ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.04.2021
Просмотров: 1223
Скачиваний: 3
Л.2. Типы математических моделей
Пример 3 (продолжение). Проверка закона сохранения энергии
E
.
Дискретная модель.
0
6
i
6
N
,
u
0
(
t
) =
u
N
(
t
) = 0
.
E
=
N
−
1
X
i
=1
m
2
du
i
dt
2
+
N
−
1
X
i
=0
k
2
(
u
i
+1
−
u
i
)
2
Дифференцируем по
t
и применяем систему уравнений для
u
i
(
t
)
:
∂
E
∂
t
=
ma
2
h
2
N
−
1
X
i
=1
du
i
dt
(
u
i
+1
−
2
u
i
+
u
i
−
1
) +
k
N
−
1
X
i
=0
(
u
i
+1
−
u
i
)
du
i
+1
dt
−
du
i
dt
Преобразуем вторую сумму:
N
−
1
X
i
=0
(
u
i
+1
−
u
i
)
du
i
+1
dt
−
du
i
dt
=
N
−
1
X
i
=1
du
i
dt
(
u
i
−
u
i
−
1
)
−
N
−
1
X
i
=1
(
u
i
+1
−
u
i
)
du
i
dt
Подставляя
m
=
ρ
Sh
и
k
=
SE
/
h
, получим
∂
/∂
t
= 0
.
2014
31 / 74
Л.2. Типы математических моделей
Пример 3 (продолжение).
Отличия между решениями уравнений в непрерывной и
дискретной моделях.
Скорость распространения любых деформаций согласно
непрерывной модели равна
a
Для дискретной модели влияние внешних воздействий
распространяется с формально бесконечной скоростью
Адекватность можно восстановить, если пренебречь слишком малыми
значениями смещений:
u
(
x
i
)
6
ǫ
→
u
(
x
i
)
≡
0
2014
32 / 74
Л.3. Типы математических моделей
Линейные и нелинейные модели
Линейная зависимость одной величины от другой – это пропорциональность их
приращений, т.е.
z
=
ax
+
by
+
c
⇒
∆
z
=
a
∆
x
+
b
∆
y
Типичные линейные зависимости между физическими величинами – закон Гука,
закон Ома, закон теплопрового расширения и т.д.
Понятие линейной модели.
Применяется для моделей объектов, рассматриваемых как
преобразователи
(
операторы
), для которых каждому входу
соответствует некоторый выход.
Пусть начала отсчета входа и выхода выбраны так, что нулевому
входу отвечает нулевой выход.
Модель называется
линейной
, если в ней выполнен
принцип
суперпозиции
(наложения), т. е. при сложении входов
складываются и выходы, а при умножении входа на любое число
выход умножается на то же число. Если этот принцип не
выполнен, модель называется
нелинейной
.
2014
34 / 74
Л.3. Типы математических моделей
Линейные модели обычно описываются линейными неоднородными
уравнениями – алгебраическими, дифференциальными и т.д., в
которых неоднородный член отвечает входу, а решение — выходу.
Примеры:
1.
Краевая задача
о малом поперечном прогибе стержня с шарнирно
закрепленными концами
x
=
a
,
x
=
b
:
d
2
dx
2
EI
d
2
y
dx
2
=
q
(
x
) (
a
6
x
6
b
)
,
y
(
a
) = 0
,
y
′′
(
a
) = 0
,
y
(
b
) = 0
,
y
′′
(
b
) = 0
.
q
(
x
)
– вход,
y
(
x
)
– выход.
2.
Задача Коши
для осциллятора под действием внешней силы
F
(
t
)
(вход). Координата
x
– выход.
m
¨
x
+
kx
=
F
(
t
) (0
6
t
<
∞
)
,
x
(0) = 0
,
˙
x
(0) = 0
.
2014
35 / 74