ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.04.2021
Просмотров: 1325
Скачиваний: 6
— 26 —
Примером множества первой категории в
R
1
является множество
Q
раци-
ональных чисел.
Если множество в метрическом пространстве не является множеством пер-
вой категории, то оно называется множеством
второй категории
.
Теорема (Бэра) 13.
Всякое полное метрическое пространство является
множеством второй категории.
Доказательство.
Пусть
{
X, ρ
}
– полное метрическое пространство. Пред-
положим, что множество
X
не является множеством второй категории. Тогда
X
=
S
∞
n
=1
M
n
, где все множества
M
n
– нигде не плотные. Возьмем произволь-
ный замкнутый шар
B
[
a,
1]
⊂
X
. Так как
B
(
a,
1)
⊂
B
[
a,
1]
, а множество
M
1
нигде не плотно, то
(
∃
B
(
x
1
, r
)
⊂
B
(
a,
1)) [
B
(
x
1
, r
)
∩
M
1
=
∅
]
. Возьмем шар
B
[
x
1
, r
1
]
⊂
B
(
x
1
, r
)
, для которого также
B
[
x
1
, r
1
]
∩
M
1
=
∅
. Можно считать,
что
r
1
<
1
/
2
.
Точно так же можно построить
B
[
x
2
, r
2
]
⊂
B
[
x
1
, r
1
]
такой, что
B
[
x
2
, r
2
]
∩
M
2
=
∅
и
r
2
<
1
/
(2
2
)
. Поступая подобным образом, получим последователь-
ность замкнутых шаров
{
B
[
x
n
, r
n
]
}
таких, что
r
n
<
1
/
(2
n
)
→
0
при
n
→ ∞
и
(
∀
n
∈
N
) [
B
[
x
n
+1
, r
n
+1
]
⊂
B
[
x
n
, r
n
] ]
.
Воспользуемся теоремой 11 о вложенных шарах. Тогда в
X
существует
элемент
x
∈
T
∞
n
=1
B
[
x
n
, r
n
]
. Так как
x
∈
B
[
x
1
, r
1
]
, то
x /
∈
M
1
. Аналогично
x /
∈
M
n
для любого
n
. Это означает, что
x /
∈
X
. Получили противоречие.
♥
•
Задачи:
12.1. Доказать, что множество всех иррациональных чисел является в
R
1
множеством второй категории.
12.2. Доказать, что в полном метрическом пространстве дополнение к мно-
жеству первой категории есть множество второй категории.
12.3. Какой категории на
R
2
2
является множество
E
всех точек, обе коор-
динаты которых иррациональные числа ? Какой категории на
R
2
2
множество
CE
=
R
2
2
\
E
?
§
13. Сепарабельные пространства
Метрическое пространство
{
X, ρ
}
называется
сепарабельным
, если в этом
метрическом пространстве существует счетное всюду плотное множество, то
есть
(
∃
M
⊂
X
) [ (
M
∼
N
)
∧
(
M
=
X
) ]
.
Простым примером сепарабельного пространства является
R
1
, в котором
счетным всюду плотным множеством является множество рациональных чи-
сел
Q
.
— 27 —
Приведем другие
примеры сепарабельных пространств
.
1. Пространство
R
n
p
для
1
≤
p <
∞
. Возьмем множество
Q
n
⊂
R
n
p
. Как
известно,
Q
n
∼
N
. Покажем, что
Q
n
=
R
n
p
. Пусть элемент
x
= (
x
1
, x
2
, ..., x
n
)
∈
R
n
p
и задано
ε >
0
. По свойству плотности в
R
1
множества рациональных чи-
сел
Q
найдется
α
= (
α
1
, α
2
, ..., α
n
)
∈
Q
n
такой, что для всех
k
= 1
, n
выполня-
ется
|
x
k
−
α
k
|
< ε/
(
n
1
/p
)
. В таком случае,
ρ
(
x, α
) =
³P
n
k
=1
|
x
k
−
α
k
|
p
´
1
/p
< ε
.
Следовательно,
x
– точка прикосновения множества
Q
n
. Учитывая произ-
вольность
x
∈
R
n
p
, доказали, что множество
Q
n
всюду плотно в
R
n
p
.
♥
Подобным образом доказывается сепарабельность и пространства
R
n
∞
.
2. Пространство
C
[
a, b
]
.
Рассмотрим множество
M
всевозможных мно-
гочленов на
[
a, b
]
с рациональными коэффициентами. Заметим, что это мно-
жество
M
=
S
∞
n
=0
M
n
, где
M
n
– множество многочленов с рациональными
коэффициентами, степень которых не превышает
n
. Так как каждый много-
член однозначно определяется своими коэффициентами, то
M
n
∼
Q
n
+1
. Но
Q
n
+1
∼
N
, поэтому и
M
n
∼
N
. Следовательно,
M
∼
N
, то есть является
счетным множеством.
