ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2021
Просмотров: 2491
Скачиваний: 1
= (формула 2 ТОИ) =
.
)
)(
1
(
1
)
(
1
1
C
a
x
k
A
C
k
a
x
A
k
k
.
Для интегрирования дробей третьего типа поступаем
следующим образом (покажем на примере).
J=
dx
х
х
х
9
4
1
3
2
а) находим производную от знаменателя:
4
2
)
9
4
(
2
х
х
х
и
числитель представляем так:
3х+1=
.
5
)
4
2
(
2
3
1
6
)
4
2
(
2
3
1
)
4
4
2
(
2
3
1
2
2
3
х
х
х
х
J=
dx
х
х
х
9
4
5
)
4
2
(
2
3
2
(по свойству 3 получаем)=
.
5
2
3
9
4
5
9
4
)
4
2
(
2
3
2
1
2
2
J
J
х
х
dx
х
х
dx
х
В первом интеграле делаем подстановку:
t=
,
)
4
2
(
9
4
2
dx
x
dt
х
х
которая приводит его к виду:
C
t
t
dt
ln
2
3
2
3
(формула 3 ТОИ)=
.
9
4
ln
2
3
2
C
x
x
Во втором интеграле выделяем полный квадрат в знаменателе
дроби:
9
4
2
х
х
=
5
)
2
(
9
2
2
2
2
2
2
2
2
x
х
х
и делаем
подстановку
t=x+2
dt=dx. Получаем:
5
2
5
)
2
(
9
4
2
2
2
t
dt
dx
dt
x
t
х
dx
х
х
dx
(формула 13 ТОИ)=
.
5
2
5
1
5
1
5
1
C
x
arctg
C
arctg
Окончательный результат: J=
.
5
2
5
)
9
4
ln(
2
3
2
C
x
arctg
x
x
.
V
Дроби
четвертого
типа
интегрируются
в
той
же
последовательности, что и дроби третьего типа, кроме того, применяется
рекуррентная формула:
,
2
1
2
)
(
2
1
2
2
2
2
1
n
n
n
J
na
n
a
x
x
na
J
где обозначено
.
)
(
2
2
n
n
a
x
dx
J
Зная, что
,
1
2
2
1
C
a
x
arctg
a
a
x
dx
J
находим:
.
2
1
)
(
2
1
2
1
2
1
3
2
2
2
2
2
2
2
2
C
a
x
arctg
a
a
x
a
x
C
a
x
arctg
a
a
a
x
x
a
J
По этой же формуле при n=2 находим:
2
2
4
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
3
8
3
)
(
4
1
2
1
2
1
4
3
)
(
4
1
a
x
x
a
a
x
x
a
C
a
x
arctg
a
a
x
x
a
a
a
x
x
a
J
C
a
x
arctg
a
5
8
3
и т.д.
Таким образом, можно вычислить J
n
для любого натурального n.
2. Пусть теперь
)
(
)
(
P
x
Q
x
-
правильная дробь. Не теряя общности,
можно считать, что старший коэффициент Q(x) равен 1 (иначе его
можно вынести за скобки и за знак интеграла).
Тогда Q(x)=
,
)
(
...
)
(
)
(
...
2
2
n
m
l
k
s
rx
x
q
px
x
b
x
a
x
(1) где
а,.., b - действительные корни многочлена, а квадратные трехчлены не
имеют действительных корней.
Теорема
: Если знаменатель дроби Q(x) имеет разложение (1), то
дробь разлагается на сумму простых дробей:
n
n
n
n
m
m
m
l
l
l
i
k
k
k
Е
Е
А
s
rx
x
F
x
E
s
rx
x
F
x
E
q
px
x
N
x
M
q
px
x
N
x
M
b
x
B
b
x
B
b
x
B
a
x
A
a
x
A
a
x
A
x
Q
x
,
,...,
,
А
где
,
...
)
(
...
)
(
...
...
)
(
)
(
...
...
)
(
)
(
)
(
)
(
P
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
1
2
1
1
2
1
Практическая часть:
1. Найдите интеграл:
a)
xdx
3
2
xcos
Решение:
Применим формулу интегрирования по частям.
.
vdu
uv
udv
C.
x
3
2
cos
4
9
3
2
sin
2
3
3
2
sin
2
3
3
2
sin
2
3
.
3
2
sin
2
3
3
2
3
2
sin
xdx
3
2
cos
v
dx;
du
xdx;
3
2
cos
;
xdx
3
2
xcos
x
x
xdx
x
x
x
x
dv
x
u
Ответ:
C.
x
3
2
cos
4
9
x
3
2
sin
x
2
3
xdx
3
2
xcos
b)
dx
4)
1)(x
-
(x
2
7x
2
Решение:
Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби.
4
x
C
Bx
1
x
1
x
A
4
x
)
4
x
)(
1
x
(
2
x
7
2
2
2
Приравнивая числители, получим
7x-2=A(x
2
+4)+(x-1)(Bx+C),
приравниваем
коэффициенты
при
одинаковых степенях.
