ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2023
Просмотров: 354
Скачиваний: 11
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
49 рии игр и математической экономики, задачи теории передачи сообщений при наличии помех и ряд других.
Метод Монте-Карло можно определить как метод моделирования слу- чайной величины с целью вычисления характеристик их распределений.
Суть метода состоит в том, что результат испытаний зависит от некото- рой случайной величины, распределенной по заданному закону. Для этого составляется программа осуществления одного случайного испытания. Про- ведя серию испытаний, получают статистическую выборку. Полученные данные обрабатываются и представляются в виде численных оценок интере- сующих исследователя величин (характеристик системы). Число испытаний должно быть достаточно велико, поэтому метод существенно опирается на возможности компьютера.
Теоретической основой метода Монте-Карло являются предельные тео- ремы теории вероятностей. Они гарантируют высокое качество статистиче- ских оценок при весьма большом числе испытаний. Метод статистических испытаний применим для исследования как стохастических, так и детерми- нированных систем. Однако практическая реализация метода Монте-Карло невозможна без использования компьютера.
Можно проиллюстрировать метод статистических испытаний на про- стейшем примере [1, 5]: вычисление числа π как отношения площади 1/4 кру- га к площади всей картинки путем разбрасывания случайным образом точек по всему рисунку. Затем считается отношение попавших в круг точек ко всем точкам, и по этому отношению приблизительно определяется отношение площадей. Увеличением числа вбрасываемых точек можно более точно определить площадь круга, но это также ведет и к увеличению времени вы- числений.
Точность вычислений сильно зависит от качества используемого генера- тора псевдослучайных чисел. Другими словами, точность тем выше, чем бо- лее равномерно случайные точки распределяются по единичному квадрату
4S
кр
/ S
кв
. (2.17)
Подсчитаем число точек внутри квадрата и внутри четверти круга. Оче- видно, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание точек в различные места чертежа равноверо- ятно. Пусть N
кр
- число точек в круге, N
кв
–число точек в квадрате , тогда
4N
кр
/ N
кв
(2.18)
Каждой точке поставим в соответствие два случайных числа, характери- зующих её положение вдоль осей Ох и Оу (см. рис. 2.3). Если окажется, что
Электронный архив УГЛТУ
50 для точки (х i
, у i
) выполняется неравенство х
у
1, то, значит, она лежит вне круга. Если х
у
1, то точка лежит внутри круга.
Рис. 2.3. Иллюстрация метода статистических испытаний
Для подсчета значения
воспользуемся формулой (2.18). Ошибка вы- числений по этому методу, как правило, пропорциональна
√ , где D – некоторая постоянная, а N – число испытаний. В этом примере
. Из этой формулы видно, что для того, чтобы уменьшить ошибку в 10 раз, т.е. получить ещё один верный десятичный знак, нужно увеличить N, т.е. объём работы, в 100 раз (см. табл. 2.).
Таблица 2.13
Результаты испытаний определения погрешности
Число бросаний
Точное значение
Программное значение
Погрешность
1 000 0,25 3,1632 0,021607346 100 000 0,25 3,1388 0,002767346
С имитацией случайных элементов, примерами и разновидностями имитационного моделирования экономических процессов более подробно можно ознакомиться в работе [5].
Электронный архив УГЛТУ
51
3. МАТРИЧНЫЕ МОДЕЛИ
В настоящее время модели данного класса регулярно строятся во многих странах мира. С их помощью решаются задачи анализа, планирования и про- гнозирования развития экономических систем. Регулирование экономическо- го развития, расчеты по составлению долгосрочных планов, расчеты по оп- тимизации внешней торговли, составление межрегиональных балансов, рас- четы по ценообразованию - вот далеко не полный перечень задач, в решении которых могут быть применены матричные модели.
Наиболее типичным примером матричных моделей считается экономи- ко-математическая модель межотраслевого баланса (модель В.В. Леонтьева).