Покажем, что
M
=
C
[
a, b
]
. Возьмем элемент
x
∈
C
[
a, b
]
и
ε >
0
. В силу
теоремы Стоуна-Вейерштрасса найдется многочлен
P
(
t
) =
α
0
+
α
1
t
+
α
2
t
2
+
...
+
α
n
t
n
с вещественными коэффициентами
α
i
∈
R
(
i
= 1
, n
)
такой, что для всех
t
∈
[
a, b
]
выполняется
|
x
(
t
)
−
P
(
t
)
|
< ε/
2
. Построим многочлен
Q
∈
M
Q
(
t
) =
β
0
+
β
1
t
+
β
2
t
2
+
...
+
β
n
t
n
с коэффициентами
β
i
∈
Q
(
i
= 1
, n
)
и такой, что
|
α
i
−
β
i
|
< ε/
[2(
n
+ 1)
K
i
]
,
где
K
= max
{|
a
|
,
|
b
|}
. В таком случае для всех
t
∈
[
a, b
]
получим
|
P
(
t
)
−
Q
(
t
)
| ≤ |
α
0
−
β
0
|
+
|
α
1
−
β
1
|
K
+
...
+
|
α
n
−
β
n
|
K
n
< ε/
2
.
Следовательно,
ρ
(
x, Q
)
≤
max
a
≤
t
≤
b
|
x
(
t
)
−
P
(
t
)
|
+ max
a
≤
t
≤
b
|
P
(
t
)
−
Q
(
t
)
|
< ε.
Установили, что
x
∈
M
, то есть
M
=
C
[
a, b
]
. Таким образом,
M
счетное
всюду плотное в
C
[
a, b
]
множество, а пространство
C
[
a, b
]
сепарабельно.
♥
3. Пространство
s
.
Рассмотрим множество
M
последовательностей с
рациональными координатами, у которых число ненулевых координат конеч-
но. Заметим, что
M
=
S
∞
n
=1
M
n
, где
M
n
– множество последовательностей
с рациональными координатами, у которых ненулевыми могут быть только
первые
n
координат. Очевидно, что
M
n
∼
Q
n
∼
N
. Поэтому и
M
∼
N
, то
есть множество
M
является счетным.
— 28 —
Покажем, что
M
=
s
. Пусть
x
= (
x
1
, x
2
, ..., x
k
, ...
)
∈
s
и
ε >
0
. Выберем
m
∈
N
такое, что
P
∞
k
=
m
+1
1
/
(2
k
)
< ε/
2
. Найдем
α
i
∈
Q
(
i
= 1
, m
)
такие, что
|
x
k
−
α
k
|
< ε/m
. Тогда
m
X
k
=1
|
x
k
−
α
k
|
2
k
(1 +
|
x
k
−
α
k
|
)
<
1
2
m
X
k
=1
|
x
k
−
α
k
|
<
ε
2
.
В результате для
α
= (
α
1
, α
2
, ..., α
m
,
0
,
0
, ...
)
∈
M
получим
ρ
(
x, α
) =
m
X
k
=1
|
x
k
−
α
k
|
2
k
(1 +
|
x
k
−
α
k
|
)
+
∞
X
k
=
m
+1
|
x
k
|
2
k
(1 +
|
x
k
|
)
<
ε
2
+
∞
X
k
=
m
+1
1
2
k
< ε.
Установили, что
x
∈
M
, то есть
M
=
s
. Таким образом,
M
счетное всюду
плотное в
s
множество, но тогда пространство
s
сепарабельно.
♥
4. Пространство
l
p
для
1
6
p <
∞
. Вновь рассмотрим счетное множе-
ство
M
из предыдущего примера. Очевидно, что
M
⊂
l
p
.
Покажем, что
M
=
l
p
. Возьмем
x
= (
x
1
, x
2
, ..., x
k
, ...
)
∈
l
p
и
ε >
0
. Так как
P
∞
k
=1
|
x
k
|
p
<
∞
, то найдется
m
∈
N
такое, что
P
∞
k
=
m
+1
|
x
k
|
p
< ε
p
/
2
. Найдем
α
i
∈
Q
(
i
= 1
, m
)
такие, что
|
x
k
−
α
k
|
< ε/
(2
m
)
1
/p
. Тогда для элемента
α
= (
α
1
, α
2
, ..., α
m
,
0
,
0
, ...
