ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.04.2021
Просмотров: 1328
Скачиваний: 6
— 36 —
Множество
M
в метрическом пространстве
{
X, ρ
}
называется
компакт-
ным
, если оно относительно компактно и замкнуто.
•
Задачи:
16.1. Доказать, что всякое подмножество относительно компактного мно-
жества является относительно компактным.
16.2. Доказать компактность всякого конечного множества в метрическом
пространстве.
16.3. Доказать, что замыкание относительно компактного множества яв-
ляется компактным.
16.4. Доказать, что всякое компактное метрическое пространство является
полным.
16.5. Доказать, что объединение конечного числа компактных множеств
есть множество компактное.
16.6. Доказать, что в метрическом пространстве любая последователь-
ность непустых компактных множеств
A
1
⊃
A
2
⊃
...
⊃
A
n
...
имеет непустое
пересечение.
Теорема 18.
В метрическом пространстве всякое относительно компакт-
ное множество ограничено.
Доказательство.
Предположим, что в метрическом пространстве
{
X, ρ
}
множество
M
относительно компактно, но не ограничено. Возьмем произ-
вольный элемент
x
0
∈
X
. Тогда
(
∀
r >
0)(
∃
x
∈
M
) [
ρ
(
x, x
0
)
> r
]
. Следова-
тельно, существует последовательность
{
x
n
} ⊂
M
такая, что
ρ
(
x
n
, x
0
)
> n
для всех
n
∈
N
. Выделим подпоследовательность
{
x
n
k
} ⊂ {
x
n
}
такую, что
x
n
k
→
x
∈
M
при
k
→ ∞
. Получили
ρ
(
x
n
k
, x
0
)
→
ρ
(
x, x
0
)
∈
R
1
. Но, с другой
стороны,
ρ
(
x
n
k
, x
0
)
> n
k
→ ∞
. Это противоречие означает, что множество
M
ограничено.
♥
•
Задачи:
16.7. Привести пример замкнутого ограниченного множества в простран-
стве
l
2
, не являющегося компактным.
16.8. Пусть
A
– относительно компактное множество в
X
– МП. Показать,
что
(
∀
x
∈
X
)(
∃
a
∈
A
)[ inf
y
∈
A
ρ
(
x, y
) =
ρ
(
x, a
)]
.
16.9. Пусть
A
– относительно компактное множество, а
B
– замкнутое
множество в метрическом пространстве, причем
A
∩
B
=
∅
. Показать, что
inf
x
∈
A,y
∈
B
ρ
(
x, y
)
>
0
.
— 37 —
16.10. Пусть
A
,
B
– относительно компактные множества в метрическом
пространстве. Показать, что
(
∃
a
∈
A
)(
∃
b
∈
B
)[
inf
x
∈
A,y
∈
B
ρ
(
x, y
) =
ρ
(
a, b
)]
.
Теорема (Вейерштрасса) 19.
Пусть
M
– компактное множество в мет-
рическом пространстве
{
X, ρ
}
и функция
f
:
M
→
R
1
непрерывна на
M
.
Тогда множество
f
[
M
]
(образ
M
) ограничено в
R
1
и
(
∃
a
∈
M
) [
f
(
a
) = inf
x
∈
M
f
(
x
) ]
∧
(
∃
b
∈
M
) [
f
(
b
) = sup
x
∈
M
f
(
x
) ]
.
Доказательство.
Предположим, что множество
f
[
M
] =
{
f
(
x
)
|
x
∈
M
}
неограничено снизу. Тогда
(
∀
n
∈
N
) (
∃
x
n
∈
M
) [
f
(
x
n
)
<
−
n
]
. Получим по-
следовательность
{
x
n
} ⊂
M
. Выделим подпоследовательность
{
x
n
k
} ⊂ {
x
n
}
такую, что
x
n
k
→
x
0
∈
M
. Так как функция
f
непрерывна на
M
, то
f
(
x
n
k
)
→
f
(
x
0
)
∈
R
1
. С другой стороны,
f
(
x
n
k
)
<
−
n
k
→ −∞
.
Получили противоречие, что доказывает ограниченность множества
f
[
M
]
снизу. Аналогично показывается ограниченность этого множества сверху.
Так как множество
f
[
M
]
ограничено, то
(
∃
α
∈
R
1
) [
α
= inf
x
∈
M
f
(
x
) ]
∧
(
∃
β
∈
R
1
) [
β
= sup
x
∈
M
f
(
x
) ]
.
По определению точной нижней границы
(
∀
n
∈
N
) (
∃
x
n
∈
M
) [
α
≤
f
(
x
n
)
< α
+ 1
/n
]
.
