МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ
Первостепенная задача учителя мате­матики при изучении любой темы — формирование понятийного ап­парата темы.

Понятие — форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойства объектов изучения. Понятие считается правильным, если оно верно отражает реально существующие объ­екты.

Каждое понятие может быть рассмотрено по содержанию и объему. Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем - с помощью классификации. Посредством определения и классифика­ции отдельные понятия организуются в систему взаимосвязанных по­нятий.

Содержание понятия — это множество всех существенных призна­ков данного понятия.

Объем понятия — множество объектов, к которым применимо дан­ное понятие.

Например, понятие треугольник соединяет в себе класс всевозмож­ных треугольников (объем этого понятия) и характеристическое свой­ство — наличие трех сторон, трех вершин, трех углов (содержание по­нятия); понятие уравнение соединяет в себе класс всевозможных уравнений (объем понятия) и характеристическое свойство — равенст­во, содержащее одну или несколько переменных (содержание поня­тия).

Существенные (характеристические) свойства — это такие свойства, каждое из которых необходимо, а все вместе достаточны для характе­ристики объектов, принадлежащих понятию. Однако не каждое необходимое условие является достаточным и не каждое достаточное условие является необходимым. Например, ра­венство двух углов является необходимым условием для того, чтобы эти углы были вертикальные, но не является достаточным. Процесс конструирования понятий заключается в поиске такого числа необхо­димых условий, которое было бы достаточно для однозначного опреде­ления требуемого класса вещей. Совокупность этих условий и прини­мают за содержание понятия.

Так, содержанием понятия квадрата является совокупность усло­вий: быть четырехугольником, иметь равные стороны, иметь равные углы. Квадрат можно определить как четырехугольник с равными сто­ронами и равными углами.

Для понятия параллелограмм содержание будет представлено сле­дующими свойствами:

— противоположные стороны равны и параллельны;

— противоположные углы равны;

— диагонали в точке пересечения делятся пополам и др.

Объем понятия параллелограмм представлен множествами следую­щих четырехугольников: 1) собственно параллелограммы; 2) ромбы; 3) прямоугольники; 4) квадраты.

---

Содержание понятия четко определяет его объем, а объем понятия вполне определяет его содержание. Таким образом, изменение в содер­жании понятия влечет за собой изменение в его объеме, и наоборот. Между содержанием и объемом понятия существует обратная связь: с увеличением содержания понятия параллелограмм (диагонали взаим­но перпендикулярны) сразу уменьшается его объем (остаются лишь ромб и квадрат); если уменьшить содержание этого понятия (потребо­вать параллельности только двух противоположных сторон), увеличит­ся его объем (к названным четырехугольникам добавится трапеция).

Если объем одного понятия содержится в объеме другого, то второе понятие называется родовым по отношению к первому понятию, а пер­вое называется видовым по отношению ко второму. Например, поня­тие ромб является родовым по отношению к понятию квадрат. Введе­ние понятия через ближайший род и видовые заключается в следующем:

— указывается род, в который входит определяемое понятие;

— указываются видовые отличия и связь между ними.

Например, ромб — это параллелограмм, две смежные стороны ко­торого равны. Родовым понятием выступает понятие параллелограм­ма, из которого определяемое понятие выделяется посредством одного видового отличия (равенство смежных сторон).

В отношении объемов различают следующие виды понятий: равнозначные, объемы которых полностью совпадают; пересекающиеся, объемы которых частично пересекаются; находящиеся в отношении включения: объем одного понятия содер­жится в объеме другого понятия.
ПУТИ ФОРМИРОВАНИЯ ПОНЯТИЙ. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОНЯТИЙ
Формирование понятий — сложный психологический процесс, ко­торый осуществляется и протекает по следующей схеме:

ощущения -> восприятие -> представление -> понятие.

Процесс формирования понятий состоит из мотивации введения понятия, выделения его существенных свойств, усвоения определе­ния, применения понятия, понимания связи изучаемого понятия с ра­нее изученными понятиями. Формирование понятия осуществляется в несколько этапов:

— мотивация (подчеркивается важность изучения понятия, активи­зируется целенаправленная деятельность школьников, возбуждается интерес к изучению понятия с помощью привлечения средств немате­матического содержания, выполнения специальных упражнений, объ­ясняющих необходимость развития математической теории);

— выявление существенных свойств понятия (выполнение упраж­нений, где выделяются существенные свойства изучаемого понятия);

---

— формулировка определения понятия (выполнение действий на распознавание объектов, принадлежащих понятию, конструирование объектов, относящихся к объему понятия).

Выделяют два пути формирования понятий.

Индуктивный

Дедуктивный.

Объем понятия раскрывается с помощью классификации. Под клас­сификацией понимают последовательное, многоступенчатое разделе­ние множества на классы с помощью некоторого свойства.

Правильная классификация поня­тий предполагает соблюдение следующих условий:

— классификация проводится по определенному признаку, остаю­щемуся неизменным в процессе классификации;

— понятия, получающиеся в результате классификации, — взаимно независимые;

— сумма объемов понятий, получающихся при классификации, рав­няется объему исходного понятия;

— в процессе классификации переходят к ближайшему в данном родовом понятии виду.

Пр. Натуральное число подразделяют на простое число, единицу и со­ставное число. Такая классификация натуральных чисел, а также клас­сификация треугольников по сторонам и углам позволяют наблюдать выполнение этих условий.

Остроугольные

Прямоугольные

Тупоугольные

Четырехугольник

Трапеция

Прямоугольник

Параллелограмм

Ромб

Квадрат
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ. ВИДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
Заключительным этапом формирования понятия является его оп­ределение. Определить понятие — значит перечислить его существен­ные свойства. Определение понятия — это предложение, в котором раскрывается содержание понятия, т.е. совокупность условий, необ­ходимых и достаточных для выделения класса объектов, принадлежа­щих определяемому понятию.

Явные и неявные определения различаются в зависимости от своей структуры. Явные определения содержат прямое указание на существен­ные признаки определяемого понятия; определяемое и определяющее в них выражены четко и однозначно. Например: «Углом называется фигу­ра, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки»; «Прямо­угольник есть параллелограмм с прямым углом».

Дескрипциями называются определения математических объектов путем указания их свойств («То число, которое, будучи умножено на длину диаметра, дает длину его окружности» — дескрипция числа п).

Неявные определения объектов не содержат четкого и однозначного определяющего элемента, в них содержание определяемого может быть установлено через некоторый контекст.

---

Номинальные и реальные определения. Все определения, которые применяются в математике и других науках, делятся на номинальные и реальные, в зависимости от того, что определяется — знаковое выраже­ние (термин, символ) или реальный объект, обозначаемый им. С по­мощью номинальных определений вводят новый термин, символ или выражение как сокращения для более сложных выражений из ранее введенных терминов или символов, или уточняется значение уже вве­денного термина или символа. Номинальные определения являются средством обогащения языка науки и уточнения семантики его выра­жений «Квадратным корнем из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число х, что

х² =а».

Индуктивными и контекстуальные. Например, по индукции вводится оп­ределение натурального числа в математике.

Аксиоматические определения. Определения исходных понятий, ко­торые даются посредством исходных понятий некоторой теории через ее аксиомы, — это аксиоматические определения. При аксиоматическом построении математической теории некоторые понятия остаются неопределенными, например, точка, плоскость и расстояние в аксиома­тике А.Н. Колмогорова. Определением этих понятий можно считать систему аксиом, описывающих их свойства.

Определения через род и видовые отличия. Это классические опреде­ления, которые можно рассматривать как частный вид номинальных определений. В них определяемое выделяется из предметов некоторой области, которая при этом явно упоминается в определении (род), пу­тем указания характеристического свойства определяемого (видовое отличие). Например: «Квадрат — прямоугольник с равными сторона­ми»; «Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны»; «Па­раллелограммом называется четырехугольник, противоположные сто­роны которого параллельны»; «Прямоугольник есть параллелограмм с прямым углом».

В школьном курсе математики через род и видовое отличие опреде­ляются: Длина ломаной. Периметр многоугольника (прямоугольника, квадрата). Квадрат. Куб. Круг. Радиус окружности (круга). Биссектри­са угла. Развернутый угол. Прямой угол. Градус. Острый угол. Тупой угол. Виды треугольников по величине углов. Фигуры, симметричные относительно точки (центр симметрии). Перпендикулярные и парал­лельные прямые.

Генетические определения. Это такие определения, в которых опи­сывается или указывается способ его происхождения, образования, возникновения, построения. Генетические определения представляют собой разновидность определения через род и видовые отличия. На­пример: «Сферой называется поверхность, полученная вращением по­луокружности вокруг своего диаметра»; «Шар — это геометрическое тело, образованное вращением полукруга вокруг диаметра».

---

В школьном курсе математики можно выделить следующие гене­тические определения понятий: Отрезок. Луч. Равносторонний тре­угольник. Координатный луч. Равные фигуры. Площадь прямоуголь­ника. Площадь квадрата. Объем прямоугольного параллелепипеда. Окружность. Дуга окружности. Сектор. Угол и его элементы. Равные углы. Длина окружности. Площадь круга.

Остенсивные определения. Это определения значений слов путем не­посредственного показа, демонстрации предметов. Часто применяют­ся в начальной школе (понятия отрезка, окружности, угла и др.). По­степенно с развитием математического опыта и накоплением определенного числа понятий на смену остенсивным понятиям прихо­дят вербальные понятия. Вербальные понятия — это понятия, в которых значения неизвестных выражений определяются через выражения, с известным значением.

Определение считается корректным, если выполняются два усло­вия:

1. отсутствует порочный круг и связанная с ним возможность ис­ключения нововведенных терминов («Решение уравнения — это то число, которое является его решением»);

2. отсутствует омонимия: каждый термин встречается не более од­ного раза в качестве определяемого.

ТЕОРЕМА. ВИДЫ ТЕОРЕМ.

МЕТОДИКА РАБОТЫ НАД ТЕОРЕМОЙ
Формой связи понятий друг с другом является суждение. Если суж­дения правильно отображают объективно существующие зависимости между вещами, то такие суждения называют истинными; в противном случае суждения будут ложными. Процесс получения нового сужде­ния-вывода из одного или нескольких данных суждений называется умозаключением. Важнейшими видами сложных суждений являются теоремы и аксиомы (постулаты).

Аксиома (от греч. axioma — авторитетное предложение, «то, что при­емлемо») — предложение, принимаемое без доказательства. Аксиомы и первичные (неопределяемые) понятия составляют основной фунда­мент математической теории.

При изучении свойств различных математических объектов прихо­дится делать те или иные заключения, т.е. на основе понятий и сужде­ний того или иного раздела математики строить предложения, истин­ность которых необходимо обосновать.

Математическое предложение, истинность которого устанавлива­ется посредством доказательства (рассуждения), называется теоремой.

Существуют два вида формулирования теоремы: условный и кате­горический. Всегда можно из одного вида формулирования теоремы перейти в другой. Если теорема сформулирована в условной форме, то в ней должно быть ясно указано: при каких условиях рассматривается в ней тот или иной объект (условие теоремы) и что в этом объекте утвер­ждается (заключение теоремы) (схема 6).

---

Смотрите также файлы

• Согласовано и о. начальника управления образования администрации муниципального образования городкурорт Геленджик.doc

• Закон от 5 апреля 2013 г. N 44фз "О контрактной системе в сфере закупок товаров, работ, услуг Федеральный закон от 5 апреля 2013 г. N 44фз ".rtf

• Суровая осень столицы.docx

• Природа, философия, базовые ценности добровольческой деятельности Содержание.docx

• Вышиваная Елена Николаевна.docx