Именно за разработку и применение этого метода к решению важных эконо- мических проблем в 1973 г. Василий Васильевич Леонтьев был удостоен Но- белевской премии в области экономики. В западной литературе модели дан- ного класса чаще всего именуются как метод «затраты-выпуск».
3.1. Общая структура межотраслевого баланса
Центральным элементом матричных моделей является так называемый межотраслевой баланс. Он представляет собой таблицу, характеризующую связи между различными отраслями экономики страны. Общая структура межотраслевого баланса представлена в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Общая структура межотраслевого баланса
Электронный архив УГЛТУ
52
Производственная сфера экономики представлена в балансе в виде сово- купности n отраслей.
Баланс состоит из четырех разделов (квадрантов).
Первый квадрант представляет собой матрицу, состоящую из (n+1) строки и (n+1) столбца. Этот раздел является важнейшей частью баланса, по- скольку именно здесь содержится информация о межотраслевых связях. Ве- личина x ij
, находящаяся на пересечении i-й строки и j-го столбца, показывает, сколько продукции i-й отрасли было использовано в процессе материального производства j-й отрасли. Величины x ij характеризуют межотраслевые по- ставки сырья, материалов, топлива и энергии, обусловленные производ- ственной деятельностью.
В i-й строке величины x i1
, x i2
, ..., x ij
, ..., x in описывают распределение продукции i-й отрасли как средства производства для других отраслей.
Величины x
1j
, x
2j
, ..., x ij
, ..., x nj
j-го столбца в этом случае будут описы- вать потребление j-й отраслью сырья, материалов, топлива и энергии на про- изводственные нужды.
Таким образом, первый раздел баланса дает общую картину распределе- ния продукции на текущее производственное потребление всех n отраслей материального производства.
В зависимости от того, в каких единицах измеряются потоки продукции в балансе, существуют различные его варианты: в натуральном выражении, в денежном (стоимостном) выражении, в натурально-стоимостном, в трудовых измерителях. Мы рассмотрим баланс в стоимостном выражении, в котором потоки продукции измеряются на основе стоимости произведенной продук- ции в некоторых фиксированных ценах. Поскольку в этом случае величины
xij отражают стоимость продукции, т.е. измеряются в одних и тех же едини- цах, их можно просуммировать.
Величина ∑
представляет собой сумму всех поставок i-й отрасли другим отраслям.
Сумма по столбцу ∑
характеризует производственные затраты
j-й отрасли на приобретение продукции других отраслей.
На пересечении (n + 1)-й строки и (n + 1)-го столбца находится величина
∑
∑
- так называемый промежуточный продукт экономики.
Второй раздел посвящен конечному продукту. Столбец конечного про- дукта – (n + 2)-й столбец. Величина y i
– потребление продукции i-й отрасли, не идущее на текущие производственные нужды. В конечную продукцию, как правило, включаются: накопление, возмещение выбытия основных средств, прирост запасов, личное потребление населения, расходы на содер- жание государственного аппарата, здравоохранение, оборону и т.д., а также сальдо экспорта и импорта.
Электронный архив УГЛТУ
53
Ко второму разделу относится также столбец валовых выпусков (X
i
). В пределах первого и второго разделов справедливо соотношение:
∑
̅̅̅̅̅
(3.1)
Третий квадрант межотраслевого баланса отражает стоимостную струк- туру валового продукта отраслей. В (n+2)-й строке таблицы отражена услов- но чистая продукция (V
j
), представляющая собой разницу между величиной валовой продукции отрасли и суммарными затратами отрасли:
∑
̅̅̅̅̅
(3.2)
Условно чистая продукция подразделяется на амортизационные отчис- ления и чистую продукцию отрасли. Важнейшими составляющими чистой продукции отрасли являются заработная плата, прибыль и налоги.
