ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2021
Просмотров: 2480
Скачиваний: 1
).
x
sin
1
)
tgx
ln(
x
sin
(
)
tgx
(
'
y
);
x
sin
1
)
tgx
ln(
x
sin
(
y
'
y
;
x
cos
1
tgx
1
x
cos
)
tgx
ln(
x
sin
y
'
y
x
cos
2
2. Найти производные
dx
dy
функций, заданных в явном виде.
а)
2
5
2
3
x
6
x
x
3
x
4
y
Предварительно
запишем
функцию
в
виде,
удобном
для
дифференцирования
у=4х
3
-3х
-1
-х
2/5
+6х
-2
,
тогда у
=12x
2
+3x
-2
-2/5x
-3/5
-12x
-3
=
3
5
3
2
2
x
12
x
5
2
x
3
x
12
.
Ответ:
.
x
12
x
5
2
x
3
x
12
'
y
3
5
3
2
2
б) у=ctgx
arccos(2x
3
).
y
=(ctgx)
arccos(2x
3
)+ctgx
(arccos(2x
3
))
=
=
)'
x
2
(
x
4
1
1
ctgx
)
x
2
arccos(
x
sin
1
3
6
3
2
.
x
4
1
ctgx
x
6
x
sin
)
x
2
arccos(
6
2
2
3
Ответ: y
=
.
x
4
1
ctgx
x
6
x
sin
)
x
2
arccos(
6
2
2
3
в) y=arcsin
5
(2x)
log
2
(3x+5).
y
=( arcsin
5
(2x))
log
2
(3x+5)+arcsin
5
(2x) (log
2
(3x+5))
=
=5
arcsin
4
(2x)
(arcsin(2x))
log
2
(3x+5)+arcsin
5
(2x)
5
х
3
1
3=
5
x
3
)
x
2
(
arcsin
3
)
5
x
3
(
log
)'
x
2
(
x
4
1
1
)
x
2
(
arcsin
5
5
2
2
4
.
5
x
3
)
x
2
(
arcsin
3
x
4
1
)
5
x
3
(
log
)
x
2
(
arcsin
10
5
2
2
4
Ответ:
.
5
x
3
)
x
2
(
arcsin
3
x
4
1
)
5
x
3
(
log
)
x
2
(
arcsin
10
'
y
5
2
2
4
г)
.
x
sin
x
)
1
x
(
)
2
x
(
x
sin
x
)
1
x
(
)
1
x
(
y
2
5
3
/
7
2
5
3
7
.
x
sin
x
cos
x
x
sin
x
2
)
1
x
(
3
)
x
8
22
(
)
1
x
(
x
sin
x
cos
x
x
sin
x
2
)]
1
x
(
15
)
1
x
(
7
[
)
1
x
(
)
1
x
(
3
1
x
sin
x
cos
x
x
sin
x
2
)
)
1
x
(
5
(
)
1
x
(
)
1
x
(
)
1
x
(
3
7
'
y
2
2
6
3
4
2
2
6
3
4
2
2
6
3
7
5
3
4
Ответ:
.
x
sin
x
cos
x
x
sin
x
2
)
1
x
(
3
)
x
8
22
(
)
1
x
(
'
y
2
2
6
3
4
Ответ: у
=
.
xctgx
x
sin
2
)
x
sin
x
cos
x
(
xctgx
cos
)
xctgx
sin
2
sin(
2
д)
y=(sinx)
arcsinx
.
Применим
метод
логарифмического
дифференцирования.
Прологарифмируем обе части.
lny=arcsinx
lnsinx.
Продифференцируем обе части по х
).
x
arcsin
ctgx
x
1
x
sin
ln
(
)
x
(sin
'
y
);
x
arcsin
ctgx
x
1
x
sin
ln
(
y
'
y
;
x
cos
x
sin
1
x
arcsin
x
sin
ln
x
1
1
y
'
y
2
x
arcsin
2
2
Ответ:
).
x
arcsin
ctgx
x
1
x
sin
ln
(
)
x
(sin
'
y
2
x
arcsin
3. Найти производные указанного порядка
у=xln(1+3x) у
=?.
Решение:
y
=ln(1+3x)+x
x
3
1
x
3
)
x
3
1
ln(
3
х
3
1
1
.
)
x
3
1
(
x
9
6
)
x
3
1
(
x
9
x
9
3
x
9
3
)
x
3
1
(
3
x
3
)
x
3
1
(
3
x
3
1
3
"
y
2
2
2
Ответ:
.
)
x
3
1
(
x
9
6
'
'
y
2
4. Найти производную
x
y
.
1.
.
3
sin
,
3
1
3
3
3
2
t
t
y
t
t
x
2.
.
sec
2
,
2
cos
2
t
y
t
x
.
Задания для самосоятельного решения:
1.Найти производную.
1).
.
1
15
)
2
4
3
(
2
2
3
x
x
x
x
y
2)
.
1
2
2
ln(
2
x
x
x
e
e
e
x
y
3)
.
)
ln(
a
x
a
x
x
x
y
4)
.
