ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2021
Просмотров: 2485
Скачиваний: 1
Сначала определим координаты точки А:
Проекция области D на ось Оу есть отрезок [0,2]. Таким образом,
7.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
Линии даны в полярных координатах, поэтому воспользуемся
формулой площади в полярных координатах:
Первая функция
определена при
а вторая
-
при
,
так
при
прочих
значениях
Соответствующая область имеет вид, изображенный на
рисунке 25. Ввиду симметрии фигуры относительно полярной оси можно
ограничиться вычислением половины площади, а результат удвоить.
Имеем:
Задания для самосоятельного решения:
1.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
.
2.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
3.
Вычислить
объем
тела,
ограниченного
поверхностями
Криволинейные интегралы второго рода
1. Вычисление площади поверхности тела.
1. Криволинейны интеграл второго рода.
Теоретическая часть:
Определение:
Если в
некоторой плоской области задан вектор
силы, лежащий в этой области, то говорят, что заданно плоское силовое поле.
По аналогии можно рассмотреть и силовое пространство.
Пусть
Q
P
F
,
- вектор силы, где Р=Р(х,у),
а Q = Q(x,y). Рассмотрим некоторую дугу ВС в
области Д и найдём работу поля по
перемещению точки из В в С.
Разобьём
.
...
...
:
2
1
0
C
M
M
M
M
M
B
С
В
n
k
При достаточно мелком
разбиении
BC
T
можно считать, что по
частичной дуге
k
k
M
M
1
точка
движется под действием постоянной силы
,
;
;
:
K
K
K
K
K
Q
P
F
F
F
где
,
;
1
k
k
k
k
k
M
M
N
причём считается, что движение происходит не по дуге,
а по хорде
.
1
k
k
M
M
Обозначим
.
1
k
k
k
M
M
S
Тогда работа
k
A
на дуге
k
k
M
M
1
приближённа равна:
k
k
k
k
k
k
S
Q
F
A
;
;
x
P
S
F
A
y
x
M
M
S
y
y
y
x
x
x
y
x
M
y
x
M
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
;
,
;
;
1
1
1
1
1
1
m
k
m
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
y
Q
x
P
A
A
y
Q
1
1
;
;
;
Параметр разбиения
.
max
1
1
k
k
m
k
M
M
Рассмотрим предел, при λ→0
естественно считать:
m
k
k
k
k
k
k
k
y
Q
x
P
A
1
;
;
lim
Определение криволинейного интеграла по координатам для случая
плоских фигур
Пусть в плоскости ХОУ дана кривая ВС и на ней определена функция
Р(х;у). Разобьём ВС в направлении от В к С. На
частичной дуге выберем
промежуточные точки. Вычислим значение Р(х;у) в этих промежуточных
точках и составим интегральную сумму:
BC
k
k
k
k
k
dx
y
x
P
M
M
x
P
)
;
(
lim
max
,
;
1
0
1
1
Аналогично определяется интеграл по второй координате у:
BC
dy
y
x
Q
.
)
;
(
lim
2
0
BC
BC
BC
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
)
;
(
)
;
(
det
)
;
(
)
;
(
- полный
криволинейный интеграл.
BC
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
A
)
;
(
)
;
(
- криволинейный интеграл второго рода.
Существование и вычисление криволинейных интегралов
Определение:
Простая кривая Жордана r:
t
y
t
x
называется
регулярной
t
t
- непр. на [α,β]
Определение:
Кривая Жордана называется кусочно-регулярной
её
можно разбить на конечное число регулярных кривых.
Примеры:
1)
int
RS
y
RCost
x
;
0
t
- регулярная кривая.
2)
0
1
1
x
y
t
t
x
t
y
нерегулярная
кривая,
но
кусочнорегулярная.
Теорема:
Если f(x;y) –непрерывна на кусочно-регулярной кривой
r
,
BC
то интеграл от этой функции по любой координате существует и имеет
место формула:
BC
dt
t
t
t
f
dx
y
x
f
)
;
(
;
BC
dt
t
t
t
f
dx
y
x
f
.
;
;
Замкнутый контур
Для замкнутого контура является принципиальным вопрос выбора
направления, так как начальная и конечная (∙) совпадают. Положительным
называется направление, при котором наблюдатель, идущий по контуру в
этом направлении, видит контур слева от себя. Противоположное
направление – отрицательное.
Практическая часть:
1.
Вычислить интеграл:
Где L – верхняя половина эллипса
, пробегаемая по ходу
часовой стрелки.
Воспользуемся
параметрическими
уравнениями
эллипса:
Подс
тавляя в интеграл и учитывая направление обхода (откуда cледует, что t
меняется от
2
. Вычислить:
По дуге винтовой линии
при изменении t
от 0 до 2
Сначала
найдем
дифференциалы
переменных:
Даны функции
и точки А(9,4),
В(9,0), С(0,4). Вычислить криволинейный интеграл
Где:
1)
L – отрезок ОА;
2)
L – ломанная ОВА;
3)
L – ломанная ОСА;
4)
L – парабола, соединяющая точки О(0,0) и А(9,4) и симметричная
относительно оси Оу.
5)
Проверить выполнение условия Грина.
3.
Вычислить интеграл
Взятый вдоль различных путей, соединяющих точки О (0,0), А(2,1),
В(2,0), С(0,1):
4. Даны функции
и точки
А(3,6), В(3,0), С(0,6). Вычислить криволинейный интеграл
Где:
1)
L – отрезок ОА;