)
∈
M
получим
ρ
p
(
x, α
) =
m
X
k
=1
|
x
k
−
α
k
|
p
+
∞
X
k
=
m
+1
|
x
k
|
p
<
ε
p
2
+
ε
p
2
=
ε
p
.
Следовательно,
ρ
(
x, α
)
< ε
. Таким образом,
x
∈
M
, то есть
M
=
l
p
. Показа-
ли, что
M
счетное всюду плотное в
l
p
множество, но тогда пространство
l
p
сепарабельно.
♥
Приведем
примеры несепарабельных пространств.
1. Пространство
M
[
a, b
]
.
Пусть параметр
τ
∈
[
a, b
]
. Определим на
[
a, b
]
функцию
x
τ
(
t
) =
(
1
,
t
=
τ
0
,
t
6
=
τ .
Очевидно, функция
x
τ
∈
M
[
a, b
]
. Рассмотрим в
M
[
a, b
]
множество функций
K
=
{
x
τ
|
τ
∈
[
a, b
]
}
. Заметим, что
K
∼
[
a, b
]
, то есть является множеством
мощности континуум, в частности
K
несчетное. Пусть теперь
τ
1
6
=
τ
2
, тогда
ρ
(
x
τ
1
, x
τ
2
) = sup
a
6
t
6
b
|
x
τ
1
(
t
)
−
x
τ
2
(
t
)
|
= 1
.
Предположим, что существует некоторое множество
M
⊂
M
[
a, b
]
такое,
что
M
=
M
[
a, b
]
. Тогда
(
∀
x
τ
∈
K
)(
∃
y
τ
∈
M
)[
ρ
(
x
τ
, y
τ
)
<
1
/
3 ]
. При этом
— 29 —
разным функциям
x
τ
1
, x
τ
2
∈
K
(
τ
1
6
=
τ
2
)
соответствуют разные функции
y
τ
1
, y
τ
2
∈
M
. Иначе, если
y
τ
1
=
y
τ
2
=
y
∈
M
, получим противоречие
1 =
ρ
(
x
τ
1
, x
τ
2
)
≤
ρ
(
x
τ
1
, y
) +
ρ
(
y, x
τ
2
)
<
1
/
3 + 1
/
3 = 2
/
3
.
Таким образом, элементов в множестве
M
не меньше, чем в множестве
K
, которое несчетно. Следовательно, множество
M
несчетно, а пространство
M
[
a, b
]
несепарабельно.
♥
2. Пространство
m
.
Рассмотрим в
m
множество
K
всевозможных по-
следовательностей из
0
и
1
. Из теории множеств известно, что
K
является
множеством мощности континуум. Пусть
x
1
, x
2
∈
K
– две разные последова-
тельности. Очевидно, что
ρ
(
x
1
, x
2
) = 1
.
Дальнейшие рассуждения аналогичны тем, что проделаны выше в про-
странстве
M
[
a, b
]
. Действительно, предположим, что существует некоторое
множество последовательностей
M
⊂
m
такое, что
M
=
m
. В таком случае,
(
∀
x
∈
K
)(
∃
y
∈
M
)[
ρ
(
x, y
)
<
1
/
3 ]
. При этом разным последовательностям
x
1
, x
2
∈
K
соответствуют разные
y
1
, y
2
∈
M
. В противном случае, если со-
ответствующие
y
1
=
y
2
, получим
1 =
ρ
(
x
1
, x
2
)
<
2
/
3
. Как и выше отсюда
следует, что множество
M
несчетно и пространство
m
несепарабельно.
♥
§
14. Непрерывные отображения
Пусть
{
X, ρ
X
}
и
{
Y, ρ
Y
}
– два метрических пространства. Пусть множе-
ство
M
⊂
X
и
f
– функция (отображение) из
M
в
Y
, то есть
f
:
M
→
Y
.
Дадим два определения непрерывности функции
f
в точке
x
0
∈
M
.
1. Функция
f
называется
непрерывной в точке
x
0
∈
M
по Гейне, если
(
∀{
x
n
} ⊂
M
)
h ³
lim
n
→∞
x
n
=
x
0
´
→
³
lim
n
→∞
f
(
x
n
) =
f
(
x
0
)
´i
.
2. Функция
f
называется
непрерывной в точке
x
0
∈
M
по Коши, если
(
∀
ε >
0)(
∃
δ >
0)(
∀
x
∈
M
)
h³
ρ
X
(
x, x
0
)
< δ
´
→
³
ρ
Y
(
f
(
x
)
, f
(
x
0
))
< ε
´i
.
(14)
Теорема 14.
Определения непрерывности 1 и 2 эквивалентны.
Доказательство.
