Файл: Казанский государственный университет.pdf

0 0
0
( , , )
( , , )
F
F
F
F x y z
F x y z
x
y
z
x
y
z
∂
∂
∂
≈
+
∆ +
∆ +
∂
∂
∂
∆
Для решения многих задач, например, для исследования устойчивости системы, такое приближение в большинстве случаев вполне достаточно.
Однако когда линеаризованные уравнения используются для исследования качества функционирования системы, приращения переменных могут быть не всегда малыми. Тогда для строгой оценки допускаемой погрешности проводится анализ остаточного члена, который удобнее всего брать в форме
Лагранжа:
2 1
2
F
F
F
R
x
y
z
x
y
z
ξ
ς
η
⎡
⎤
⎛
⎞
∂
∂
∂
⎛
⎞
⎛
⎞
=
∆ +
∆ +
∆
⎢
⎥
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎢
⎥
⎣
⎦
В последнем выражении
,
,
F
F
F
x
x
x
ξ
η
ς
∂
∂
∂
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
– частные производные, вычисленные в точке с координатами
, ,
ξ η ς
,
0 0
x
x
x
ξ
< <
+ ∆
,
0 0
0 0
;
y
y
y
z
z
z
η
ς
< <
+ ∆
< <
+ ∆
Найдем выражение приращения
( , , )
F x y z
∆
функции ( , , )
F x y z , которое определим как разность между текущим значением этой функции ( , , )
F x y z и ее значением
( , , )
F x y z в некоторой фиксированной точке, заданной координатами
0 0
0
,
, .
x y z
Учитывая выражение (2.4.1) с точностью до
, можно записать
2
R
0 0
0
( , , )
( , , )
( , , )
F
F
F
F x y z
F x y z
F x y z
x
y
z
x
y
z
∂
∂
∂
∆
≈
−
=
∆ +
∆ +
∂
∂
∂
∆
Полученным выражением удобнее всего пользоваться при линеаризации нелинейных дифференциальных уравнений.
Для того чтобы непосредственно применить найденное из формулы
Тейлора выражение для приращения нелинейной функции к линеаризации дифференциального уравнения, необходимо несколько преобразовать последнее.
Составим уравнение установившегося режима для данного элемента
(системы) и вычтем его из уравнения динамики элемента. Тогда в правой части уравнения будут только приращения нелинейных функций относительно их значений в установившемся режиме, для определения которых мы получили выражение из формулы Тейлора.
88

В качестве установившегося режима может выбираться либо режим, существовавший до действия возмущения и начала переходного процесса, либо режим, который установится после затухания переходного процесса.
При установившемся режиме до начала переходного процесса или после его окончания приращения переменных должны соответственно отсчитываться от их постоянных значений. Заметим, что если отсчет приращений переменных (обобщенных координат) производить от их значений при новом установившемся режиме, наступающем после окончания переходного процесса, то с течением времени приращения всех переменных стремятся к нулю (для устойчивых систем).
В качестве примера рассмотрим процедуру формирования математической модели электромеханической системы (электродвигателя постоянного тока), где присутствуют все основные положения, изложенные выше.
Математическая модель электромеханической системы.
Действуя согласно алгоритму формирования модели динамической системы, на первом этапе поставим задачу составления математической модели электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждением (рис.2.4.4)
Требуется найти математические зависимости выходной величины – угловой скорости вращения вала электродвигателя от управления – входного напряжения U.
Рис.2.4.4
Рис.2.4.
Допущения:
ƒ сопротивление и индуктивность якоря – постоянны;
ƒ реакция якоря скомпенсирована;
ƒ поток рассеяния неизменен;
ƒ момент инерции, приведенный к валу, связанных с валом подвижных частей – постоянен;
ƒ напряжение источника возбуждения постоянно;
ƒ управление электродвигателем осуществляется с помощью напряжения питания:
Второй этап алгоритма в данном случае не требуется, т.к. нет необходимости разбивать рассматриваемую систему на простейшие элементы и звенья.
На третьем этапе алгоритма – составлении уравнения динамики выделенного элемента системы, основным является выявление физического закона, определяющего его поведение. Обычно таким законом является закон сохранения вещества, закон сохранения
89

энергии, второй закон Ньютона или какой-либо из других фундаментальных законов физики. Математическое выражение соответствующего физического закона, который определяет процесс, протекающий в данном элементе системы регулирования, и является исходным дифференциальным уравнением этого элемента.
Для электродвигателя исходным уравнением будет уравнение, выражающее второй закон Ньютона для вращательного движения
c
d
J
M
M
dt
ω
∂
=
−
, (2.4.12) где
ω
– угловая скорость вала двигателя; t – время; J – момент инерции движущихся частей, приведенный к валу двигателя;
– вращающий момент, приложенный к валу;
– момент сопротивления на валу двигателя.
∂
M
c
M
Следующим шагом должно быть определение факторов, от которых зависят переменные, входящие в исходное уравнение, и установление выражений, характеризующих эту зависимость. Зависимости могут быть аналитическими функциями или заданы графически. В большинстве случаев они являются нелинейными зависимостями. Подставив найденные выражения в исходное уравнение, получаем нелинейное уравнение элемента (системы).
Для нашего примера необходимо установить зависимости переменных и от других факторов и переменных. На основании теории электродвигателей можно получить аналитические выражения функций
∂
M
c
M
)
,
( U
M
M
ω
∂
∂
=
и
)
,
( t
M
M
c
c
ω
=
или представить их в виде графиков (рис.2.4.5). Вращающий момент и момент сопротивления являются нелинейными функциями скорости вращения вала
∂
M
c
M
ω
. Поэтому математическая модель рассматриваемой системы – уравнение (2.4.12) будет нелинейным дифферен- циальным уравнением.
Для линеаризации уравнения (2.4.12) перейдем к уравнению в отклонениях от установившегося режима.
Параметры установившегося состояния находятся из графиков, приведенных на рис.
2.4.5, если положить
o
co
M
M
∂
=
Это и есть уравнение установившегося режима. При этом параметры имеют значения
0
ω
,
. Разложим нелинейные функции
0
U
)
,
( U
M
M
ω
∂
∂
=
и
)
,
( t
M
M
c
c
ω
=
в ряд
Тейлора в окрестности точки (
0
ω
,
):
0
U
1 0
0
o
M
M
M
M
U
u
ω
ω
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎛
⎞
⎛
⎞
=
+
∆ +
∆ +
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
m ,
2 0
( )
c
c
co
c
M
M
M
M
ω
ω
∂
⎛
⎞
=
+
∆ + ∆
+
⎜
⎟
∂
⎝
⎠
t
m
где
)
,
(
0 0
0
u
M
M
ω
∂
∂
=
,
– учитывает зависимость момента сопротивления от времени ; содержат члены порядка малости выше первого относительно приращений
)
(t
M
c
∆
c
M
t
1
,
m
m
2
ω
∆
и
u
∆
90

Подставим полученные выражения в уравнение (2.4.12) и отбросим члены, содержащие отклонения в степени выше первой:
0 0
0
( )
c
c
M
M
M
d
J
U
dt
u
ω
ω
ω
ω
ω
∂
∂
∂
∂
∂
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
=
∆ +
∆ −
∆ − ∆
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
M t .
После простейших преобразований
0 0
0
c
c
M
M
M
d
J
U
dt
u
ω
∆ω
∆
∆
ω
ω
∂
∂
⎡
⎤
∂
∂
∂
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
+
−
=
−
⎢
⎥
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎣
⎦
M ( t ). (2.4.13)
Таким образом, мы получили линеаризованное уравнение в отклонениях (или в приращениях, в вариациях) от состояния равновесия, выраженное в абсолютных единицах.
До сих пор при выводе уравнений мы имели дело с абсолютными величинами, с именованными единицами. Размерность каждого члена уравнения вполне определенная.
В нашем примере каждый член уравнения имеет размерность момента. Однако при исследовании динамических систем, особенно при сравнении таких систем и их элементов между собой, большие удобства представляют уравнения в относительных единицах с безразмерными коэффициентами или с коэффициентами, имеющими размерность времени в степени, равной порядку производной, при которой стоит данный коэффициент.
Для приведения дифференциального уравнения в абсолютных приращениях к уравнению в относительных единицах с безразмерными коэффициентами произведем следующие элементарные операции:
1. Разделим все члены уравнения на некоторую постоянную величину, имеющую размерность членов этого уравнения (в нашем примере – размерность момента). Такой величиной обычно выбирается номинальное значение, максимальное значение или некото- рое начальное значение данной переменной.
В рассматриваемом примере возьмем номинальное значение момента и разделим на него почленно уравнение (2.4.13)
H
M
0 0
0 1
1
( )
c
c
H
H
H
H
M
M
M
J d
U
M
M
dt
M
M
u
M
ω
ω
ω
ω
∂
∂
⎡
⎤
∂
∂
∂
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
+
−
∆ =
∆ −
∆
⎢
⎥
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎣
⎦
1
t .
В результате этого каждый член уравнения стал безразмерным.
2. Перейдем к относительным единицам.
Выберем некоторые постоянные значения для каждой координаты, для всех переменных, входящих в полученное уравнение. Так, для угловой скорости примем ее номинальное значение
H
ω , для управляющего напряжения – его максимальное значение
. Умножим и разделим каждый член уравнения, в который входит та или иная переменная, на соответствующую ей выбранную постоянную величину. max
U
После этого уравнение в рассматриваемом примере будет иметь следующий вид: max
0 0
0
max
1
( )
c
H
H
c
H
H
H
H
H
H
M
M
U
M
J
d
U
M t
M
dt
M
M
u
U
M
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
∂
∂
⎡
⎤
∂
∂
∂
∆
∆
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎛
⎞
+
−
=
−
∆
⎢
⎥
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎝
⎠
⎣
⎦
3. Введем обозначения относительных единиц и коэффициентов уравнения.
91

Учитывая, что
t
M
t
M
dt
d
dt
d
∂
∆
∂
=
∂
∂
∆
=
)
(
,
)
(
ω
ω
, можно ввести обозначения
0 0
c
H
H
c
H
max
H
H
M
M
U
x,
g ,
,
U
M
ω
ω
∆ω
∆
,
M
χ
χ
ω
ω
ω
∂
∂
⎛
⎞
⎛
⎞
∂
∂
=
=
=
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
=
0
c
max
H
y
H
H
H
M ( t )
U
M
J
f ( t ),
T ,
k .
M
M
M
U
∆
ω
∂
∂
⎛
⎞
=
=
⎜
⎟
∂
⎝
⎠
=
Подставляя эти обозначения в полученное уравнение, найдем
(
)
( )
( )
c
y
dx
T
x k g t
dt
χ
χ
∂
+
−
=
− f t .
Обозначив
c
c
k
=
−
∂
χ
χ
, окончательно получим
( )
( )
c
y
dx
T
k x k g t
f
dt
+
=
− t .
Таким образом, все величины, входящие в уравнение, за исключением времени t и постоянной Т, приведены к безразмерному виду.
В последнем уравнении представляет собой выходную координату – отклонение угловой скорости электродвигателя от номинального значения,
– управляющее воздействие,
– возмущающее воздействие, приложенное к электродвигателю.
Коэффициент Т имеет размерность времени (сек) и называется постоянной времени электродвигателя. Отношение
x
)
(t
g
)
(t
f
y
c
k
k
характеризует зависимость между изменением выходной координаты х и управляющего воздействия в установившемся режиме и называется коэффициентом усиления.
)
(t
g
На практике пользуются двумя формами уравнений в относительных единицах.
В первой форме, полученной нами выше, время не приводится к безразмерному виду, и тогда при каждой производной, входящей в дифференциальное уравнение, стоит коэффициент, имеющий размерность времени в степени, равной порядку производной: при первой производной коэффициент имеет размерность сек, при второй производной – сек
2
, при третьей – сек
3
и т. д.
Во второй форме время, как и все другие переменные, приводят к безразмерному виду. Для этого его относят к некоторой постоянной времени, чаще всего к времени Т, или так называемой постоянной времени звена.
92

систем характерно то, что и
i
a
j
b
представляют собой постоянные величины.
Уравнение (3.1.1) устанавливает связь между входным сигналом и выходной (управляемой) величиной
. Поэтому такое уравнение часто называют вход-выходным описанием динамической системы. Эта форма математического описания динамических систем может быть получена из поэлементного описания (поэлементной (компонентной) модели) системы путём исключения всех промежуточных переменных.
( )
u t
( )
y t
Пример. Пусть поэлементное описание динамической системы представлено системой уравнений:
0 2
2 2
t
dz
dy
z
y u;
dt
dt
dz
dy
du
z
y
ydt
dt
dt
dt
+
−
− =
−
− +
+
+
=
∫
,
(3.1.2) где u(t) – входной сигнал, y(t) – выходной сигнал, z(t) – промежуточная переменная, осуществляющая связь между элементами системы.
Требуется получить вход-выходное описание вида (3.1.1).
Решение. Продифференцируем второе уравнение (3.1.2), чтобы избавиться от интеграла. Для упрощения выкладок и для лучшей иллюстрации сути процедуры введём оператор
d
p
dt
=
. Тогда уравнения (3.1.2) с учётом дифференцирования можно записать:
2 2
2 1
2 2
1
( p
)z ( p
)y u
( p
p )z ( p
p
)y
p u
+
−
+
=
−
+
+
+
+
=
2
Далее необходимо осуществить преобразование с тем, чтобы исключить из уравнений промежуточную переменную z и получить соотношение, связывающее выходную переменную y(t) с входной переменной u(t).
Умножим каждый из членов первого уравнения на оператор (р
2
+р), а каждый из членов второго уравнения на (р+2) и сложим эти уравнения. Тогда
u
p
p
u
p
p
y
p
p
p
y
p
p
p
)
2
(
)
(
)
)(
1
(
)
1 2
2
)(
2
(
2 2
2 2
+
+
+
=
+
+
−
+
+
+
или или с учётом того, что
u
p
p
p
y
p
p
p
)
3
(
)
2 4
4
(
2 3
2 3
+
+
=
+
+
+
d
p
dt
=
dt
du
dt
u
d
dt
u
d
y
dt
dy
dt
y
d
dt
y
d
+
+
=
+
+
+
2 2
3 3
2 2
3 3
3 2
4 4
, что является искомым результатом.
Процедура, использованная в данном примере, справедлива для любых двух дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Если L
означает операторную функцию от
p
, то уравнение можно символически записать так:
11 12 2
1 21 1
22 2
2
L ( p )y ( t ) L ( p )y ( t ) F ( t )
L ( p )y ( t ) L ( p )y ( t ) F ( t )
+
=
+
=
Умножим первое уравнение на
21
L , а второе – на
11
L
и вычтем одно из другого. Так как
21 11 1 11 21 1
L L y
L L y
=
, то получим:
(
)
11 22 21 12 2
21 1 11 2
L L
L L y
L F L F
−
=−
+
,
94