ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2021
Просмотров: 2477
Скачиваний: 1
3
'
t
'
t
"
t
'
t
"
t
2
2
"
x
'
x
)
x
(
y
x
x
y
dx
y
d
y
)
t
(
'
x
)
t
(
'
y
dx
dy
y
Найдем
.
)
1
t
(
3
1
)'
)
1
t
((
y
;
t
2
1
)'
t
(
x
3
2
3
1
'
t
2
1
2
1
'
t
.
)
1
t
(
9
2
y
;
t
4
1
x
3
5
"
t
2
3
"
t
Тогда
.
)
1
t
(
3
t
2
t
2
1
)
1
t
(
3
1
dx
dy
3
2
2
1
3
2
3
2
1
3
2
2
3
2
1
3
5
2
2
t
2
1
)
1
t
(
3
1
t
4
1
t
2
1
)
1
t
(
9
2
dx
y
d
.
)
1
t
(
9
)
3
t
(
2
)
1
t
(
3
t
4
t
t
)
1
t
(
36
8
3
5
2
3
2
3
3
5
Ответ:
.
)
1
t
(
3
t
2
dx
dy
3
2
.
)
1
t
(
9
)
3
t
(
2
dx
y
d
3
5
2
2
3. Найти первую и вторую производные неявной функции и функции,
заданной параметрически.
а)
7
x
7
y
ln
.
Продифференцируем обе части по х :
;
0
x
7
'
y
y
1
2
Отсюда
.
x
y
7
'
y
2
Дифференцируем последнее равенство по х
.
x
xy
14
y
49
x
xy
14
x
x
y
7
7
x
xy
14
x
'
y
7
x
y
7
''
y
4
4
2
2
4
2
'
x
2
Ответ:
.
x
y
7
'
y
2
.
x
)
x
2
7
(
y
7
'
'
y
4
б)
t
1
y
t
1
x
2
Первую и вторую производные найдем по формулам
3
'
t
'
t
"
t
'
t
"
t
2
2
"
x
'
x
)
x
(
y
x
x
y
dx
y
d
y
)
t
(
'
x
)
t
(
'
y
dx
dy
y
Найдем
x
t
=
2
1
2
2
2
)
t
1
(
t
t
1
t
)
t
2
(
t
1
2
1
;
.
t
t
1
y
2
2
'
t
.
t
2
y
;
)
t
1
(
t
1
)
t
1
(
t
t
1
t
1
t
1
t
t
t
1
x
3
"
t
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
"
t
Тогда
.
t
t
1
t
1
t
t
dx
dy
3
2
2
2
.
t
t
2
3
)
t
1
(
t
)
1
)
t
1
(
2
(
)
t
1
(
t
)
t
1
(
t
)
t
(
)
t
1
(
)
)
t
1
(
t
(
t
2
dx
y
d
5
2
2
3
2
3
2
2
3
2
2
2
3
2
3
2
2
3
2
2
1
2
3
2
2
Ответ:
.
t
t
1
dx
dy
3
2
.
t
t
2
3
dx
y
d
5
2
2
2
4. Вычислить приближенно с помощью дифференциала, сохраняя два
знака после запятой.
а)
3
2
1
x
5
x
2
y
при х=1,04.
Воспользуемся приближенным равенством
f(x
0
+
x)
f(x
0
)+dy=f(x
0
)+ f
(x
0
)·
x
Положим
,
)
1
x
5
x
2
(
1
x
5
x
2
)
x
(
f
3
1
2
3
2
x
0
+
x=1,04;
x
0
=1.
Тогда
f
(x)=
)
5
x
4
(
)
1
x
5
x
2
(
3
1
3
2
2
, f(x
0
)= f(1)=2,
f
(x
0
)= f
(1)=
4
3
12
9
9
8
3
1
3
2
,
x=1,04-1=0,04.
Получим f(x
0
+
x)
2+3/4·0,04=2,03.
б) cos61
Возьмем f(x)=cosx, x
0
+
x=61
; x
0
=60
. Тогда
f
(x)=-sin(x), f(x
0
)= f(60
)=cos60
=0,5, f
(x
0
)= f
(60
)=-sin60
=-
.
866
,
0
2
3
x=61
-60
=1
=
180
0,017.
Получим cos61
0,5-0,866·0,017=0,48.
в)
3
x
3
x
4
y
при х=0,85.
Воспользуемся приближенным равенством
f(x
0
+
x)
f(x
0
)+dy=f(x
0
)+ f
(x
0
)·
x
Положим
,
)
x
3
x
4
(
x
3
x
4
)
x
(
f
2
1
3
3
x
0
+
x=0,85; x
0
=1. Тогда
f
(x)=
)
x
9
4
(
)
x
3
x
4
(
2
1
2
2
1
3
, f(x
0
)= f(1)=1, f
(x
0
)=f
(1)=
.
5
,
2
)
5
(
1
2
1
,
x=0,85-1=-0,15.
Получим f(x
0
+
x)=f(0,85)
1-2,5·(-0,15)=1,37.
г) sin27
Возьмем f(x)=sinx, x
0
+
x=27
; x
0
=30
. Тогда
f
(x)=cos(x), f(x
0
)= f(30
)=sin30
=0,5, f
(x
0
)= f
(30
)=cos30
=
.