Пусть функция
f
:
M
→
Y
непрерывна в точке
x
0
∈
M
по Коши. Возьмем последовательность
{
x
n
} ⊂
M
такую, что
x
n
→
x
0
при
n
→ ∞
. Зададим
ε >
0
и найдем по определению 2 соответствующее
δ >
0
.
Затем найдем
N
=
N
(
δ
)
такое, что
(
∀
n
≥
N
)[
ρ
X
(
x
n
, x
0
)
< δ
]
. Но тогда
ρ
Y
(
f
(
x
n
)
, f
(
x
0
))
< ε
. Следовательно,
f
(
x
n
)
→
f
(
x
0
)
при
n
→ ∞
, то есть
установили непрерывность по Гейне.
Пусть теперь функция
f
:
M
→
Y
непрерывна в точке
x
0
∈
M
по Гейне.
Предположим, что в смысле определения 2 функция
f
не является непре-
— 30 —
рывной в точке
x
0
. Это означает, что
(
∃
ε >
0)(
∀
δ >
0)(
∃
x
∈
M
)
h³
ρ
X
(
x, x
0
)
< δ
´
∧
³
ρ
Y
(
f
(
x
)
, f
(
x
0
))
≥
ε
´i
.
Выберем последовательность
{
δ
n
}
такую, что
δ
n
&
0
при
n
→ ∞
. Для каж-
дого
δ
n
найдем соответствующее значение
x
n
∈
M
такое, что
ρ
X
(
x
n
, x
0
)
< δ
n
и
ρ
Y
(
f
(
x
n
)
, f
(
x
0
))
≥
ε
. Очевидно, что
x
n
→
x
0
. В то же время последователь-
ность
{
f
(
x
n
)
}
не может сходиться к
f
(
x
0
)
. Получили противоречие с тем, что
функция
f
непрерывна в
x
0
по определению 1.
Итак, и из непрерывности функции в определении 1 следует ее непрерыв-
ность в определении 2.
♥
Следствие.
Для непрерывности функции
f
:
M
→
Y
в точке
x
0
∈
M
достаточно, чтобы для любой последовательности
x
n
→
x
0
в
X
последова-
тельность
{
f
(
x
n
)
}
была сходящейся в
Y
.
Доказательство.
Предположим, что это утверждение неверно. Тогда
(
∃{
x
n
} ⊂
M
)
h ³
lim
n
→∞
x
n
=
x
0
´
∧
³
lim
n
→∞
f
(
x
n
) =
y
6
=
f
(
x
0
)
´i
.
Построим последовательность
{
x
0
n
}
∞
n
=1
такую, что
x
0
2
n
=
x
n
и
x
0
2
n
+1
=
x
0
.
Получим противоречие, так как
x
0
n
→
x
0
, но последовательность
{
f
(
x
0
n
)
}
не
сходится:
f
(
x
0
2
n
)
→
y
,
f
(
x
0
2
n
+1
)
→
f
(
x
0
)
и
y
6
=
f
(
x
0
)
.
♥
Функция
f
:
M
→
Y
, непрерывная в любой точке
x
∈
M
, называется
непрерывной на множестве
M
.
Функция
f
:
M
→
Y
такая, что
(
∀
ε >
0)(
∃
δ >
0)(
∀
x
1
, x
2
∈
M
)
h³
ρ
X
(
x
1
, x
2
)
< δ
´
→
³
ρ
Y
(
f
(
x
1
)
, f
(
x
2
))
< ε
´i
,
называется
равномерно непрерывной на множестве
M
.
Функция
f
:
M
→
Y
удовлетворяет условию Липшица
на
M
, если
(
∃
q
≥
0)(
∀
x, y
∈
M
)[
ρ
Y
(
f
(
x
)
, f
(
y
))
≤
q ρ
X
(
x, y
) ]
.
Очевидно, что всякая равномерно непрерывная на множестве функция яв-
ляется непрерывной на этом множестве, а всякая функция, удовлетворяющая
условию Липшица на множестве, является равномерно непрерывной на этом
множестве.
•
Задачи:
14.1. Проверить непрерывность следующих функций, действующих в про-
странстве
R
2
1
, где
x
= (
x
1
, x
2
)
:
1)
f
(
x
) = (2
x
1
, x
1
−
x
2
)
, 2)
f
(
x
) = (
x
2
1
, x
2
2
)
, 3)
f
(
x
) = (sin
x
2
, x
1
)
,
4)
f
(
x
) = (
x
2
,
tg
x
2
)
,
5)
f
(
x
) = (
x
1
/x
2
, x
2
/x
1
)
.
14.2. Проверить непрерывность действующих в пространстве
C
[0
,
1]
функ-
ций: