ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2021
Просмотров: 2483
Скачиваний: 1
.
)
x
3
(
)
9
x
(
x
6
]
x
2
x
18
)
x
3
)(
x
2
9
[(
)
x
3
(
)
x
3
(
x
2
)
x
3
(
x
2
)
x
3
(
2
)
x
x
9
(
)
x
3
)(
x
4
x
18
(
"
y
3
2
2
4
2
2
2
4
2
2
4
2
2
4
2
2
2
3
у
=0 при х=0, у
не существует при х=
3
.
у
-
+
- + -
-1
0
1
(-
,-1) у
0, функция вогнута;
(-1, 0) у
0, функция выпукла;
(0, 1) у
0, функция вогнута;
(1,+
) у
0, функция выпукла.
При х=0 имеем точку перегиба у
пер
=у(0)=0.
6) Найдем наклонную асимптоту.
0
x
3
x
3
lim
x
x
3
x
lim
)
kx
y
(
lim
b
;
1
x
3
x
lim
x
y
lim
k
2
x
2
3
x
x
2
2
x
x
Таким образом у=-х–наклонная асимптота.
7) Сделаем чертеж
7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
х
х
у
Задания для самосоятельного решения:
Провести полное исследование функции и построить ее график
.
2
x
6
x
x
y
2
Исследование функции и построение схемы ее графика
1. Полное исследование функции.
2. Построение схемы графика функции.
Теоретическая часть:
Общая схема исследования функции и построения ее графика
I. Элементарное исследование:
5)
найти область определения функции;
6)
исследовать функцию на четность (нечетность);
7)
исследовать функцию на периодичность;
8)
определить, если это не вызовет особых затруднений, точки пересечения
графика с координатными осями.
II. Исследование графика функции по первой производной:
7)
найти
у'(х);
8)
используя необходимый признак существования экстремума найти точки,
«подозрительные» на экстремум, т.е. точки в которых
у'(х)=0
или
у′(х)
не
существует;
9)
нанести критические точки на область определения и найти знак про-
изводной во всех получившихся интервалах;
10)используя признаки монотонности определить характер монотонности
функции на каждом интервале;
11)используя достаточный признак существования экстремума установить
наличие экстремума и их характер;
12)вычислить значение функции в точках экстремума, если они есть.
III.Исследование графика функции по второй производной:
1) найти
у" (х);
5)
используя необходимый признак существования точек перегиба, найти
точки «подозрительные» на перегиб, т.е. точки в которых
у"(х)=0
или
у"(х)
не
существует;
6)
нанести полученные точки на область определения и найти знак второй
производной в каждом из получившихся интервалов;
7)
используя теорему о форме кривой установить характер выпуклости
(вогнутости) графика функции на каждом промежутке;
7)
используя достаточный признак существования точек перегиба установить
их наличие;
8)
вычислить значения функции в абсциссах точек перегиба.
VII.Исследовать поведение функции на границах области определения.
VIII.Исследовать кривую
y=f(x)
на наличие асимптот и указать область
значений функции.
IX.Построить график функции.
Если исследование произведено без ошибок, то результаты всех этапов
должны согласовываться друг с другом. Если же согласование отсутствует,
необходимо проверить правильность результатов отдельных этапов и
исправить ошибки.
Практическая часть:
1. Провести полное исследование функции и построить ее график
а)
.
2
2
2
x
x
y
Решение
1) Область определения функции х
(-
,2)
(2,
).Функция
непрерывна в области определения, х=2–точка разрыва. Найдем
односторонние пределы
.
2
2
lim
2
2
lim
2
0
2
2
0
2
x
x
x
x
x
x
Следовательно,
х=2–вертикальная асимптота.
2)
)
(
2
2
2
2
)
(
2
2
x
y
x
x
x
x
x
y
.
Следовательно, функция общего вида.
3)
Найдем точки пересечения с осями.
С осью Ох. у=0
х=-2.
С осью Оу. х=0
у=1.
у
0 при всех х, кроме х=-2.
4)
Исследуем функцию на возрастание, убывание, точки
экстремума.
.
)
2
(
2
8
)
2
(
1
)
2
(
)
2
(
1
2
2
2
2
2
2
2
2
'
3
2
'
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
y
=0 при х=-2; у
не существует при х=2.
у
-
+
-
-2
0
2
Таким образом
(-
,-2) у
0, функция убывает;
(-2,2) у
0, функция возрастает;
(2,+
) у
0, функция убывает.
Точка х=-2–точка минимума, так как производная меняет знак с
минуса на плюс. у
min
=0.
5)
Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость, точки
перегиба
.
)
2
(
4
16
)
2
(
6
3
2
8
)
2
(
)
2
(
3
)
2
(
)
2
(
8
"
4
4
6
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
у
=0 при х=-4, у
не существует при х=2.
у
-
+
+
-4
0
2
(-
,-4) у
0, функция выпукла;
(-4, 2) у
0, функция вогнута;
(2,+
) у
0, функция вогнута.
При х=-4 имеем точку перегиба у
пер
=у(-4)=(-2/-6)
2
=1/9.
6)
Так как
x
x
y
lim
lim
2
2
2
x
x
=1, то у=1–горизонтальная
асимптота (частный случай наклонной).
7)
Сделаем чертеж
20 18 16 14 12 10 8
6
4
2
0 2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
б)
.
1
x
x
y
2
3
Решение
1)Область определения функции х
(-
,-1)
(-1,1)
(1,
).Функция
непрерывна в области определения, х=-1 и х=1–точки разрыва. Найдем
односторонние пределы
.
.
1
x
x
lim
,
.
1
x
x
lim
,
.
1
x
x
lim
,
.
1
x
x
lim
2
3
0
1
x
2
3
0
1
x
2
3
0
1
x
2
3
0
1
x
Следовательно х=-1 и х=1–вертикальные асимптоты.
х
у
2)
)
x
(
y
1
x
x
.
1
)
x
(
)
x
(
)
x
(
y
2
3
2
3
.
Следовательно функция нечетная.
3) Точка пересечения с осями (0,0).
- + - +
-1 0 1
В интервале (-
;-1) у<0;
В интервале (-1;0) у>0;
В интервале (0;1) у<0;
В интервале (1;+
) у>0;
4)Исследуем функцию на возрастание, убывание, точки экстремума.
.
)
1
x
(
)
3
x
(
x
)
1
x
(
x
3
x
)
1
x
(
x
2
x
)
1
x
(
x
3
'
y
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
3
2
2
y
=0 при х=0 и х=
7
,
1
3
, у
не существует при х=
1.
у
-1,7 -1 0 1 1,7
Таким образом
(-
,-
3
) у
>0, функция возрастает;
(-
3
,-1) у
0, функция убывает;
(-1,0) у
0, функция убывает;
(0,1) у
0, функция убывает;
(1,
3
) у
0, функция убывает;
(
3
,
) у
>0, функция возрастает;
В точке х=-
3
функция имеет максимум.
В точке х=
3
функция имеет минимум.
6
,
2
2
3
3
y
;
6
,
2
2
3
3
y
min
max
5)Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость, точки перегиба
)
3
x
(
)
1
x
(
x
2
)]
x
3
x
(
2
)
1
x
)(
3
x
2
[(
)
1
x
(
)
1
x
(
x
2
)
1
x
(
x
2
)
1
x
(
2
)
x
3
x
(
)
1
x
)(
x
6
x
4
(
"
y
2
3
2
2
4
2
2
4
2
2
4
2
2
2
4
2
2
3
у
=0 при х=0, у
не существует при х=
1.
y
x
+
-
-
-
-
+