Файл: Методическое пособие по Статистике для обучающихся по специальности.pdf

58
Средняя гармоническая используется в тех случаях, когда известны индивидуальные значения признака ????
????
и общий объем признака
????
????
= ????
????
????
????
, а частоты ????
????
неизвестны. В этом случае преобразуем формулу средней арифметической:
???? =
????
????
????
????
????
????
=
????
????
????
????
????
????
Формула средней гармонической является преобразованной формой средней арифметической и тождественно равна ей.
В тех случаях, когда произведение вариант на соответствующие им частоты равны между собой, используется средняя гармоническая простая:
???? =
????
1
????
Рассмотрим расчет среднего расхода времени продавцов на обслуживание одного покупателя в течение часа, если один продавец на обслуживание одного покупателя тратит 3 минуты, а второй – 4 минуты.
Для нахождения среднего расхода времени на одного покупателя используем следующую формулу:
???? =
все затраченное время число обслужанных покупателей
=
60 + 60 60 3
+
60 4
=
1 + 1 1
3
+
1 4
=
24 7
≈ 3,4 минуты
Это и есть формула средней гармонической простой.
Среднюю геометрическую применяют в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представлены в виде относительных величин динамики и построены в виде цепных величин, как отношение каждого последующего уровня к предыдущему уровню ряда динамики.
Средняя геометрическая равна корню ???? − ой степени из произведения вариант признака ????
????
???? = ????
1
∙ ????
2
∙ … ∙ ????
????
????
Этот вид средней используется для вычисления средних темпов роста в рядах динамики.

59
Пример, производство продукции на предприятии за первый год увеличилось в 1,061 раза; за второй – в 1,062 раза; за третий – в 1,122 раза.
Как определить среднегодовой темп роста производства продукции предприятия? За три года производство продукции выросло в 1,061 ∙
1,062 ∙ 1,122 ≈ 1,264 раза. Среднегодовой темп роста находим по формуле средней геометрической:
???? = 1,061 ∙ 1,062 ∙ 1,122 3
≈ 1,264 3
≈ 1,081.
Средняяквадратическаяиспользуется для определения показателей вариации признака – дисперсии и среднего квадратического отклонения.
Средняя квадратическая простая является квадратным корнем из частного от делениясуммы квадратов отдельных значений признака на их число:
???? =
????
????
2
????
Средняя квадратическая взвешенная: ???? =
????
????
2
????
????
????
????
Тестовый контроль знаний.
Средние величины.
1. Объем варьирующего признака во все совокупности является суммой значений признака у отдельных единиц. В этом случае для расчета среднего значения используется средняя:
1) геометрическая;
2) гармоническая;
3) арифметическая.
2. Типичный уровень изучаемого признака в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени отражает статистический показатель:
1) абсолютный;
2) средний;
3) относительный;
4) индивидуальный.

60 3. Формулу средней арифметической взвешенной величины целесообразно применять, если:
1) значения вариантов повторяются;
2) необходимо рассчитать средний темп роста;
3) значения вариантов не повторяются;
4) информация задана в виде произведений вариантов и частот
(объемов явлений).
4. Если частоты всех вариантов в совокупности уменьшить в два раза, то средняя величина признака:
1) не изменится;
2) увеличится в 2 раза;
3) уменьшится в 2 раза;
4) увеличится в 4 раза.
5. Если увеличить все значения признака в совокупности в 2 раза. То средняя величина признака:
1) не изменится;
2) увеличится в 2 раза;
3) уменьшится в 2 раза;
4) увеличится в 4 раза.
6. Формулу средней гармонической величины целесообразно применять, если:
1) информация задана в виде произведений вариантов и частот
(объемов явлений);
2) значения вариантов повторяются ;
3) необходимо рассчитать средний темп роста;
4) значения вариантов не повторяются.
7. Формулу средней арифметической простой величины целесообразно применять, если:
1) значения вариантов повторяются;
2) необходимо рассчитать средний темп роста;

