ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2021
Просмотров: 2501
Скачиваний: 1
Теоретическая часть:
1. Понятие об определенном интеграле
Пусть f(x) – функция, непрерывная на данном отрезке [a, b], где a<b или
a>b, и F(x) – некоторая ее первообразная, т.е. F`(x)=f(x) при х
[a,b].
Определение. Под определенным интегралом
b
a
dx
x
f
)
(
(1)
от данной функции f(x) на данном отрезке [a,b] понимается
соответствующее приращение ее первообразной, т.е.
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
dx
x
f
b
a
(2)
(формула Ньютона-Лейбница).
В выражение (1) числа a и b называются пределами интегрирования,
соответственно - нижним и верхним, [a, b] – промежутком интегрирования, а
f(x) – подынтегральной функцией. Формулу (2) можно выразить в виде
правила:
определенный интеграл равен разности значений первообразной
подынтегральной функции для верхнего и нижнего пределов
интегрирования.
Теорема:
Определенный интеграл от непрерывной функции не зависит
от выбора первообразной для подынтегральной функции.
Теорема:
Для всякой функции, непрерывной на отрезке [a,b] существует
соответствующий определенный интеграл.
2. Определенный интеграл с переменным верхним пределом
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Рассмотрим интеграл
x
a
dt
t
f
)
(
, (1)
где t
[a,x]
[a,b] (во избежание путаницы, переменная интегрирования
обозначена другой буквой).
Если F(x) – первообразная функции f(x), т.е.
F`(x)=f(x),
то согласно формуле Ньютона-Лейбница имеем
)
(
)
(
)
(
a
F
x
F
dt
t
f
x
a
. (2)
Отсюда
)
(
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
f
x
f
a
F
x
F
a
F
x
F
dx
d
dt
t
f
dx
d
x
a
.
Следовательно, производная определенного интеграла с переменным
верхним пределом по этому пределу равна значению подынтегральной
функции для этого предела:
)
(
)
(
x
f
dt
t
f
dx
d
x
a
. (3)
Таким образом, интеграл
x
a
dt
t
f
)
(
Ф(x)
(4)
является первообразной для подынтегральной функции f(x). Отметим,
что из формулы (2) следует, что Ф. (а)=0, т.е. Ф. (х) есть та первообразная для
функции f(x), которая обращается в нуль при х=а.
На основании формулу Ньютона-Лейбница имеем
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
f
x
F
b
F
x
E
b
F
dx
d
dx
x
f
dx
d
b
x
.
Таким образом, производная определенного интеграла с переменным
нижним пределом по этому пределу равна значению подынтегральной
функции для этого предела, взятому с обратным знаком.
Интегрирование по частям в определенном интеграле
Пусть u=u(x), υ=υ(х) – непрерывно дифференцируемые функции т.е.
имеющие непрерывные производные u`(x), υ`(x) на отрезке [a,b].
Имеем:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
d
x
u
x
du
x
x
x
u
d
.
Интегрируя это равенство в пределах от a до b и учитывая, что
dx
x
u
x
du
)
(
)
(
и
dx
x
x
d
)
(
)
(
,
находим
b
a
b
a
b
a
dx
x
x
u
dx
x
u
x
x
x
u
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
.
Отсюда получаем формулу интегрирования по частям в определенном
интеграле
b
a
b
a
dx
x
u
x
a
a
u
b
b
u
dx
x
x
u
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
.
(1)
Для краткости употребляется обозначение
b
a
x
x
u
a
a
u
b
b
u
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
,
Замена переменной в определенном интеграле
Пусть дан определенный интеграл
b
a
dx
x
f
)
(
, (1)
Где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a,b], и пусть по каким-то
соображениям нам желательно ввести новую переменную t, связанную с
прежней х соотношением:
х=φ(t ) (α ≤ t ≤ β), (2)
где φ(t ) – непрерывно дифференцируемая функция на отрезке [a,b].
Если при этом: 1) при изменении t от α до β переменная х меняется от a до b,
т.е.
