ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2021
Просмотров: 2492
Скачиваний: 1
у
-1 0
1
(-
,-1) у
0, функция выпукла;
(-1, 0) у
0, функция вогнута;
(0, 1) у
0, функция выпукла;
(1,+
) у
0, функция вогнута.
При х=0 имеем точку перегиба у
пер
=у(0)=0.
6) Найдем наклонную асимптоту
0
1
lim
)
1
(
lim
)
(
lim
;
1
1
lim
lim
2
2
3
2
2
x
x
x
x
x
kx
y
b
x
x
x
y
k
x
x
x
x
x
Следовательно у=х–наклонная асимптота.
7) Сделаем чертеж:
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
Решите самостоятельно:
Исследуйте функцию методами дифференциального исчисления
и постройте ее график.
.
x
9
x
12
y
2
Задания для самосоятельного решения:
Исследуйте функцию методами дифференциального исчисления
и постройте ее график
.
1
х
4
x
2
y
2
2
х
у
+
-
+
-
Задачи на экстремум
Практическая часть:
1. Требуется изготовить из жести ведро цилиндрической формы без
крышки данного объема V. Каковы должны быть высота ведра и радиус
его дна, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество жести?
Решение
Обозначим:
h-высота ведра;
r-радиус дна.
Сделаем чертеж
По условию
V=
r
2
h
(1)
Полная поверхность
S=S
осн
+S
бок
=
r
2
+2
rh
(2)
Выразим h из уравнения (1)
h=V/
r
2
и подставим в (2). Получим
S=
r
2
+
.
r
V
2
Таким образом, получили функцию от r. Исследуем эту функцию при
r
(0,
).
.
;
;
0
2
2
3
3
2
V
r
V
r
r
V
r
dr
dS
Так как
),
,
0
(
r
при
0
r
V
4
2
dr
S
d
3
2
2
то
функция имеет в данной точке минимум. При этом
)
(
3
3
2
2
3
2
2
2
r
V
V
V
V
V
r
V
h
.Таким образом, у ведра
оптимальных размеров h=r=
.
V
3
2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке
]
4
;
1
[
4
4
2
x
x
y
Решение
1.
Находим производную
2r
h
.
x
8
1
'
y
3
2.
Находим критические точки
Производная равна нулю
]
4
;
1
[
2
x
8
x
.
0
x
8
1
3
3
Производная не существует при х=0
[1;4]
3.
Находим значения функции в точках х=1, х=2, х=4.
у(1)=4-1-4=-1;
у(2)=4-2-1=1;
у(4)=4-4-1/4=-0,25.
4.
Выбираем наименьшее и наибольшее значения
у
наим
=у(1)=-1,
у
наиб
=у(2)=1.
Ответ:
у
наим
=у(1)=-1, у
наиб
=у(2)=1.
3.Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом.
Периметр окна равен а. При каких размерах сторон прямоугольника окно
будет пропускать наибольшее количество света?
Решение
Сделаем чертеж
h
2r
Для того, чтобы окно пропускало наибольшее количество света, нужно
сделать площадь окна максимальной. Выразим площадь окна через
h
и
r.
S=2
h
r+
r
2
/2
По условию известен периметр
P=2h+2r+
r=a
Отсюда
h=
2
2
r
r
a
Подставляя в выражение для площади, получим
S=(a-
r-2r)
r+
r
2
/2=ar-2r
2
-
r
2
/2=ar-(2+
/2)r
2
=ar-
.
2
r
)
4
(
2
Исследуем эту функцию при r
[0,
2
а
]. (При больших значениях r
получим h<0).
.
4
a
r
;
0
r
)
4
(
a
dr
dS
Вычислим значения S в точках r=0,
4
a
,
2
a
S(0)=0;
S(
4
a
)=a
4
a
-
2
2
2
2
2
a
07
,
0
)
4
(
2
a
)
2
1
1
(
)
4
(
a
)
4
(
a
2
)
4
(
.