61 3) информация задана в виде произведений вариантов и частот (объемов явлений);
4) значения вариантов не повторяются.
8. Определите средний уровень квалификации работников предприятия.
Данные об уровне квалификации работников предприятия.
Тарифный разряд
Число работников, чел
2 4
3 16 4
24 5
18 9. Определите среднюю величину заработной платы работников малого предприятия, если фонд оплаты труда семи рабочих составил 160 тыс. руб., а четырнадцати – 500 тыс. руб.
Практическое занятие № 4
Расчет средних величин с учетом исходных данных.
Цель работы: приобретение и отработка навыков исчисления средних величин
1 вариант.
1. На основе предложенных данных вычислите среднюю прибыль предприятия:
Распределение предприятий отрасли по объему годовой прибыли.
Прибыль, млн. руб
Число предприятий
10-20 17 20-30 22 30-40 36 40-60 47 60-80 51 80-100 39 2. На изготовление одной детали первый фрезеровщик потратил 12 мин,а второй – 15 мин. Определите среднее время изготовления одной детали втечение 8-часового рабочего дня.
3. Известны следующие данные о производстве товара:

62
Группа рабочих
Всего произведено за месяц, шт.
Средняя выработка одного рабочего, шт.
Число рабочих
1 2784 232 2
5720 286 3
8100 324
Всего
Определите среднюю выработку всех рабочих предприятия и обоснуйте выбор средней.
2 вариант.
1. На основе предложенных данных вычислите среднюю прибыль предприятия:
Распределение предприятий отрасли по объему годовой прибыли.
Прибыль, млн. руб
Число предприятий
10-30 15 30-50 24 50-70 32 70-80 46 80-100 54 100-120 36 2. На обслуживание одного покупателя один продавец расходует 3 мин, а второй – 4 мин. Определите средние расходы времени продавцов на обслуживание одного покупателя в течение часа.
3. Валовой сбор и урожайность пшеницы характеризуется такими данными:
Культура
Валовый сбор, т
Урожайность, ц/га
Площадь посевов, га
Пшеница озимая
22862 36,5
Пшеница яровая
812 26,0
Всего
Определите среднюю урожайность пшеницы и обоснуйте выбор средней.
5.3. Структурные средние.
Структурные средние величины применяются для изучения структуры явления. Мода (Мо) – это наиболее часто встречающееся значение признака. Для атрибутивных и дискретных рядов распределения моду

63 определяют без расчетов по значению варианты с наибольшей частотой. В интервальном ряду определяется интервал с наибольшей частотой
(модальный), значение мода рассчитывается по формуле:
Мо = ????
Мо
+
????(????
Мо
− ????
Мо−1
)
????
Мо
− ????
Мо−1
+ (????
Мо
− ????
Мо+1
)
????
Мо
– нижняя граница модального интервала;
???? – ширина модального интервала;
????
Мо
, ????
Мо−1
, ????
Мо+1
– частота соответственно модального, предшествующего модальному и следующего за модальным интервалов.
Медиана (Ме) – значение признака, расположенное в середине ранжированного вариационного ряда и делящее этот ряд на две равные части. Если число единиц совокупности четное, то медианой является среднее из двух значений признака, расположенных посередине. Для интервального ряда определяют интервал, в котором сумма накопленных частот превышает половину частот ряда распределения (медианный).
Медиана рассчитывается по формуле:
Ме = ????
Ме
+
????(0,5 ????
????
− ????
Ме−1
)
????
Ме
????
Ме
– нижняя граница медианного интервала;
???? – ширина медианного интервала;
0,5 ????
????
– половина суммы накопленных частот интервального ряда;
????
Ме−1
– накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
????
Ме
– частота медианного интервала.
5.4. Показатели вариации.
Вариацией признака в совокупностиназывают отличие его значений у разных единиц совокупности. Чем меньше вариация, тем более однородна совокупность. Для измерения величины вариации используются абсолютные и относительные показатели вариации.
К абсолютным показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

