ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.04.2021
Просмотров: 1227
Скачиваний: 3
Л.2. Типы математических моделей
Пример 1 (продолжение).
Математическая (структурная) модель рассматриваемой задачи:
x
1
= 0
,
˙
x
1
=
v
,
x
2
= 0
,
˙
x
2
= 0 (
t
= 0)
,
m
1
¨
x
1
+
k
1
x
1
= 0
,
m
2
(¨
x
1
+ ¨
x
2
) +
k
2
x
2
= 0 (0
≤
t
≤
T
)
.
Решение системы ОДУ:
x
1
=
v
ω
1
sin
ω
1
t
ω
1
=
r
k
1
m
1
,
T
=
π
ω
1
,
x
2
=
ω
2
1
ω
2
1
−
ω
2
2
v
sin
ω
2
t
ω
2
−
sin
ω
1
t
ω
1
ω
2
=
r
k
2
m
2
.
При
t
=
T
:
x
2
(
T
) =
ω
2
1
ω
2
1
−
ω
2
2
v
ω
2
sin
ω
2
ω
1
π,
˙
x
2
(
T
) =
ω
2
1
ω
2
1
−
ω
2
2
v
1 + sin
ω
2
ω
1
π
.
2014
21 / 74
Л.2. Типы математических моделей
Пример 1 (продолжение).
Из сохранения энергии колебательной системы:
k
2
2
A
2
=
k
2
2
x
2
2
(
T
) +
m
2
2
( ˙
x
2
)
2
(
T
) = 2
k
2
v
2
ω
2
2
ω
2
1
ω
2
1
−
ω
2
2
2
cos
2
πω
2
2
ω
1
.
A
=
hv
,
h
=
2
ω
2
ω
2
1
ω
2
1
−
ω
2
2
cos
πω
2
2
ω
1
.
Для
m
1
= 10
4
кг,
m
2
= 200
кг,
k
1
= 9
.
8
×
10
5
Н/м,
k
2
= 1
.
96
×
10
5
Н/м:
h
= 1
.
79
×
10
−
3
с,
A
(м)
= 1
.
79
×
10
−
3
v
(м/с).
Последнюю формулу можно рассматривать как функциональную
модель.
Ее можно получить методом
идентификации
математической
модели: определением параметров после выбора схемы модели.
2014
22 / 74
Л.2. Типы математических моделей
Дискретные и непрерывные модели
Модели – как содержательные, так и математические – могут быть
дискретными
,
непрерывными
,
смешанными
.
Между этими типами нет принципиального барьера и при уточнении
или видоизменении модели
дискретная картина может стать
непрерывной и обратно
; то же может произойти в процессе решения
математической задачи
При составлении математической модели, а также при выборе метода
ее исследования надо учитывать возможность применения как
“дискретного”, так и “непрерывного” аппаратов
2014
23 / 74
Л.2. Типы математических моделей
Пример 2.
Изучается прогиб балки от груза, расположенного на
интервале сравнительно малой длины.
Замена распределенного груза сосредоточенным
Пусть
q
(
x
)
– плотность распределения груза на малом интервале
(
l
)
,
расположенном вблизи
x
=
a
.
Q
=
R
(
l
)
q
(
x
)
dx
– груз, сосредоточенный в точке.
q
(
x
)
↔
˜
q
(
x
) =
Q
δ
(
x
−
a
)
Подход дает возможность в случае сосредоточенной нагрузки
пользоваться формулами, выведенными для нагрузки
распределенной;
целесообразен, если конкретный вид функции
q
(
x
)
нам
неизвестен, но суммарное значение
Q
мы знаем.
Переход к дискретной модели нагрузки можно совершить, если
имеется несколько грузов, каждый из которых распределен на
малом интервале.
2014
24 / 74
Л.2. Типы математических моделей
Пример 2 (продолжение).
Пусть грузов, замененных на сосредоточенные, много. Тогда может
оказаться удобнее перейти к непрерывной модели нагрузки.
Эта плотность получается с помощью
осреднения
исходного
распределения:
q
(
x
) =
q
(
x
; ∆
x
) =
1
∆
x
Q
(
x
; ∆
x
)
.
Эпюра плотности нагрузки зависит от выбора интервала осреднения
∆
x
. Он
должен быть велик по сравнению с характерным расстоянием между грузами, но
мал по сравнению с общей длиной балки.
2014
25 / 74