6
cos
3
3
sin
3
1
3
sin
2
x
x
y
5)
.
2
ctgx
tgx
arctg
y
6)
.
)
(
ln
)
2
/
1
(
arctgx
arctgx
y
7)
.
1
ln
1
arcsin
2
2
x
x
x
x
y
8)
,
2
arcsin
16
4
)
8
(
24
1
4
2
2
x
x
x
x
y
.
0
x
8)
).
ln(
sin
1
ctg
tgx
y
2.
Показать, что функция
y
удовлетворяет данному уравнению.
1.
.
2
/
2
x
xe
y
.
)
1
(
2
y
x
y
x
Неявная функция, ее дифференцирование.
Дифференциал функции, его свойства
1. Дифференцирование неявной функции
2. Дифференциал функции в точке, его геометрический смысл.
3. Приближенные вычисления с помощью дифференциалов.
Теоретическая часть:
Дифференциал функции
dy
есть главная часть ее приращения
у
,
линейная относительно
х
с коэффициентом пропорциональности равным
производной
f'(x).
порядка —
3
3
dx
y
d
, и т.д.
Геометрическое представление дифференциала
Возьмем на графике функции
y=f(x)
точку с фиксированной абсциссой
х
=ОА, тогда
у
=АС (на рис.10 показаны два случая; буквенные обозначения
для них одни и те же). Дадим аргументу приращение
x
=AB=CD. Тогда
приращение функции будет
y
=DM. Проведем теперь касательную к кривой
в точке С (
х; у
). Тангенс ее угла наклона
α
равен производной в той же точке:
y′ = tgα
(7)
Из прямоугольного треугольника CDEмы видим, что DE=CD ∙
tga
=
х·у'
В правой части мы получили выражение дифференциала функции
dy
,
следовательно,
dy
=DE.
Таким образом, если при некотором
х
приращение функции
у
в
некоторой точке
х
есть приращение ординаты ее графика (DM), то
дифференциал функции
dy
равен приращению ординаты касательной к
графику в точке (
х; у
) при том же значении
х
.
Из рисунка мы видим, что
dу
может быть и меньше, чем
у
(1) и больше
(II). Разность между
у
и
dy
равна отрезку ЕМ.
Тот факт, что при небольших значениях
х
дифференциал функции
приближенно равен ее приращению:
у≈dу
, позволяет во многих случаях
заменять с достаточной точностью величину
у
, вычисление которой иногда
бывает весьма затруднительным или громоздким, величиной
dy
, которую
можно вычислить гораздо легче.
В этом и заключается принцип применения дифференциала к
приближенным вычислениям. Схема этого метода такова. Требуется найти
численное значение некоторой функции
y=f(x)
при таком значении
y
x
0
y=f(x
)
y=f(x)
A
B
D
C
M
E
x
x
x
x
x
x
y
y
y
y
D
A
B
C
M
E
dy
}
dy
}
}
}
I
II
Рис
.10
аргумента, при котором вычисление
у
затруднительно. Тогда, если
х
оказывается весьма близким к некоторому другому значению аргумента
х
0
(
х=х
0
+
х
), при котором значение функции
у
0
[y
0
=
f(x
0
)]
найти легко, то
вместо искомого значения функции
y=y
0
+
y=f(x
0
+
x)
находим ее
приближенное значение:
у ≈ y
0
+f’ (х
0
)·
х
Практическая часть:
1.Найти производные указанного порядка
у=(5-х
2
)
ln
2
x у
=?.
Решение:
y
=(5-x
2
)
ln
2
x+(5-x
2
)
( ln
2
x)
=-2x
ln
2
x+(5-x
2
)
2lnx
(lnx)
=
=-2x
ln
2
x+(5-x
2
)
2lnx
x
1
=2(5x
-1
-x)lnx-2x
ln
2
x
y
=2(-5x
-2
-1)lnx+2(5x
-1
-x)
x
1
-2
ln
2
x-2x
2lnx
x
1
=(-10x
-2
-6)
lnx+10x
-2
-2-
2ln
2
x=
.
x
ln
2
2
x
ln
6
x
)
x
ln
1
(
10
2
2
Ответ: y''
.
x
ln
2
2
x
ln
6
x
)
x
ln
1
(
10
2
2
2. Найти первую и вторую производные неявной функции и функции,
заданной параметрически.
а) y=e
y
+4x. (условие изменено)
Продифференцируем обе части по х
y'=e
y
y'+4; y'(1-e
y
)=4;
(*)
Отсюда
.
e
1
4
'
y
y
Дифференцируем равенство (*) по х
y''
(1-e
y
)+y'
(-e
y
)
y
=0. Отсюда
y
2
y
e
1
)
'
y
(
e
''
y
Подставляя вместо у
его выражение, получим
.
)
e
1
(
e
16
''
y
3
y
y
Ответ:
.
e
1
4
'
y
y
.
)
e
1
(
e
16
''
y
3
y
y
б)
3
1
t
y
t
x
Первую и вторую производные найдем по формулам