64
Размах вариации – это разность между максимальным и минимальным значениями признака:???? = ????
????????????
− ????
????????????
Величина показателя зависит только от крайних значений признака и не учитывает всех значений признака.
Среднее линейное отклонение – это средняяарифметическая из абсолютных значений всех отклонений индивидуальных значений признака от среднего: простое: ???? =
????
????
−????
????
;
взвешенное: ???? =
????
????
−???? ????
????
????
????
Сумма линейных отклонений индивидуальных значений признака от среднего равна нулю, поэтому в этих формулах разности в числителе берутся по модулю. Среднее линейное отклонение применяют в статистике в том случае, когда суммирование величин без учета знаков имеет экономический смысл.
Дисперсией называют среднюю арифметическую квадратов отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. простая: ????
2
=
(????
????
−???? )
2
????
; взвешенная: ????
2
=
(????
????
−???? )
2
????
????
????
????
Среднее квадратическое отклонение вычисляют, извлекая квадратный корень из дисперсии. простое: ????= ????
2
=
(????
????
−???? )
2
????
; взвешенное: ????= ????
2
=
(????
????
−???? )
2
????
????
????
????
Среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько в среднем отклоняются индивидуальные значения признака от их средних значений.

65
Абсолютные показатели вариации, за исключением дисперсии, имеют те же единицы измерения, что и исследуемый признак.Дисперсия единицы измерения не имеет.
Для сравнения величины вариации в разных совокупностях или по разным признакам используют относительные показатели вариации. К ним относятся: коэффициент осцилляции, относительное линейное отклонение, коэффициент вариации. Их рассчитывают как отношение абсолютных показателей вариации к средней величине признака и выражают в процентах.
Коэффициент осцилляции: ????
????
=
????
????
∙ 100%
Относительное линейное отклонении: ????
????
=
????
????
∙ 100%
Коэффициентом
вариации
называют отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической величине признака:
????
????
=
????
????
∙ 100%
По величине коэффициента вариации судят об однородности изучаемой совокупности. Чем больше коэффициент вариации, тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем менее однородна совокупность.
Установлено, что совокупность количественно однородна, если коэффициент вариации не превышает 33%.
Практическое занятие № 5
Расчет абсолютных и относительных показателей вариации.
Цель работы: приобретение и отработка навыков исчисления показателей вариации.
1 вариант.
1. По данным ряда распределения определите среднее абсолютное отклонение срока эксплуатации грузовых автомобилей одного транспортного предприятия:

66
Срок эксплуатации, лет до 4 4-8 8-12 12 и больше
Всего
Количество автомобилей
25 40 20 15 100 2. По результатам контрольных проверок жирности молока, которое поступило на молокозавод, определите дисперсию:
Жирность молока, %
3.6-3,8 3,8-4,0 4,0-4,2
Всего
Количество проб
12 6
2 20 3. Коэффициент вариации равен 12%, а среднее значение признака в совокупности – 18 тыс. руб. Рассчитайте среднее отклонение величины признака в совокупности.
2 вариант.
1. Распределение предприятий по оценкам привлекательности характеризуется данными:
Оценка
0,6-0,8 0,8-1,0 1,0-1,2 1,2 и больше Всего
Количество предприятий
3 6
9 2
20
Определите среднее абсолютное отклонение оценок инвестиционной привлекательности.
2. По данным распределения работников отрасли по уровню заработной платы определите дисперсию:
Заработная плата одного работника за декабрь, тыс. д.е. до 200 200-210 210-220 220 и больше
Всего
Количество работников в
% к итогу
10 40 30 20 100 3. Средний квадрат индивидуальных значений признака равен 483,25, а среднее значение – 21. Оцените однородность совокупности.

67