Можно показать, что суммарный конечный продукт равен суммарной условно чистой продукции
(∑
∑
). Для этого возьмём выражения
(3.1) и (3.2) и просуммируем: первое равенство по i, а второе – по j:
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
Левые части выражений равны, значит, равны и правые:
∑
∑
∑
∑
∑
∑
oткуда
∑
∑
что и требовалось доказать.
Таким образом, в третьем разделе также фигурирует конечный продукт, но если во втором разделе он разбивается на величины y i
, характеризующие структуру потребления, то в третьем разделе величины V
j показывают, в ка- ких отраслях произведена стоимость конечного продукта.
Четвертый раздел располагается под вторым. Он характеризует перерас- пределительные отношения в экономике, осуществляемые через финансово- кредитную систему. В плановых расчетах четвертый раздел, как правило, не используется, и поэтому в пределах нашего курса рассматриваться не будет.
Итак, межотраслевой баланс – это способ представления статистической информации об экономике страны. Он строится на основе агрегирования ре- зультатов деятельности отдельных предприятий. Такой баланс называют от-
Электронный архив УГЛТУ
54 четным. Кроме этого строятся плановые балансы, предназначенные для раз- работки сбалансированных планов развития экономики.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 18
3.2. Статическая межотраслевая модель
Статистические межотраслевые модели используются для разработки планов выпуска и потребления продукции и основываются на соотношениях межотраслевого баланса.
При построении модели делают следующие предположения:
1) все продукты, производимые одной отраслью, однородны и рассмат- риваются как единое целое, т.е. фактически предполагается, что каждая от- расль производит один продукт;
2) в каждой отрасли имеется единственная технология производства;
3) нормы производственных затрат не зависят от объёма выпускаемой продукции;
4) не допускается замещение одного сырья другим.
В действительности эти предположения, конечно, не выполняются. Да- же на отдельном предприятии обычно выпускаются различные виды продук- ции, используются различные технологии, удельные затраты зависят от объ- ема выпуска и в тех или иных пределах допускается замена одного сырья другим.
Следовательно, эти предположения тем более неверны для отрасли. Од- нако такие модели получили широкое распространение и, как показала прак- тика, они вполне адекватны и применимы для составления планов выпуска продукции.
При этих предположениях величина x
ij
может быть представлена сле- дующим образом:
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ (3.3)
Величина a
ij называется коэффициентом прямых материальных затрат.
Она показывает, какое количество продукции i-й отрасли идет на производ- ство единицы продукции j-й отрасли. Коэффициенты a
ij
считаются в межот- раслевой модели постоянными.
Подставляя выражение (3.3) в формулу (3.1), получим:
∑
̅̅̅̅̅ (3.4)
Это соотношение можно записать в матричном виде:
X = AX + Y, (3.5)
где X = (X
1
, X
2
, ..., X
n
) - вектор валовых выпусков;
Y = (y
1
, y
2
, ..., y
n
) - вектор конечного продукта;
Электронный архив УГЛТУ
55
[
]
А - матрица коэффициентов прямых материальных затрат.
Коэффициенты прямых материальных затрат являются основными па- раметрами статической межотраслевой модели. Их значения могут быть по- лучены двумя путями:
1) статистически; коэффициенты определяются на основе анализа от- чётных балансов за прошлые годы; их неизменность во времени определяет- ся подходящим выбором отраслей;
2) нормативно; предполагается, что отрасль состоит из отдельных про- изводств, для которых уже разработаны нормативы затрат; на их основе рас- считываются среднеотраслевые коэффициенты.
Выражение (3.5) принято называть балансом распределения продукции.
Его можно использовать для анализа и планирования структуры экономики.
Если известны коэффициенты прямых материальных затрат, то, задав конеч- ный продукт по каждой отрасли, можно определить необходимые валовые выпуски отраслей. В этом заложена основная идея использования матричных моделей для планирования производства.
