ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2021
Просмотров: 2478
Скачиваний: 1
5)
используя достаточный признак существования точек перегиба установить
их наличие;
6)
вычислить значения функции в абсциссах точек перегиба.
IV.Исследовать поведение функции на границах области определения.
V.
Исследовать кривую
y=f(x)
на наличие асимптот и указать область
значений функции.
VI.Построить график функции.
Если исследование произведено без ошибок, то результаты всех этапов
должны согласовываться друг с другом. Если же согласование отсутствует,
необходимо проверить правильность результатов отдельных этапов и
исправить ошибки.
Практическая часть:
1.Провести полное исследование функции и построить ее график
а)
.
x
4
x
y
2
3
Решение
1)Область определения функции х
(-
,0)
(0,+
).Функция
непрерывна в области определения, х=0–точка разрыва. Найдем
односторонние пределы
.
x
4
x
lim
,
.
x
4
x
lim
2
3
0
0
x
2
3
0
0
x
Следовательно, х=0–вертикальная асимптота.
2)
)
x
(
y
x
x
4
.
)
x
(
4
)
x
(
)
x
(
y
2
3
2
3
.
Следовательно, функция общего вида.
3) Точек пересечения с осью Оу нет.
Точка пересечения с осью Ох определяется из уравнения х
3
+4=0;
х=
59
,
1
4
3
, т. е. точка пересечения с осью Ох-(
3
4
; 0)
у
- + +
3 4
0
В интервале (-
;
3
4
) у<0;
В интервале (
3
4
; 0) у>0;
В интервале (0;+
) у>0;
4)Исследуем функцию на возрастание, убывание, точки экстремума.
x
.
x
8
x
x
x
2
)
4
x
(
x
x
3
'
y
3
3
4
3
2
2
y
=0 при х=2, у
не существует при х=0.
у
+
-
+
0
2
Таким образом
(-
,) у
>0, функция возрастает;
(0,2) у
0, функция убывает.
(2,+
) у
>0, функция возрастает.
В точке х=2 функция имеет минимум y
min
=12/4=3.
5)Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость, точки перегиба
.
x
24
x
x
3
)
8
x
(
x
x
3
"
y
4
6
2
3
3
2
у
в ноль не обращается, у
не существует при х=0.
у
+
+
0
(-
,0) у
>0, функция вогнута;
(0,+
) у
0, функция вогнута.
Точек перегиба нет (так как при х=0 функция не определена).
6) Найдем наклонную асимптоту.
0
x
4
lim
)
x
x
4
x
(
lim
)
kx
y
(
lim
b
;
1
)
x
4
1
(
lim
x
4
x
lim
x
y
lim
k
2
x
2
3
x
x
3
x
3
3
x
x
Следовательно, у=х–наклонная асимптота.
7) Сделаем чертеж
х
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
б)
.
1
x
x
y
2
Решение
1)Область определения функции х
(-
,-1)
(-1,1)
(1,
).Функция
непрерывна в области определения, х=-1 и х=1–точки разрыва. Найдем
односторонние пределы
.
.
1
x
x
lim
,
.
1
x
x
lim
,
.
1
x
x
lim
,
.
1
x
x
lim
2
0
1
x
2
0
1
x
2
0
1
x
2
0
1
x
Следовательно х=-1 и х=1–вертикальные асимптоты.
2)
)
x
(
y
1
x
x
.
1
)
x
(
x
)
x
(
y
2
2
.
Следовательно функция нечетная.
3) Точка пересечения с осями (0,0).
- + - +
-1 0 1
В интервале (-
;-1) у<0;
В интервале (-1;0) у>0;
В интервале (0;1) у<0;
В интервале (1;+
) у>0;
4)Исследуем функцию на возрастание, убывание, точки экстремума.
.
)
1
x
(
1
x
)
1
x
(
x
2
x
1
x
'
y
2
2
2
2
2
2
y
<0 во всей области определения.
у
-
-
-
-1
0
1
Таким образом
х
у
y
x
(-
,-1) у
0, функция убывает;
(-1,1) у
0, функция убывает;
(1,+
) у
0, функция убывает.
Экстремумов нет.
5)Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость, точки перегиба
.
)
1
x
(
)
3
x
(
x
2
)
2
x
2
1
x
(
)
1
x
(
)
1
x
(
x
2
)
1
x
(
x
2
)
1
x
(
2
)
1
x
(
)
1
x
(
x
2
"
y
3
2
2
2
2
4
2
2
4
2
2
2
2
2
у
=0 при х=0, у
не существует при х=
1.
у
-
-
+ - +
-1
0
1
(-
,-1) у
0, функция выпукла;
(-1, 0) у
0, функция вогнута;
(0, 1) у
0, функция выпукла;
(1,+
) у
0, функция вогнута.
При х=0 имеем точку перегиба у
пер
=у(0)=0.
6) Так как
1
x
x
lim
2
x
=0, то у=0–горизонтальная асимптота (частный
случай наклонной).
Найдем несколько дополнительных точек и сделаем чертеж
x
0,9
1,1
2
4
f(x)
-4,74 5,24
0,67
0,27
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
х
х
у
в)
.
x
3
x
y
2
3
Решение
1)Область
определения
функции
х
(-
,-
3
)
(-
3
,
3
)
(
3
,
).Функция непрерывна в области определения, х=-
3
и х=
3
–точки
разрыва. Найдем односторонние пределы
.
.
x
3
x
lim
,
.
x
3
x
lim
,
.
x
3
x
lim
,
.
x
3
x
lim
2
3
0
3
x
2
3
0
3
x
2
3
0
3
x
2
3
0
3
x
Следовательно х=-
3
и х=
3
–вертикальные асимптоты.
2)
)
x
(
y
x
3
x
.
)
x
(
3
)
x
(
)
x
(
y
2
3
2
3
.
Следовательно функция нечетная.
3) Точка пересечения с осями (0,0).
у
+ - + -
-
3
0
3
В интервале (-
;-
3
) у>0;
В интервале (-
3
;0) у<0;
В интервале (0;
3
) у>0;
В интервале (
3
;+
) у<0;
4)Исследуем функцию на возрастание, убывание, точки экстремума.
.
)
x
3
(
)
x
9
(
x
)
x
3
(
)
x
2
(
x
)
x
3
(
x
3
'
y
2
2
2
2
2
2
3
2
2
y
=0 при х=0,
3, у
не существует при х=
3
1,7.
у
-
+
+
+ +
-
-3
-
3
0
3
3
Таким образом
(-
,-3) у
0, функция убывает;
(-3,-
3
) у
>0, функция возрастает;
(-
3
,0) у
>0, функция возрастает;
(0,
3
) у
>0, функция возрастает;
(
3
,3) у
>0, функция возрастает;
(3,+
) у
0, функция убывает.
В точке х=-3 функция имеет минимум y
min
=4,5.
В точке х=3 функция имеет максимум y
max
=-4,5.
5)Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость, точки перегиба
x