ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2021
Просмотров: 2495
Скачиваний: 1
а) по формуле Ньютона-Лейбница;
б) по формуле Симпсона при n=10 с точностью до двух знаков.
а)
6
3
3
dx
x
x
; б)
8
2
2
2
8
dx
x
Применение определенного интеграла к вычислению
площадей плоских фигур
1.Вычисление площади плоской фигуры в ПДСК.
2. Вычисление площади плоской фигуры в полярной системе
координат
Теоретическая часть:
При решении этих задач полезно придерживаться следующего
порядка.
1. Сделать чертеж фигуры (дуги), описываемой уравнениями,
заданными в задаче.
2. Выбрать подходящую формулу.
В декартовой системе координат (рис. 1):
b
a
dx
x
f
x
f
S
.
))
(
)
(
(
1
2
(1)
В полярной системе координат (рис. 2):
.
))
(
)
(
(
2
1
2
1
2
2
d
r
r
S
(2)
Р
ис. 2.
r
=r
1
(φ)
r
=r
2
(φ)
φ
=α
φ
φ
=β
β
α
0
Y
=f
1
(x)
Y
=f
2
(x)
a
b
X
0
Y
Р
ис. 1.
Замечание:
Если кривая f(x) задана параметрически или в
полярной системе координат, то в определенном интеграле надо сделать
замену переменных. Не забудьте про
новые пределы интегрирования!
Практическая часть:
1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями.
y=x
2
-4 и y=4-x
2
.
Решение:
Обе линии являются параболами.
Вершина первой параболы находится в точке (0; -4). Ветви направлены
вверх.
Вершина второй параболы находится в точке (0; 4). Ветви направлены
вниз.
Найдем точки пересечения этих линий.
.
0
y
,
0
y
,
2
x
,
2
x
,
2
x
,
4
x
,
8
x
2
,
x
4
4
x
x
4
y
4
x
y
2
1
2
1
2
,
1
2
2
2
2
2
2
Сделаем чертеж:
3
2
1
0
1
2
3
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
Площадь найдем по формуле
b
=x(T)
a
~ t
0
X
0
Y
Р
ис. 3.
При
параметрическом
задании
кривой (рис.3):
T
t
dt
t
x
t
y
S
0
.
)
(
)
(
(3)
х
у
у=х
2
-4
у=4-х
2
b
a
1
2
dx
)]
x
(
f
)
x
(
f
[
S
.).
ед
.
кв
(
3
64
3
16
16
3
16
16
2
2
3
x
2
х
8
dx
)
x
2
8
(
dx
)]
4
x
(
)
x
4
[(
S
3
2
2
2
2
2
2
2
Ответ: Искомая площадь 64/3 (кв. ед.).
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями.
y=x
2
-5x-6 и y=x+10.
Решение:
Первая линия является параболой, вторая - прямой. Для построения
параболы преобразуем ее уравнение: у=х
2
-2
2,5
х+2,5
2
-2,5
2
-6; у=(х-2,5)
2
-
12,25; у+12,25=(х-2,5)
2
.
Из последнего уравнения следует, что вершина параболы находится в
точке
(2,5; -12,25), а ось симметрии параллельна оси Оy. Найдем точки пересечения
этих линий
,
2
64
36
6
,
0
16
6
,
10
6
5
10
6
5
2
,
1
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
y
x
1
=-2, x
2
=8, y
1
=8, y
2
=18.
Сделаем чертеж:
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Площадь найдем по формуле
b
a
1
2
dx
)]
x
(
f
)
x
(
f
[
S
.).
ед
.
кв
(
3
2
166
3
520
340
3
8
32
12
3
512
128
192
2
8
3
x
x
16
x
3
dx
)
x
16
x
6
(
dx
]
6
x
5
x
10
x
[
S
3
2
8
2
2
8
2
2
Ответ: Искомая площадь 166 2/3 (кв. ед.).
3.
Вычислить
площадь
фигуры,
ограниченной
кардиоидой
).
cos
1
(
3
r
Решение
Сделаем чертеж
0
45
90
135
180
225
270
315
8
6
4
2
0
Площадь фигуры в полярной системе координат найдем по формуле:
2
1
.
d
)
(
r
2
1
S
2
Найдем
2
0
2
0
2
2
d
)
cos
cos
2
1
(
2
1
d
)
cos
1
(
2
1
S
2
0
.
2
3
2
0
2
)
2
2
cos
(
4
1
d
)
2
cos
1
(
4
1
0
2
)
sin
2
(
2
1
Ответ: Длина кардиоиды равна
2
3
(кв. ед.)
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды
x=a(t-sint), y=a(1-cost); (0
t
2
) и осью ОХ.
Решение:
Сделаем чертеж:
х
Площадь фигуры найдем по формуле:
2
1
t
t
.
dt
)
t
(
'
x
)
t
(
y
S
или
2
0
2
2
2
0
dt
)
t
cos
t
cos
2
1
(
a
dt
)
t
cos
1
(
a
)
t
cos
1
(
a
S
.
a
3
0
2
)
4
t
2
cos
t
sin
2
t
2
3
(
a
dt
)
2
t
2
cos
1
t
cos
2
1
(
a
2
2
2
0
2
Ответ: S=3
а
2
(кв. ед.)
Задания для самосоятельного решения:
1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями.
y=x
2
-3x+2 и y=-2x+8.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой
.
4
sin
2
r
.
Длина дуги плоской кривой, объем тела вращения
1. Вычисление длины дуги плоской кривой.
2. Вычисление объема тела вращения.
Теоретическая часть:
Вычисление длины дуги плоской кривой
Для длины дуги незамкнутой плоской кривой без кратных точек
(точек самопересечения) используют выражения:
dx
x
f
l
b
a
2
)
(
1
- в декартовой системе координат; f(x) –
непрерывно дифференцируема на [a,b].
d
l
2
2
- в полярной системе координат;
имеет
непрерывную производную
.
,
у
2
а