Преобразуем выражение (3.5):
X - AX = Y,
X (E - A) = Y, (3.6)
X = (E - A)- 1Y,
где E - единичная матрица.
До начала планирования следует выяснить, существует ли матрица, об- ратная матрице (E-A), и не будут ли получены отрицательные значения вы- пуска по отраслям.
Установим некоторые свойства коэффициентов прямых материальных затрат.
Не отрицательность: a
ij
≥ 0,
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ Это утверждение следу- ет из не отрицательности величин x
ij
и положительности валовых выпусков
X
j
.
2. Сумма элементов матрицы A по любому из столбцов меньше едини- цы:
∑
̅̅̅̅̅.
Доказать это утверждение несложно.
Для любой отрасли условно чистая продукция есть величина положи- тельная, поскольку включает в себя заработную плату, амортизацию, при-
Электронный архив УГЛТУ
56 быль и т.д., т.е. V
j
>0. Поэтому, используя соотношение (3.2), можно запи- сать:
∑
откуда безусловно следует: ∑
, т.е. утвержде- ние доказано.
Можно показать, что при выполнении этих двух условий матрица B = (E
– A) – 1 существует и если ее элементы неотрицательны. Говорят, что в этом случае матрица прямых затрат А является продуктивной.
Перепишем формулу (3.6):
X = BY,
(3.7)
Матрица В носит название матрицы полных материальных затрат, а ее элементы b
ij
называют коэффициентами полных материальных затрат. Коэф- фициент b
ij
показывает, каков должен быть валовый выпуск i-й отрасли для того, чтобы обеспечить выпуск единицы конечного продукта j-й отрасли.
Можно показать, что
B = E + A + A
2
+ A
3
+ ...
(3.8)
Умножим обе части на (E - A):
B(E - A) = (E + A + A
2
+ A
3
+ ...)(E - A),
B(E - A) = E + A + A
2
+ A
3
+ ..- A - A
2
- A
3
- ...,
B(E - A) = E,
B = E / (E - A),
B = (E - A)-1.
Из соотношения (3.8) следует b
ij
≥ a
ij
. Таким образом, коэффициент пол- ных материальных затрат b
ij
, описывающий потребность в выпуске продукции
i-й отрасли в расчете на единицу конечного продукта j-й отрасли, не меньше коэффициента прямых материальных затрат a
ij
, рассчитываемого на единицу валового выпуска. Кроме того, из соотношения (3.8) для диагональных элемен- тов матрицы B следует: b
ii
≥ 1.
Взаимосвязь коэффициентов прямых и полных материальных затрат про- ще всего проследить на примере: пусть единицей выпуска хлебопекарной про- мышленности является хлеб (рис. 3.1).
Полные затраты электроэнергии для нашего примера складываются из прямых затрат и косвенных затрат всех уровней. Косвенные затраты высоких уровней являются незначительными и при практических расчетах ими можно пренебречь.
Электронный архив УГЛТУ
57
Рис. 3.1. Связь коэффициентов прямых и полных материальных затрат
3.3. Модель межотраслевого баланса затрат труда
Предполагается, что труд выражается в единицах труда одинаковой сте- пени сложности. Обозначим затраты труда в производстве j-го продукта че- рез L
j
, объем выпущенной продукции, как и прежде, X
j
. Тогда коэффициент прямых затрат труда:
(3.9)
Определим полные затраты труда, как сумму прямых затрат живого тру- да и затрат овеществленного труда, перенесенного на продукт через израсхо- дованные средства производства.
Формирование полных затрат труда в модели происходит по схеме, представленной на рис. 3.2.
Таким образом:
∑
̅̅̅̅̅
Иначе, если известны коэффициенты полных материальных затрат b
ij
, можно записать:
∑
̅̅̅̅̅
(3.10)
Прямые материальные затраты
Косвенные затраты первого порядка
Косвенные затраты второго порядка и т.д.
Электронный архив УГЛТУ