Выделим подпоследовательность
{
x
n
k
} ⊂ {
x
n
}
такую, что
x
n
k
→
a
∈
M
.
Тогда, переходя в неравенствах
α
≤
f
(
x
n
k
)
< α
+ 1
/n
k
к пределу при
k
→ ∞
,
получим
α
=
f
(
a
)
. Аналогично доказывается, что
(
∃
b
∈
M
) [
β
=
f
(
b
)]
.
♥
•
Задача.
16.11. Доказать, что непрерывный образ компактного множества есть ком-
пактное множество.
§
17. Вполне ограниченные множества
Пусть
{
X, ρ
}
– метрическое пространство. Множество
S
⊂
X
называется
ε
-сетью
множества
M
⊂
X
, если
(
∀
x
∈
M
)(
∃
y
∈
S
)[
ρ
(
x, y
)
< ε
]
.
Множество
M
⊂
X
называется
вполне ограниченным
, если для любого
ε >
0
для
M
в
X
существует конечная
ε
-сеть.
•
Задача.
17.1. Пусть множество
A
вполне ограничено в метрическом пространстве.
Показать, что для любого
ε >
0
конечную
ε
– сеть для
A
можно выбрать так,
чтобы она содержалась в
A
.
— 38 —
Теорема 20.
Всякое вполне ограниченное множество в метрическом про-
странстве является ограниченным.
Доказательство.
Пусть
M
вполне ограниченное множество. Для
ε
= 1
построим для
M
конечную 1-сеть:
S
=
{
x
1
, x
2
, . . . , x
n
}
. Возьмем
r
= 1 +
max
2
≤
k
≤
n
ρ
(
x
1
, x
k
)
и рассмотрим шар
B
[
x
1
, r
]
. Покажем, что
M
⊂
B
[
x
1
, r
]
.
Пусть
x
∈
M
, тогда существует
x
k
∈
S
такой, что
ρ
(
x, x
k
)
<
1
. Далее получим
ρ
(
x, x
1
)
≤
ρ
(
x, x
k
) +
ρ
(
x
k
, x
1
)
<
1 + max
2
≤
k
≤
n
ρ
(
x
1
, x
k
) =
r.
Итак, множество
M
ограничено.
♥
Теорема (Хаусдорфа) 21.
Пусть
{
X, ρ
}
– метрическое пространство.
Для того, чтобы множество
M
⊂
X
было относительно компактным необхо-
димо, а в случае полноты пространства
X
и достаточно, чтобы множество
M
было вполне ограниченным.
Доказательство.
Необходимость. Пусть
M
относительно компактно и не
пусто. Возьмем произвольное
ε >
0
и
x
1
∈
M
. Может оказаться, что
M
⊂
B
(
x
1
, ε
)
, тогда
ε
-сетью для
M
будет множество
{
x
1
}
. Если же
M
6⊂
B
(
x
1
, ε
)
,
то
(
∃
x
2
∈
M
)[
ρ
(
x
2
, x
1
)
≥
ε
]
. Может оказаться, что
M
⊂
B
(
x
1
, ε
)
∪
B
(
x
2
, ε
)
,
тогда
ε
-сетью для
M
будет множество
{
x
1
, x
2
}
. Если же это не выполнено,
то
(
∃
x
3
∈
M
)[ (
ρ
(
x
3
, x
1
)
≥
ε
)
∧
(
ρ
(
x
3
, x
2
)
≥
ε
) ]
, и т.д.
Продолжая этот процесс, возможно, что на каком-то
n
-ом шаге постро-
им
x
1
, x
2
, ..., x
n
∈
M
такие, что множество
{
x
k
}
n
k
=1
будет конечной
ε
-сетью
для
M
, что завершит доказательство необходимости. Иначе это построение
элементов
x
n
будет продолжаться бесконечно. В этом случае построим после-
довательность
{
x
n
} ⊂
M
такую, что
ρ
(
x
i
, x
j
)
≥
ε
(
i
6
=
j
)
. Но тогда из
{
x
n
}
нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, что противоречит от-
носительной компактности множества
M
.
Достаточность. Пусть
X
– полное пространство и множество
M
⊂
X
вполне ограничено. Возьмем последовательность
ε
n
&
0
при
n
→ ∞
. Для
каждого
ε
n
построим для
M
конечную
ε
n
-сеть
S
n
=
{
z
n
1
, z
n
2
, ..., z
n
m
n
}
. Пусть
дана последовательность
{
x
n
} ⊂
M
. Покажем, что из этой последовательно-
сти можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Заметим, что
{
x
n
} ⊂
M
⊂
S
m
1
i
=1
B
(
z
1
i
, ε
1
)
. Так как шаров конечное число,
то существует шар
B
(
z
1
i
, ε
1
)
, который содержит бесконечно много членов по-
следовательности
{
x
n
}
, то есть
(
∃{
x
1
n
} ⊂ {
x
n
}
)[
{
x
1
n
} ⊂
B
(
z
1
i
, ε
1
) ]
. Повторяя
рассуждения для
S
2
, получим существование шара
B
(
z
2
i
, ε
2
)
, содержащего
подпоследовательность
{
x
2
n
} ⊂ {
x
1
n
}
, то есть
{
x
2
n
} ⊂
B
(
z
2
i
, ε
2
)
. Продолжая
— 39 —
этот процесс получим,
³
∀
m
∈
N
´³
∃
B
(
z
m
i
, ε
m
)
´³
∃{
x
m
n
} ⊂ {
x
m
−
1
n
}
´h
{
x
m
n
} ⊂
B
(
z
m
i
, ε
m
)
i
,
где последовательность
{
x
0
n
}
=
{
x
n
}
. Составим диагональную последователь-
ность
{
x
k
k
} ⊂ {
x
n
}
. Покажем, что диагональная последовательность фунда-
ментальна. Действительно,
x
k
k
, x
k
+
p
k
+
p
∈
B
(
z
k
i
, ε
k
)
, где
p
≥
0
. Поэтому
ρ
(
x
k
+
p
k
+
p
, x
k
k
)
≤
ρ
(
x
k
+
p
k
+
p
, z
k
i
) +
ρ
(
z
k
i
, x
k
k
)
<
2
ε
k
→
0 (
k
→ ∞
)
.
Осталось заметить, что фундаментальная последовательность
{
x
k
k
} ⊂ {
x
n
}
в
силу полноты пространства
X
сходится.
♥
Следствие.
Пусть множество
M
⊂
X
, где
{
X, ρ
}
– метрическое про-
странство, такое, что для любого
ε >
0
существует множество
A
⊂
X
, явля-
ющееся относительно компактной
ε
-сетью для
M
. Тогда множество
M
вполне
ограничено.
Доказательство.
Пусть задано
ε >
0
и множество
A
⊂
X
– относительно
компактная
ε/
2
-сеть для
M
. По теореме 21 в
X
существует конечное множе-
ство
S
=
{
x
1
, x
2
, ..., x
m
}
, являющееся
ε/
2
-сетью для
A
. Покажем, что
S
–
ε
-
сеть для
M
. Действительно, пусть
x
∈
M
. Тогда
(
∃
y
∈
A
)[
ρ
(
x, y
)
< ε/
2 ]
. Да-
лее
(
∃
x
i
∈
S
)[
ρ
(
y, x
i
)
< ε/
2 ]
. В таком случае,
ρ
(
x, x
i
)
≤
ρ
(
x, y
) +
ρ
(
y, x
i
)
< ε
,
то есть
S
–
ε
-сеть для
M
.
♥
Замечание.
Если в следствии дополнительно потребовать, что простран-
ство
{
X, ρ
}
полное, то множество
M
, в силу теоремы 21, будет относительно
компактным.
§
18. Критерии относительной компактности
Относительная компактность в
R
n
p
(1
≤
p <
∞
)
.
Теорема 22.
Mножество
M
⊂
R
n
p
относительно компактно тогда и только
тогда, когда это множество в
R
n
p
ограничено.
Доказательство.
Всякое относительно компактное множество ограниче-
но. Покажем, что в
R
n
p
справедливо и обратное утверждение.
Пусть множество
M
⊂
R
n
p
и ограничено, то есть
M
⊂
B
[
θ, r
]
, где
θ
=
(0
,
0
, ...,
0)
и
r >
0
. Следовательно, если
x
= (
x
1
, x
2
, ..., x
n
)
∈
M
, то
ρ
(
x, θ
) =
(
P
n
i
=1
|
x
i
|
p
)
1
/p
6
r
. Тогда
(
∀
i
= 1
, n
)[
|
x
i
| ≤
r
]
, то есть координаты точек
множества
M
в совокупности ограничены.
Берем последовательность
{
x
(
m
)
}
∞
m
=1
⊂
M
, где в координатах элемент
x
(
m
) = (
x
1
(
m
)
, x
2
(
m
)
, ..., x
n
(
m
))
. Из ограниченности последовательности
{
x
(
m
)
}
следует, что
(
∀
m
∈
N
)(
∀
i
= 1
, n
)[
|
x
i
(
m
)
| ≤
r
]
. Из ограниченной чис-
ловой последовательности
{
x
1
(
m
)
}
выделим такую подпоследовательность
— 40 —
{
x
1
(
m
1
k
)
}
, что
x
1
(
m
1
k
)
→
x
1
при
k
→ ∞
. Из числовой последовательности
{
x
2
(
m
1
k
)
}
выделим подпоследовательность
{
x
2
(
m
2
k
)
}
, что
x
2
(
m
2
k
)
→
x
2
при
k
→ ∞
. При этом, очевидно,
x
1
(
m
2
k
)
→
x
1
. Проделав эту процедуру последо-
вательно для всех
n
координат, получим последовательность
{
x
(
m
n
k
)
}
∞
k
=1
⊂
{
x
(
m
)
}
∞
m
=1
, где
x
(
m
n
k
) = (
x
1
(
m
n
k
)
, x
2
(
m
n
k
)
, ..., x
n
(
m
n
k
))
и
x
i
(
m
n
k
)
→
x
i
при
k
→ ∞
для каждого
i
= 1
, n
. Следовательно, последовательность
{
x
(
m
n
k
)
}
покоординатно сходится к элементу
x
= (
x
1
, x
2
, ..., x
n
)
, что в
R
n
p
равносильно
сходимости по метрике. Значит множество
M
относительно компактно.
♥
Замечание.
Утверждения, подобные теореме 22, справедливы также в про-
странствах
R
n
∞
и
C
n
p
(1
≤
p
≤ ∞
)
.
•
Задача.
18.1. Пусть
A
и
B
– ограниченные множества в метрическом простран-
стве. Показать, что в метрическом пространстве
R
1
относительно компактно
множество
{
λ
=
ρ
(
x, y
)
|
(
x
∈
A
)
∧
(
y
∈
B
)
}
.
Относительная компактность в
C
[
a, b
]
.
Пусть множество
M
=
{
x
(
t
)
} ⊂
C
[
a, b
]
.
Ограниченность
M
означает, что
(
∃
K
≥
0)(
∀
x
∈
M
)(
∀
t
∈
[
a, b
])[
|
x
(
t
)
| ≤
K
]
.
Множество
M
называется
равностепенно непрерывным
, если
(
∀
ε >
0)(
∃
δ >
0)(
∀
x
∈
M
)(
∀
t
1
, t
2
∈
[
a, b
])[(
|
t
1
−
t
2
|
< δ
)
→
(
|
x
(
t
1
)
−
x
(
t
2
)
|
< ε
)]
.
Теорема (Арцела) 23.
Множество
M
⊂
C
[
a, b
]
относительно компактно
тогда и только тогда, когда оно ограничено и равностепенно непрерывно.
Доказательство.
Пусть множество
M
относительно компактно. Тогда, по
теореме 18, оно ограничено. Покажем равностепенную непрерывность
M
.
Возьмем произвольное
ε >
0
. Выберем в
C
[
a, b
]
множество
{
ϕ
i
}
k
i
=1
, явля-
ющееся конечной
ε/
3
-сетью для
M
. Каждая функция
ϕ
i
(
t
)
, где
i
= 1
, k
,
непрерывна на
[
a, b
]
, следовательно, равномерно непрерывна. Тогда
(
∃
δ
i
>
0)(
∀
t
1
, t
2
∈
[
a, b
]) [(
|
t
1
−
t
2
|
< δ
i
)
→
(
|
ϕ
i
(
t
1
)
−
ϕ
i
(
t
2
)
|
< ε/
3)]
.
Возьмем
δ
= min
1
≤
i
≤
k
δ
i
>
0
и функцию
x
∈
M
, для которой найдем функ-
цию
ϕ
i
из
ε/
3
-сети такую, что
ρ
(
x, ϕ
i
)
< ε/
3
. Тогда при условии
|
t
1
−
t
2
|
< δ
получим
|
x
(
t
1
)
−
x
(
t
2
)
| ≤ |
x
(
t
1
)
−
ϕ
i
(
t
1
)
|
+
|
ϕ
i
(
t
1
)
−
ϕ
i
(
t
2
)
|
+
|
ϕ
i
(
t
2
)
−
x
(
t
2
)
|
<
2
ρ
(
x, ϕ
i
) +
ε/
3
< ε.
Таким образом, множество
M
равностепенно непрерывно.
Пусть теперь множество
M
ограничено и равностепенно непрерывно. По-
кажем, что
M
относительно компактно. Пусть дана последовательность фун-
кций
x
n
∈
M
. Выделим из
{
x
n
}
сходящуюся подпоследовательность.