ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.04.2021
Просмотров: 1224
Скачиваний: 3
Л.3. Типы математических моделей
Линеаризация
Линеаризация
– приближенная замена нелинейной модели на
линейную.
Применяется в случаях:
1)
эксперимент показывает, что отклонение от линейности в
рассматриваемых диапазонах изменения переменных невелико и
несущественно,
2)
эти диапазоны малы и мы заменяем приращения переменных на
их дифференциалы, отбрасывая члены высшего порядка малости.
(Во втором случае применяется также линейное интерполирование.)
2014
36 / 74
Л.3. Типы математических моделей
Линеаризация. Примеры.
1. Пусть величины х, у, z связаны уравнением
x
3
+
xy
y
3
−
xz
+
e
2
z
+ 5 = 0
.
Это уравнение удовлетворяется при
x
= 2
,
y
=
−
1
,
z
= 0
.
Пусть
ξ, η, ζ
– малые изменения
x
,
y
,
z
соответствено:
x
= 2 +
ξ,
y
=
−
1 +
η,
z
=
ζ.
Требуется найти линейное соотношение между
ξ, η, ζ
, справедливое с
точностью до членов высшего порядка малости.
Продифференцируем обе части исходного уравнения:
3
x
2
dx
+
ydx
+
xdy
y
3
−
xz
−
(
x
3
+
xy
)(3
y
2
dy
−
zdx
−
xdz
)
(
y
3
−
xz
)
2
+ 2
e
2
z
dz
= 0
,
и подставим
x
= 2
,
y
=
−
1
,
z
= 0
и
dx
=
ξ,
dy
=
η,
dz
=
ζ
(пренебрегаем величинами высшего порядка малости).
2014
37 / 74
Л.3. Типы математических моделей
x
3
+
xy
y
3
−
xz
+
e
2
z
+ 5 = 0
,
3
x
2
dx
+
ydx
+
xdy
y
3
−
xz
−
(
x
3
+
xy
)(3
y
2
dy
−
zdx
−
xdz
)
(
y
3
−
xz
)
2
+ 2
e
2
z
dz
= 0
,
(11
ξ
+ 2
η
)(
−
1)
−
6(3
η
−
2
ζ
) + 2
ζ
= 0
⇒
11
ξ
+ 20
η
−
14
ζ
= 0
.
Или в переменных
x
,
y
,
z
:
11
x
+ 20
y
−
14
z
= 0
.
Геометрический смысл: получили уравнение касательной плоскости к
заданной поверхности в точке
(
x
,
y
,
z
) = (2
,
−
1
,
0)
.
2014
38 / 74
Л.3. Типы математических моделей
2. Рассмотрим дифференциальное уравнение
y
′′
+ (1 +
y
2
) sin
y
′
+
y
= 1
,
имеющее частное решение
y
0
(
x
) = 1
.
Задача получить линеаризованное уравнение для функции
η
(
x
)
,
определеящей близкое решение
y
(
x
) = 1 +
η
(
x
)
.
Варьируем исходное уравнение и подставляем
y
=
y
0
= 1
,
δ
y
=
η
:
(
δ
y
)
′′
+ 2
y
(
δ
y
) sin
y
′
+ (1 +
y
2
)(cos
y
′
)(
δ
y
)
′
+
δ
y
= 0
,
η
′′
+ 2
η
′
+
η
= 0
.
2014
39 / 74
Л.3. Типы математических моделей
На последовательной линеаризации основан один из самых
эффективных методов приближенного решения нелинейных уравнений
различных типов –
метод Ньютона
.
2014
40 / 74