2
C
A
4
7
C
B
0
B
A
1
x
x
2
. Складывая все уравнения, получим 5А=5; А=1; В=-
А=-1; С=4А+2=6.
Следовательно
.
4
x
6
x
7
x
1
)
4
x
)(
1
x
(
2
x
7
2
2
.
I
6
I
I
4
x
dx
6
4
x
xdx
1
x
dx
dx
)
4
x
)(
1
x
(
2
x
7
3
2
1
2
2
2
c)
xdx
5
4
xsin
Решение:
Применим формулу интегрирования по частям.
.
vdu
uv
udv
.
x
5
4
cos
4
5
5
4
x
5
4
cos
xdx
5
4
sin
v
dx;
du
xdx;
5
4
sin
dv
;
x
u
xdx
5
4
xsin
C.
x
5
4
sin
16
25
x
5
4
cos
x
4
5
xdx
5
4
cos
4
5
x
5
4
cos
x
4
5
Ответ:
C.
x
5
4
sin
16
25
x
5
4
cos
х
4
5
xdx
5
4
xsin
d)
dx
х
x
3
х
3
4х
3
2
Решение:
Разложим знаменатель на множители
х
3
-х=х(х-1)(х+1)
Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби.
1
x
х
x
C
1
x
х
x
В
x
1
x
A
)
1
x
)(
1
x
(
х
3
х
3
х
4
2
2
2
2
Приравнивая числители, получим
4х
2
+3х-3=A(x
2
-1)+В(x
2
+х)+C(х
2
-х), приравниваем коэффициенты при
одинаковых степенях.
3
A
3
C
B
4
С
B
A
1
x
x
2
.
Отсюда А=3, В=2, С=-1
Следовательно
1
x
1
1
x
2
x
3
)
1
x
)(
1
x
(
х
3
х
3
х
4
2
.
C
|
1
x
|
ln
|
1
x
|
ln
2
|
x
|
ln
3
1
x
dx
1
x
dx
2
x
dx
3
dx
)
1
x
)(
1
x
(
х
3
х
3
х
4
2
Ответ:
.
C
|
1
x
|
ln
|
1
x
|
ln
2
|
x
|
ln
3
dx
)
1
x
)(
1
x
(
х
3
х
3
х
4
2
e)
xdx
4
5
xcos
Решение:
Применим формулу интегрирования по частям.
.
vdu
uv
udv
.
x
4
5
sin
5
4
4
5
x
4
5
sin
xdx
4
5
cos
v
dx;
du
xdx;
4
5
cos
dv
;
x
u
xdx
4
5
xcos
C.
x
4
5
cos
25
16
x
4
5
sin
x
5
4
xdx
4
5
sin
5
4
x
4
5
sin
x
5
4
Ответ:
C.
x
4
5
cos
25
16
x
4
5
sin
х
5
4
xdx
4
5
xcos
f)
1)
)(x
1
(x
dx
х
2
2
Решение:
Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби.
2
2
2
2
2
2
2
)
1
x
(
1
x
С
1
x
1
x
B
1
x
1
х
2
x
A
)
1
x
)(
1
x
(
x
)
1
x
)(
1
x
(
x
Приравнивая
числители, получим
x
2
=A(x
2
+2х+1)+В(x
2
-1)+C(х-1),
приравниваем коэффициенты при
одинаковых степенях.
0
C
В
A
0
C
А
2
1
B
A
1
x
x
2
. Складывая все уравнения, получим 4А=1; А=1/4; В=1-
А=3/4; С=А-В=-1/2.
Следовательно
.
)
1
х
(
2
/
1
1
x
4
/
3
1
x
4
/
1
)
1
x
)(
1
x
(
x
2
2
2
.
С
)
1
x
(
2
1
|
1
x
|
ln
4
3
|
1
x
|
ln
4
1
)
1
x
(
dx
2
1
1
x
dx
4
3
1
x
dx
4
1
)
1
x
)(
1
x
(
dx
x
2
2
2
Ответ:
С
)
1
x
(
2
1
|
1
x
|
ln
4
3
|
1
x
|
ln
4
1
)
1
x
)(
1
x
(
dx
x
2
2
Найдите интеграл
1)
;
xdx
ln
2
1
dx
x
ln
2)
dx
x
x
x
x
)
10
2
)(
2
(
22
2
2
Задания для самосоятельного решения:
а)
arctgxdx
б)
dx
)
5
x
2
x
)(
2
x
(
13
x
3
x
2
2
2
в)
dx
)
4
x
)(
4
x
(
7
x
3
2
г)
xdx
x
5
4
sin
)
1
(
Определенный интеграл. Интегрирование непрерывных
функций
1. Формула Ньютона - Лейбница.
2. Непосредственное вычисление определенного интеграла.
3. Вычисление определенного интеграла методом подстановки.
4. Вычисление определенного интеграла методом «по частям».