866
,
0
2
3
x=27
-30
=-3
=-3
180
-0,052.
Получим sin27
0,5-0,866·0,052=0,45.
Задания для самосоятельного решения:
1. Вычислить приближенно с помощью дифференциала, сохраняя два
знака после запятой.
а)
3
2
3
x
7
x
y
при х=1,02.
б) sin32
2. Найти производные
dx
dy
функций, заданных в явном виде.
а)
6
3
7
2
2
4
5
x
x
x
x
y
б) у=5
х
arccos(2x
5
)
в) y=arctg
3
(7x-x
3
)
ln(x
2
+1). г)
.
x
e
)
1
x
(
)
2
x
(
x
e
)
1
x
(
)
2
x
(
y
3
x
2
2
7
/
4
3
x
2
2
7
4
Исследование функции методами
дифференциального исчисления
1. Исследование функции на экстремумы.
2. Исследование формы кривой.
3.Асимптоты функции.
Теоретическая часть:
Исследование функции с целью построения графика
Функция
y=f(x)
называется
возрастающей (убывающей)
на интервале
(
а;b
), если для любых значений
x
1
и
х
2
аргумента
х
, таких что
a<x
1
<x
2
<b
выполняется неравенство
f(x
2
)>f(x
1
) (f(x
2
)<f(x
1
))
.
Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции нужно
пользоваться
достаточными признаками монотонности
:
Если
производная
дифференцируемой
функции
положительна
(отрицательна) на некотором интервале и стационарные точки (те в которых
f'(x)=0)
не заполняют сплошь никакого отрезка, то функция возрастает
(убывает) на этом интервале.
Если в некоторой окрестности точки
х
0
для всех
х≠х
0
выполняется
неравенство
f(x)<f(x
0
)
или
f(x)>f(x
0
)
, то точка
х
0
называется точкой
экстремума функции
f(x)
(соответственно точкой максимума или минимума).
Необходимое условие экстремума
: Если функции
f(x)
имеет в точке
х
0
экстремум и дифференцируема в этой точке, то первая производная
f '(x
0
)
равна нулю. Таким образом, экстремум может наблюдаться в точках, в
которых
f′ (х
0
)=0
или не существует.
Достаточное условие экстремума
: Если
х
0
является точкой экстремума
функции
f(x)
, то ее первая производная
f'(x)
меняет знак при переходе через
точку
х
0
: с плюса на минус — при максимуме, с минуса на плюс - при
минимуме.
Пусть функция
f(x)
удовлетворяет условию
f "(x)>0
. Тогда кривая
у= f(x)
выпукла вниз в точке с абсциссой
х
0
. Если же
f "(x)<0
, то кривая
у=f(x)
в этой
точке выпукла вверх.
Точка с абсциссой
х
0
называется
точкой перегиба
кривой
y=f(x)
, если при
переходе через точку
х
0
меняется направление выпуклости.
Необходимое условие точки перегиба
: если
х
0
- точка перегиба кривой
y=f(x)
, то вторая производная
f’'(х
0
)
либо равна нулю, либо не существует.
Достаточное условие точки перегиба
: x
0
является точкой перегиба кривой
у=f(x)
, если в достаточно малой окрестности точки
х
0
при переходе через
точку х
0
вторая производная меняет знак.
Прямая
у
ас
=кх+b
называется наклонной асимптотой кривой
y=f(x),
если
расстояние от точки (
x;f(x)
) кривой до этой прямой стремится к нулю при
х
∞. При этом
x
)
x
(
f
lim
k
x
,
)
kx
)
x
(
f
(
lim
b
x
.
При
k
=0 имеем горизонтальную асимптоту:
у=b
.
Заметим, что если не существует хотя бы один из пределов, определяющих
к
и
b
, то асимптоты нет.
Если
)
x
(
f
lim
a
x
0
или
)
x
(
f
lim
a
x
0
, то прямая
х=а
называется
вертикальной асимптотой графика функции.
Общая схема исследования функции и построения ее графика.
I. Элементарное исследование:
1)
найти область определения функции;
2)
исследовать функцию на четность (нечетность);
3)
исследовать функцию на периодичность;
4)
определить, если это не вызовет особых затруднений, точки пересечения
графика с координатными осями.
II. Исследование графика функции по первой производной:
1)
найти
у'(х);
2)
используя необходимый признак существования экстремума найти точки,
«подозрительные» на экстремум, т.е. точки в которых
у'(х)=0
или
у′(х)
не
существует;
3)
нанести критические точки на область определения и найти знак про-
изводной во всех получившихся интервалах;
4)
используя признаки монотонности определить характер монотонности
функции на каждом интервале;
5)
используя достаточный признак существования экстремума установить
наличие экстремума и их характер;
6)
вычислить значение функции в точках экстремума, если они есть.
III.Исследование графика функции по второй производной:
1) найти
у" (х);
2)
используя необходимый признак существования точек перегиба, найти
точки «подозрительные» на перегиб, т.е. точки в которых
у"(х)=0
или
у"(х)
не
существует;
3)
нанести полученные точки на область определения и найти знак второй
производной в каждом из получившихся интервалов;
4)
используя теорему о форме кривой установить характер выпуклости
(вогнутости) графика функции на каждом промежутке;