S(
2
a
)=a
2
2
2
2
2
2
2
059
,
0
)
2
(
2
)
4
2
4
(
)
2
(
2
)
2
(
2
4
2
a
a
a
a
a
Таким образом наибольшее значение площади получится при r=
4
a
,
при этом h=
4
a
)
4
2
1
(
2
a
2
r
)
2
(
a
. Таким образом ширина
оптимального окна (2r) в два раза больше высоты.
Задания для самосоятельного решения:
1. Найти производные заданных функций:
1)
4
2
x
arctg
y
2)
x
xtg
e
y
x
3
2
2
3
3)
x
x
y
2
25
5
ln
2. Вычислить приближенное значение 4,002
1/2
3. Найти полный дифференциал функции z=(2x-y)cos(3x+2y)
4. а) Провести полное исследование функции
3
2
3
х
х
у
и построить
её график.
б) Провести полное исследование функции у=х
3
+3х
2
+3 и
построить её график. Составить уравнение касательной и нормали,
проведенной к графику функции в точке х
0
=1.
Функция двух переменных, ее дифференцирование
1.ОДЗ функции двух переменных.
2. Частные и полное приращение функции двух переменных.
3.Частные производные функции двух переменных, ее дифференциал
первого порядка
Теоретическая часть:
Определение:
Отображение f некоторого подмножества D
f
двумерного евклидового пространства R
2
во множество R называют
действительной функцией 2-х действительных переменных.
D
f
называют
областью определения
функции f.
Так как D
f
R
2
, то геометрическим образом D
f
явл множество точек
плоскости.
Обозначение: f: D
f
R или f: (x,y)
z или z=f(x,y), где (x,y)
D
f
, а
z
R. (х,у) – значение аргумента, z – значение функции.
Пусть при f: (х
0
,у
0
)
z
0
, тогда (z
0
) называют значением f в точке (х
0
,у
0
)
и пишут: z
0
=f(х
0
,у
0
).
Определение:
Множество всех значений функции называется
множеством значений функции и обозначают E
f
= {z
R| z=f(x,y), где
(x,y)
D
f
}.
Определение:
Графиком функции z=f(x,y) двух переменных,
определенной на множестве D
f
называется множество
Г
f
= {(x,y,z)
R
3
| z=f(x,y)где (х,у)
D
f
}.
Геометрически: Г
f
– множество точек 3-х мерного пространства.
Предел и непрерывность функции 2-х переменных
Определение:
Пусть Р
0
(х
0
,у
0
) – предельная точка D
f
функции z=f(x,y).
Число А наз пределом функции z= f(x,y) в точке Р
0
(х
0
,у
0
) (или при х
х
0
, у
у
0
), если (
>0)(
>0)(
(x,y)
D
f
| (x,y)
(х
0
,у
0
) ^ |x-х
0
|<
^ |y-y
0
|<
)
|f(x,y)-A|<
.
Для предела функции 2-х переменных справедливы аналоги теорем о
пределе суммы, произведения и частного 2-х функций.
Определение:
Функция 2-х переменных z=f(x,y) наз непрерывной в
точке Р
0
(х
0
,у
0
), если предел этой функции в точке Р
0
равен её значению в этой
точке.
Определение:
Пусть z=f(x,y) определена в некоторой окрестности
точки Р
0
(х
0
,у
0
), тогда разнность
z=f(х
0
+
x,
y+у
0
)-f (х
0
,у
0
) называется
полным приращением функции.
Определение:
z=f(x,y) называется непрерывной в точке Р
0
(х
0
,у
0
), если
бесконечно малым приращениям аргумента
x и
у соответствует
бесконечно малое приращение функции.
Для функции 2-х переменных справедливы аналоги теорем о
непрерывности суммы, произведения, частного функций, сложной функции и
др.
Частные производные