φ(α)=а, φ(β ) = b, (3)
и 2) сложная функция f(φ(t)) определена и непрерывна на отрезке [α,β] (если
значения φ(t) не выходят из отрезка [a,b], то условие 2) излишне – теорема о
непрерывности сложной функции), то справедлива формула
(t)dt
(t))
f(
)
(
b
a
dx
x
f
. (4)
Практическая часть:
1. Вычислите определенные интегралы.
а)
dx
2
x
6
1
0
3
Решение:
.
685
,
1
4
2
2
)
2
2
16
(
8
1
)
2
8
(
8
1
0
1
6
3
4
)
2
x
6
(
dx
2)
(6x
dx
2
6x
3
3
3
4
3
4
1
0
3
4
3
1
1
0
3
Ответ:
.
685
,
1
4
2
2
dx
2
6x
3
1
0
3
b)
1
0
2
х
dx
е
2х
Решение:
.
632
,
0
e
1
0
1
e
du
e
;
1
u
то
,
1
х
Если
;
du
хdx
2
;
0
u
то
,
0
х
Если
;
u
x
dx
е
2х
1
u
1
0
u
2
1
0
2
х
Ответ:
.
632
,
0
e
1
dx
е
2х
1
1
0
2
х
Вычислите определенные интегралы.
c)
dx
1
х
4
2
0
Решение:
.
3
13
6
26
)
1
27
(
6
1
)
1
9
(
6
1
0
2
4
2
3
)
1
x
4
(
dx
1)
(4x
dx
1
х
4
2
3
2
3
2
0
2
3
2
1
2
0
Ответ:
.
3
13
dx
1
х
4
2
0
d)
4
0
2
2xdx
cos
Решение:
Воспользуемся тригонометрической формулой
)
x
4
cos
1
(
2
1
x
2
соs
2
.
8
0
4
sin
4
2
1
0
4
4
x
4
sin
x
2
1
dx
)
x
4
cos
1
(
2
1
2xdx
соs
4
0
4
0
2
Ответ:
.
393
,
0
8
2xdx
соs
4
0
2
2. Вычислите определенные интегралы.
а)
dx
1
5x
2
1
b)
e
1
2
dx
x
x
ln
3. Вычислить определенные интегралы:
а) по формуле Ньютона-Лейбница;
б) по формуле Симпсона при n=10 с точностью до двух знаков.
а)
7
0
2
3
3
dt
t
3
dx
t
1
x
1
1
x
dx
= Найдем новые пределы интегрирования
2
t
7
x
1
t
0
x
=
2
1
2
1
2
1
2
2
dt
)
1
t
1
1
t
(
3
dt
1
t
1
)
1
t
(
3
1
t
dt
t
3
2
ln
3
3
ln
3
5
,
1
)
2
ln
1
2
1
(
3
)
3
ln
2
2
(
3
|
|)
1
t
|
ln
t
2
t
(
3
2
1
2
716
,
2
5
,
1
ln
3
5
,
1
Ответ:
716
,
2
5
,
1
ln
3
5
,
1
1
1
x
dx
7
0
3
б)
11
1
3
dx
32
x
Применим приближенную формулу Симпсона
))
у
у
у
(
2
)
y
...
y
y
(
4
y
y
(
3
h
dx
)
x
(
f
b
a
2
n
4
2
1
n
3
1
n
0
где h=(b-a)/n, (n-четное число, у нас n=10), y
i
значения
подынтегральной функции в точках x
i
=a+ih.
В нашем случае
1
10
1
11
h
.
Заполним таблицу
i
x
i
y
i
=
32
x
3
i
0
1
5,74
1
2
6,32
2
3
7,68
3
4
9,80
4
5
12,53
5
6
15,75
6
7
19,36
7
8
23,32
8
9
27,59
9
10
32,12
10
11
36,92
Находим: у
0
+у
10
=5,74+36,92=42,66.
у
1
+у
3
+у
5
+у
7
+у
9
=6,32+9,80+15,75+23,32+32,12=87,32. 4
87,32=349,28.
у
2
+у
4
+у
6
+у
8
=7,68+12,53+19,36+27,59=67,16. 2
67,16=34,32.
42
,
175
26
,
526
3
1
)
32
,
134
28
,
349
66
,
42
(
3
1
dx
32
x
11
1
3
Задания для самосоятельного решения:
1. Вычислить определенные интегралы: