Файл: Казанский государственный университет.pdf

аналогично
(
)
11 22 21 12 1
22 1 12 2
L L
L L
y
L F
L F
−
= −
+
В общем случае, при наличии системы из дифференциальных уравнений процедура получения вход-выходного описания аналогична приведённой выше.
n
Пусть
11 1 12 2 1
1 21 1 22 2 2
2 1 1 2 2
n n
n n
n
n
nn n
n
L y
L y
... L y
F ( t )
L y
L y
... L y
F ( t
...................................................
)
L y
L y
... L y
F ( t
+
+ +
=
+
+ +
=
+
+ +
=
)
Так как операторные функции зависят только от
ij
L
p
, то можно показать, что решение можно получить, используя правило Крамера:
( ) ( )
( ) ( )
1
n
i
ki
k
k
p y t
p F t
∆
∆
=
=
∑
, где
– операторная функция, определяемая определителем:
)
( p
∆
( )
1 11 12 21 22 2
1 2
n
n
n
n
nn
L
L
L
....
p
L
L
.... L
L
L
.... L
∆
=
,
ki
∆
– операторная функция, которая является -алгебраическим дополнением
, т.е. является определителем с вычеркнутыми -й строкой и -м столбцом, умноженным на
ki
)
( p
∆
k
i
i
k
+
− )
1
(
Получение вход-выходного описания для систем с переменными коэффициентами (нестационарные системы) гораздо сложнее.
3.2. Временные характеристики динамических систем
Известно, что решение дифференциальных уравнений вида (3.1.1) при заданных начальных условиях единственно. Это свойство можно использовать и описывать динамические системы не дифференциальным уравнением, а его решением при определенных (заданных, типовых) входных воздействиях.
При исследовании динамических систем чаще всего в качестве типовых воздействий используются единичная ступенчатая функция и дельта функция
1( )
t
( t )
δ
95

Аналитическое выражение единичной ступенчатой функции
1(
имеет вид:
)
t
0 0
1( )
1 0
при t
t
при t
<
⎧
=⎨
≥
⎩
Другим типовым сигналом, часто используемым при исследованиях динамических систем, является дельта-функция
( )
t
δ
:
0 0
( )
0
при t
t
при t
δ
=
⎧
=⎨
∞
≠
⎩
и
( )
1
t dt
δ
∞
−∞
=
∫
Переходная характеристика
(переходная функция) системы определяется как реакция динамической системы на единичное ступенчатое входное воздействие
1(
при нулевых начальных условиях.
( )
h t
)
t
Аналитически – это есть решение дифференциального уравнения (3.1.1) при нулевых начальных условиях и при условии
( ) 1( )
u t
t
=
Импульсная переходная функция
(
характеристика
) системы – это есть реакция динамической системы при подаче вход дельта-импульса
( )
w t
( )
t
δ
Аналитически – это есть решение дифференциального уравнения (3.1.1) при нулевых начальных условиях и при условии, что
( )
( )
u t
t
δ
=
Начальный момент воздействия на систему можно принять за начало отсчета, т.е.
. Тогда, для физически реализуемых систем при
, т.к. выходной сигнал не может появиться раньше входного. Кроме того, можно доказать, что импульсная переходная функция устойчивых систем является затухающей функцией.
0
t
=
( ) 0
w t
=
0
t
<
Переходная и весовая функции динамической системы являются ее
временными
характеристиками.
Рассмотрим детальнее роль импульсной переходной функции
( )
w t
Управляющее воздействие
, поступающее на вход динамической системы, можно аппроксимировать (прибли- женно представить) ступенчатой ломанной линией с бесконечно большим числом ступеней и бесконечно малым шагом каждой ступени (рис. 3.2.1)
( )
u t
96
Таким образом, воздействие на
(
u t)

систему сводится к непрерывной совокуп-ности импульсов величиной
( )
u
d
τ τ
. Но реакция системы на единичный импульс в виде дельта-функции, приложенной к системе в момент времени
t
τ
=
, известна – эта импульсная переходная функция
(
w t
)
τ
−
. Очевидно, что реакция системы на импульс величиной
( )
u
d
τ τ
, приложенной к системе в тот же момент времени
t
τ
=
, будет равна
(
) ( )
w t
u
d
τ τ τ
−
. Тогда реакция системы на всю совокупность импульсов, т.е. на управляющее воздействие
, будет определяться формулой
( )
u t
0
( )
(
) ( )
t
y t
w t
u
d
τ τ τ
=
−
∫
, называемой
интегралом Дюамеля
, т.е. будет состоять из суммы реакций на каждый импульс в отдельности.
Пусть является моментом наблюдения за реакцией системы
, разность (
t
t
( )
y t
τ
−
) – интервалом времени между моментом приложения к системе импульса
( )
u
d
τ τ
и текущим (рассматриваемым) моментом времени
t
τ
>
. Таким образом, функция
(
w t
)
τ
−
будет определять степень участия импульсов, приложенных до текущего момента времени, в образовании значения реакции системы в текущий момент времени. Очевидно, что влияние импульсов, предшествующих моменту времени , на значение величины будет зависеть от характера импульсной переходной функции
( )
y t
t
( )
y t
(
w t
)
τ
−
. Для примера, из рис.3.2.2 видно, что импульс
( )
u
d
τ τ
проявляет в момент времени более существенно, если импульсная переходная функция имеет вид
t
2
(
)
w t
τ
− .
Если же эта функция имеет вид
1
w t
(
)
τ
− , то влияние импульса будет проявляться значительно слабее.
Следовательно, импульсная переходная функция как бы
«взвешивает» роль каждого импульса, приложенного к системе в момент времени
t
τ
=
, в образовании реакции системы в рассматриваемый момент времени
t
τ
>
. Поэтому часто импульсную переходную функцию называют также
весовой функцией
Учитывая, что взаимосвязь между функциями
( )
t
δ
и в классе обобщенных функций представима соотношением
1( )
t
( )
1( )
d
t
dt
δ
=
t
, можно
97

записать соотношения, связывающие функции и
( )
w t
( )
h t
( )
( )
d
w t
h t
dt
=
или
0
( )
( )
t
h t
w
d
τ τ
=
∫
Тогда при известных временных характеристиках (моделях) можно вычислить реакцию системы на любой произвольный входной сигнал
, используя интеграл Дюамеля
u( t )
0 0
t
t
y( t )
u( )w( t
)d
u( t
)w( )d
τ
τ τ
τ
τ
=
−
=
−
∫
∫
τ
Пример вычисления переходной функции динамического звена, описываемого дифференциальным уравнением
3 ( )
3 ( )
( )
( )
y t
y t
y t
u t
+
+
=
Требование найти переходную функцию означает, что
)
(
1
)
(
t
t
u
=
и решение необходимо искать при нулевых начальных условиях.
Известно, что общее решение дифференциального уравнения имеет вид
( )
( )
( )
св
вын
y t
y t
y
t
=
+
, где
– свободное движение системы, определяемое при отсутствии внешнего воздействия, как решение уравнения
)
(t
y
св
0
)
(
)
(
3
)
(
3
=
+
+
t
y
t
y
t
y
,
– вынужденное движение системы, описываемое решением неоднородного дифференциального уравнения
)
(t
y
вын
1
)
(
)
(
3
)
(
3
=
+
+
t
y
t
y
t
y
при заданных начальных условиях.
При нахождении переходной или весовой функций начальные условия должны быть положены равными нулю.
Решение однородного уравнения требует нахождения корней характеристического уравнения
0 1
3 3
2
=
+
+
λ
λ
. Корни описываются соотношениями
1 2
3 1 3 1
,
6 2
6 2
j
j
λ
λ
= −
+
= −
−
Тогда
3 6
1 2
( )
2 2
t
св
t
t
y t
e
C Cos
C Sin
−
⎛
⎞
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
Для определения требуется решение неоднородного дифференциального уравнения. Поскольку правая часть уравнения представляет собой константу, то решение будем искать в виде
)
(t
y
вын
( )
вын
y
t
A
= .
В результате подстановки в неоднородное уравнение имеем
1
(
вын
)
A
y
t
= =
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид
3 6
1 2
( )
( )
( ) 1 2
2
t
св
вын
t
t
y t
y t
y
t
e
C Cos
C Sin
−
⎛
⎞
=
+
= +
+
⎜
⎟
⎝
⎠
Из начальных условий
0 2
6 3
)
0
(
,
0 1
)
0
(
2 1
1
=
+
−
=
=
+
=
C
C
y
C
y
можно получить
3 3
,
1 2
1
−
=
−
=
C
C
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения описывается
98

3 6
3
( ) 1 2
3 2
t
t
t
y t
e
Cos
Sin
−
⎛
⎞
= +
−
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
Это означает, что аналитическое выражение для переходной функции динамического звена имеет вид
)
(t
h
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
+
=
+
=
−
2 3
3 2
1
)
(
)
(
)
(
6 3
t
Sin
t
Cos
e
t
y
t
y
t
h
t
вын
св
Аналитическое выражение для весовой функции определяется аналогичным образом, полагая, что
)
(t
w
)
(
)
(
t
t
u
δ
=
Графики переходной и весовой функций приведены на рис. 3.2.1.
Рис. 3.2.1. Графики переходной и весовой функций
3.3. Частотные характеристики динамических систем
Исследование динамических систем, как было уже установлено, сопряжено с рассмотрением сигналов на входе и выходе системы. Одним из таких методов является рассмотрение спектральных характеристик входного и выходного сигналов.
Известно, что любой сигнал (сигнал любой формы) может быть представлен в виде суммы гармонических (синусоидальных) сигналов.
Разложение сигналов на сумму гармонических составляющих может быть осуществлено с помощью разложения в ряд Фурье (периодические сигналы) и преобразования Фурье (сигналы произвольной формы).
Ряды Фурье
. В теории доказано, что периодическая функция
( )
f t
, имеющая период , может быть разложена на сумму косинусов и синусов углов, кратных углу
T
2
T
π
ω
∆ =
. Если период функции
2
T
π
=
, то
2 2
1 2
T
π
π
ω
π
∆ =
=
=
, тогда ряд Фурье имеет вид
(
0 1
( )
cos sin
2
k
k
k
a
)
f t
a
kt b
∞
=
=
+
+
∑
kt , (3.3.1)
99

где
0 1
( )
a
f t dt
π
π
π
−
=
∫
,
1
( )cos
k
a
f t
kt
π
π
π
−
=
∫
dt
,
1
( )sin
k
b
f t
kt
π
π
π
−
=
∫
1, 2, 3,...
k
=
dt
,
Пример. Разложить на сумму гармонических составляющих совокупность прямоугольных импульсов, определяемую функциональной зависимостью при
0
,
( )
при
2 .
a
t
f t
a
t
π
π
π
≤ ≤
⎧
= ⎨
−
≤
⎩
≤
Полагая, что ряд (3.1.1) сходится, требуется найти коэффициенты разложения
,
, .
0
a
k
a
k
b
Так как функция ( )
f t нечетная, то
0 0
a
= ,
0
k
a
= ,
1, 2, 3,...
k
=
Коэффициенты принимают вид
k
b
[
]
[
]
( )
0 0
1 2
2 2
( )sin sin cos cos
1 0
при четное
2 1
1 4
при нечетное
k
k
a
a
b
f t
kt dt
a
kt dt
kt
kt
k
k
k
a
a
k
k
k
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
−
=
=
=
−
=
−
+
−
⎧
⎪
⎡
⎤
=
− −
= ⎨
⎣
⎦
−
⎪⎩
∫
∫
=
Следовательно, ряд Фурье для рассматриваемой функции ( )
f t имеет вид суммы бесконечного числа гармоник (рис.3.3.1)
4 1
1 1
( )
sin sin 3
sin 5
sin 7 3
5 7
a
f t
t
t
t
t
π
⎡
⎤
=
+
+
+
+
⎢
⎥
⎣
⎦
-4
-2 0
2 4
6 8
-1.5
-1
-0.5 0
0.5 1
1.5
Рис. 3.3.1. Гармонические составляющие сигнала
Примечание. Разложение заданной функции ( )
f t в ряд Фурье означает, что функция продолжена периодически вне приведенного выше интервала на всю ось
. Функция, получившаяся в результате продолжения заданной функции
0t
( )
f t , будет периодической функцией с периодом
2
π ; на интервале ( 0,2
π
) эта новая функция совпадает с заданной функцией
( )
f t . Гармоники полученной периодической функции, суммируясь на интервале ( 0, 2
π
), составляют значения заданной функцией ( )
f t .
Таким образом, в виде суммы гармонических составляющих может быть представлена не только периодическая функция, допускающая разложение в
100

ряд Фурье. Ряд Фурье для непериодической функции
( )
f t
, заданной, например, в интервале
(
,
)
π π
−
, совпадает с рядом Фурье для функции, периодически продолженной на всю ось
0t
При разложении периодических функций на сумму гармоник, необходимом при решении целого ряда задач исследования динамических систем, часто ограничиваются учетом только нескольких первых гармоник, а остальные отбрасываются, т.е. функция
( )
f t
приближенно представляется в виде конечного тригонометрического многочлена
(
0 1
( )
cos sin
2
n
k
k
k
a
)
f t
a
kt b
=
=
+
+
∑
kt . (3.3.2)
В этом случае представление функции с помощью гармонических составляющих производится с точностью, зависящей от числа отброшенных членов тригонометрического ряда.
Совокупности коэффициентов
, разложения функции
k
a
k
b
( )
f t
в ряд
Фурье называются частотными спектрами этой функции. Очевидно, что и
; следовательно, спектры являются функциями, зависящими от номера гармоники . При этом частотные спектры имеют дискретный характер. Расстояние между отдельными линиями спектра в общем случае равно
( )
k
k
a
a k
=
( )
k
k
b
b k
=
k
ω
∆
. Если период функции
( )
f t
равен
2
π
, то расстояние между линиями равно единице.
Интеграл Фурье. Интеграл Фурье можно ввести как предельный пере- ход (
T
) при разложении в ряд Фурье непериодической функции
→ ∞
( )
f t
:
[
0 1
( )
( )cos
( )sin
]
f t
G
t S
t d
ω
ω
ω
ω
π
∞
=
+
∫
ω
d
, (3.3.3) где
( )
( )cos
G
f
ω
τ
ωτ
∞
−∞
=
∫
τ
d
,
( )
( )sin
S
f
ω
τ
ωτ
∞
−∞
=
∫
τ
,
0
ω
≥
Сравнивая разложения (3.3.1) и (3.3.3), нетрудно увидеть определенную аналогию между рядом и интегралом Фурье. В обоих случаях функция
( )
f t
раскладывается на сумму гармонических составляющих. Однако в ряде
Фурье смежные частоты отличаются друг от друга на величину
ω
∆
. В интеграле Фурье частоты смежных гармоник непрерывно переходят одна в другую, т.е. отличаются на величину бесконечно малую.
Интеграл Фурье для функции
( )
f t
может быть представлен в
101

комплексной форме:
1
( )
( )
2
j t
j t
f t
e d
f t e
ω
ω
ω
π
∞
∞
−
−∞
−∞
=
∫
∫
dt
dt
Обозначим
, тогда
( )
( )
j t
F
f t e
ω
ω
∞
−
−∞
=
∫
1
( )
(
)
2
j t
f t
F j
e
ω
d
ω
ω
π
∞
−∞
=
∫
Функция
(
)
F j
ω
называется преобразованием Фурье функции
( )
f t
. Эта функция характеризует спектральный состав
( )
f t
и называется также
спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции
(сигнала)
( )
f t