

Законы умножения: переместительный, сочетательный, распределительный

Частным целого неотрицательного числа а и натурального числа в называется такое целое неотрицательное число с, произведение которого и числа в равна а. Для того, чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и в необходимо, чтобы в было меньше или равно а.

Определение. Разделить а на b с остатком - это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что

---

а= bq + r, причем r больше или равно нулю, но меньше b.

2. 
   Алгоритмы арифметических действий над многозначными числами в десятичной системе счисления и их теоретическое обоснование
   

Алгоритм сложения:

1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответст­вующие разряды находилось друг под другом.

2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков).

3. Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде а0+b0=1·10+с0, где с0 - однозначное число; записывают с0, в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.

4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение 1+0=1.

Алгоритм вычитания:

1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.

3. Если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшаемого, т.е. b0 > а0, а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10 + а0 число b0 и записываем разность в разряде единиц искомого числа, далее переходим к следующему разряду.

4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, вес цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем b0 из 10 + а0, записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду.

5. В следующем разряде повторяем описанный процесс.

6. Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

---

Алгоритм умножения:

1. 
   Записываем второе число под первым.
   
2. 
   Умножаем цифры разряда единиц числа х на число у. Еслипроизведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).
   
3. 
   Если произведение цифр единиц числа х на число у большеили равно 10, то представляем его в виде 10q₁+с₀, где с₀ – однозначное число; записываем с₀ в разряд единиц ответа и запоминаем q₁ - перенос в следующий разряд.
   
4. 
   Умножаем цифры разряда десятков на число у, прибавляемк полученному произведению число q₁ и повторяем процесс, описанный пп. 2 и 3.
   
5. 
   Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда
   

Алгоритм деления:

1. Нахожу первое неполное делимое

2. определяю кол-во цифр в частном

3. Определяю первую цифру частного

4. Пробую, подходит ли пробная цифра частного

5. Нахожу второе неполное частное

6. Повторяю действия 4-5 до последнего разряда

7. При наличии остатка, выписываю его.

3. 
   Обучение сложению и вычитанию в пределах чисел первого десятка. Переместительное свойство сложения: задачи учителя; этапы изучения, их теоретическое обоснование, способ действия; методика изучения сложения и вычитания в пределах 10 (подготовительная работа, знакомство с приемом, формирование навыка для каждого этапа, переместительное свойство сложения).
   

Задачи:

1. Знакомство с вычислительными приемами и формирование умения применять их при составлении таблиц сложения и вычитания.

2. Заучивание таблиц сложения и вычитания в тесной связи с усвоением состава числа в пределах 10. Формирование навыков сложения.

Изучение сложения вычитания в пределах 10 проводится по такому плану:

1. Подготовительный этап: раскрытие конкретного смысла действий сложения и вычитания, запись и чтение примеров, случаи прибавить и вычесть 1, где результаты находятся на основе знания свойства натурального ряда чисел (когда к числу прибавляем 1, получаем число, следующее за ним при счете, а когда вычитаем из числа 1, то получаем предыдущее число).

2. Изучение приемов присчитывания и отсчитывания по одному и группами для случаев 2, 3, 4.

3. Изучение приема перестановки слагаемых для случаев + 5, 6, 7, 8, 9. Таблица сложения и состав чисел из слагаемых.

4. Изучение приема вычитания на основе знания связи между суммой и слагаемыми для случаев – 5-9.

Подготовительная работа к изучению сложения и вычитания начинается с первых уроков рассмотрения нумерации. Выполняя многократно операции над множествами, дети уясняют, что операции объединения соответствует действие сложения, а операции удаления части множества – действие вычитания. Также обращается внимание детей на то, что, когда прибавляют, то становится больше, чем было; когда вычитают, становится меньше.

---

Смотрите также файлы

• Отчет по контрольной работе 1 по дисциплине Сопровождение бизнеса учет и отчетность.docx

• Тема Современное учебное занятие в условиях введения обновленных фгос ооо, фгос соо.docx

• На какие сутки медицинская сестра проводит первый послеродовый патронаж на дому.docx

• Вопросы для самопроверки по теме Методический инструмент учителя физики прп ооо, прп соо. Формирование метапредметных и личностных результатов обучения.doc

• Игра как ведущий вид деятельности детей дошкольного возраста. По курсу Психологическое сопровождение педагогической деятельности в условиях реализации фгос дошкольного образования.docx