ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2021
Просмотров: 2490
Скачиваний: 1
dt
y
x
l
T
t
t
t
0
2
2
)
(
)
(
- при параметрическом задании кривой,
производные от х и у по t непрерывны на [t
0
,T].
Вычисление объема тела вращения
Если Т – тело вращения, полученное от вращения вокруг ОХ
криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=а; х=b; у=0 и у=f(x),
то это тело регулярно, причем
dx
x
f
x
S
)
(
)
(
2
и
b
a
dx
x
f
V
.
)
(
2
Практическая часть:
1. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ
фигуры, ограниченной кривыми
.
y
1
x
,
x
1
3
y
2
и
осью
).
0
y
,
0
x
(
,
OY
Решение:
Для построения чертежа, выясним, что это за линии.
.
1
3
y
1
x
,
9
y
x
9
,
x
9
9
y
,
x
1
3
y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Это
уравнение
эллипса с полуосями а=1, b=3.
.
x
1
y
,
y
1
x
,
y
1
x
2
2
Это уравнение параболы с вершиной в
точке (0, 1), ветви параболы направлены вниз. Сделаем чертеж:
0
0.5
1
3
2
1
1
2
3
Объем тела вращения найдем по формуле
b
a
2
1
2
2
,
dx
)]
x
(
y
)
x
(
y
[
V
1
0
4
2
1
0
2
2
2
dx
)
x
x
7
8
(
dx
]
)
x
1
(
x
9
9
[
V
174
,
17
15
82
)
5
1
3
7
8
(
0
1
)
5
x
x
3
7
x
8
(
5
3
(куб. ед)
Ответ: Объем тела вращения равен
174
,
17
15
82
(куб. ед.)
2. Вычислить длину дуги полукубической параболы
3
)
2
(
x
y
от
точки А(2,0) до точки В(6,8).
Решение
Сделаем чертеж
0
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
Длину дуги линии, заданной параметрически, найдем по формуле:
b
a
dx
x
f
L
2
))
(
'
(
1
Найдем
).
9
14
(
4
9
2
7
4
9
4
14
9
)
2
(
4
9
1
))
(
'
(
1
;
)
2
(
2
3
)'
)
2
((
)
(
'
2
2
/
1
2
/
3
x
x
x
x
x
f
x
x
x
f
Получим
2
/
3
2
/
3
6
2
2
/
3
2
/
1
6
2
)
9
4
(
)
9
40
(
2
6
2
/
3
)
9
14
(
2
3
)
9
14
(
2
3
9
14
2
3
x
dx
x
dx
x
L
073
,
9
)
1
10
10
(
27
8
(лин.ед.)
Ответ: Длина дуги равна
073
,
9
)
1
10
10
(
27
8
(лин. ед.).
3. Вычислить длину дуги кардиоиды r=2(1-cos
).
Решение:
Сделаем чертеж:
0
45
90
135
180
225
270
315
4
3
2
1
0
Длина дуги в полярной системе находится по формуле:
2
1
.
d
)
(
'
r
)
(
r
L
2
2
Найдем r
(
)=2sin
;
r(
)
2
+r
(
)
2
=4(1-cos
)
2
+4sin
2
=4-8cos
+4cos
2
+4sin
2
=8(1-cos
)
.
2
sin
4
2
Тогда
.
8
4
4
0
2
2
1
2
cos
2
d
2
sin
2
L
2
0
Ответ: Длина дуги кардиоиды равна 8 (ед.).
4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ
фигуры, ограниченной параболами
.
x
y
,
x
y
2
Решение:
Сделаем чертеж:
0
0.5
1
1
0.5
0.5
1
Объем тела вращения найдем по формуле
b
a
2
1
2
2
,
dx
)]
x
(
y
)
x
(
y
[
V
или
.
10
3
)
5
1
2
1
(
0
1
)
5
x
2
x
(
dx
]
x
x
[
V
5
2
1
0
4
Ответ: Объем тела вращения равен
942
,
0
10
3
(куб. ед.)
5. Вычислить длину дуги полукубической параболы
3
)
2
(
x
y
от
точки А(2,0) до точки В(6,8).
Задания для самосоятельного решения:
1. Вычислить длину астроиды x=cos3t, y=sin3t (0
t
2
).
2. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ
фигуры, ограниченной кривыми у=х
2
, х=у.
Несобственные интегралы
1. Исследование на сходимость несобственного интеграла
первого рода.
2. Исследование на сходимость несобственного интеграла
второго рода
Теоретическая часть:
Несобственные интегралы
Определение:
Пусть f(x) определена на [а, +∞) и для любого b≥a
существует
b
a
dx
x
f
,
)
(
тогда
b
a
b
dx
x
f
)
(
lim
называется
несобственным интегралом
первого рода от f(x).
Если этот предел конечен, то интеграл называется
сходящимся, если бесконечен или вовсе не существует – расходящимся.
Обозначение таких интегралов:
.
)
(
a
dx
x
f
Определение:
Пусть f(x) определена и интегрируема в [a, b-ε],
a
b
0
:
и неограниченна в
b
a
dx
x
f
b
b
)
(
lim
.
,
0
называется
несобственным интегралом второго рода
.
Интеграл называется
сходящимся, если этот предел конечен, и расходящимся, если предел
бесконечен или не существует. Обозначается:
b
a
dx
x
f
.
)
(
Практическая часть:
1. Вычислите несобственные интегралы.
a)
1
3
х
dx
Решение:
Подынтегральная функция непрерывна в промежутке [1;
). По определению
несобственного интеграла с бесконечным пределом интегрирования
.
1
N
lim
2
3
1
N
3
2
х
lim
dx
х
lim
х
dx
3
2
N
3
2
N
N
1
3
1
N
1
3
Таким образом, несобственный интеграл расходится.
б)
2
3
2
2
x
3
dx
Решение:
Подынтегральная функция терпит разрыв в точке х=2/3. По
определению
.
))
3
ln(
4
(ln
lim
3
1
3
2
2
|
2
x
3
|
ln
lim
3
1
2
x
3
dx
lim
2
x
3
dx
0
2
3
2
0
2
3
2
0
То есть интеграл расходится.
2. Вычислите несобственные интегралы
.
a)
1
2
x)
4
(3
dx
Подынтегральная функция непрерывна в промежутке [1;
). По определению
несобственного интеграла с бесконечным пределом интегрирования
Решение:
.
4
1
1
N
4
3
1
lim
4
1
1
N
4
1
x
4
3
1
lim
)
x
4
3
(
dx
lim
)
x
4
3
(
dx
N
N
N
1
2
N
1
2
Таким образом, несобственный интеграл сходится и равен
4
1
.
b)
0
1
1
x
dx
Решение:
Подынтегральная функция терпит разрыв в точке х=-1. По
определению