Файл: Казанский государственный университет.pdf

( ) 0
f t
≡
при и формула (3.3.4) принимает вид
0
t
<
0
( )
( )
j t
F
f t e
ω
ω
∞
−
=
∫
dt
. (3.3.6)
Преобразование, определяемое формулой (3.3.6), называется
односторонним преобразованием Фурье.
Обратное преобразование
Фурье, соответствующее прямому одностороннему преобразованию (3.3.6), остается двусторонним по переменной
ω
и дается, как и раньше, формулой (3.3.5).
Пример.
Требуется найти спектральную характеристику функции при
0
( )
0
при
0
t
e
f t
t
α
−
⎧
≥
= ⎨
t
<
⎩
, причем
0
α
>
Используя формулу (3.3.6), получим
(
)
0 0
1 1
( )
t
j t
j
t
F
e
e
dt
e
j
j
α
ω
α ω
ω
α
ω
α
∞
∞
−
−
− +
=
= −
=
+
+
∫
ω
,
т.е.
{ }
1
,
0
t
F e
t
j
α
α
ω
−
=
≥
+
Свойства прямого и обратного преобразований Фурье могут быть доказаны с помощью непосредственного применения преобразований (3.3.4)-
(3.3.6).
Здесь доказательства не приводятся, при необходимости их можно изучить по специальной математической литературе.
Приведем лишь краткую сводку свойств преобразования Фурье, наиболее часто используемых при описании и анализе динамических систем.
Свойства преобразования Фурье.
Здесь и далее будем полагать, что
{
}
1 1
F f ( t )
F ( j )
ω
=
,
{
}
2 2
F f ( t )
F ( j )
ω
=
и т.д., а также выполнены все другие условия математического характера.
1. Линейность преобразования
1 1
( )
(
)
n
n
i i
i i
i
i
F
c f t
c F j
ω
=
=
⎧
⎫ =
⎨
⎬
⎩
⎭
∑
∑
,
, где = const.
1 1
1
(
)
( )
n
n
i i
i i
i
i
F
c F j
c f
ω
−
=
=
⎧
⎫ =
⎨
⎬
⎩
⎭
∑
∑
t
i
c
2. Дифференцирование и интегрирование оригинала
d
F
f ( t )
j F( j )
dt
ω
ω
⎧
⎫ =
⎨
⎬
⎩
⎭
,
( )
n
n
n
d
F
f ( t )
j
F( j
dt
)
ω
ω
⎧
⎫
=
⎨
⎬
⎩
⎭
При одностороннем преобразовании Фурье
0
d
F
f ( t )
j F( j ) f (
)
dt
ω
ω
⎧
⎫ =
−
+
⎨
⎬
⎩
⎭
, где
)
(
lim
)
(
t
f
0
f
0
t
+
→
=
+
103

( )
( )
1 0
n
n
n
i
n i
n
i
d
F
f ( t )
j
F( j )
j
f
(
dt
ω
ω
ω
−
=
⎧
⎫
=
−
⎨
⎬
⎩
⎭
∑
)
+
, где
– некоторая постоянная величина.
)
( 0
f
-1
+
0 1
( )
(
)
t
F
f t
F j
j
ω
ω
⎧
⎫
=
⎨
⎬
⎩
⎭
∫
и т.д.
3. Смещение в области оригиналов и в области изображений
{
}
ja
F f ( t a )
e
F( j )
ω
ω
−
−
=
,
,
0
a
>
{
}
at
F e f ( t )
F( j
a )
ω
=
−
4. Изменение масштаба
t
F f
aF( ja )
a
ω
⎧
⎫
⎛ ⎞ =
⎨
⎬
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎩
⎭
, где а – вещественное положительное число.
5. Умножение в комплексной и действительной областях
{
}
1 2
1 2
1 2
F f (t ) f (t )
F( j
j )F ( j )d
ω
ρ
ρ
π
∞
−∞
⋅
=
−
∫
ρ
,
1 2
1 2
F
f (t
)f ( )d
F( j ) F ( j )
τ
τ τ
ω
ω
∞
−∞
⎧
⎫
−
=
⎨
⎬
⎩
⎭
∫
6. Дифференцирование и интегрирование изображения
{
}
( )
d
F tf ( t )
F( j )
d j
ω
ω
= −
,
0 1
F
f ( t )
F( j )d
t
ω ω
∞
⎧
⎫ =
⎨
⎬
⎩
⎭
∫
7. Теорема Парсеваля
1 2
1 2
1
( )
( )
(
) (
)
2
f t f t dt
F j
F
j
d
ω
ω ω
π
∞
∞
−∞
−∞
=
−
∫
∫
3.3.2. Частотные характеристики
Рассмотрим линейную динамическую систему. Пусть на вход системы воздействует некоторый сигнал
. В результате приложения воздействия в системе возникает переходной процесс, который с течением времени стремится к нулю, так как система предполагается устойчивой. По истечении некоторого отрезка времени в системе устанавливается процесс, называемый установившимся процессом и характеризуемый выходным сигналом
Такой подход позволяет использовать спектральные характеристики для характеризации динамической системы.
( )
u t
( )
y t
Частотные характеристики устанавливают связь между спектральными характеристиками входного сигнала
(
U j )
ω
и выходного сигнала
(
)
Y j
ω
Комплексные функции
(
U j )
ω
и
(
Y j )
ω
представляют собой преобразование
104

Фурье от входного и выходного сигналов:
( )
( )
0 0
j t
j t
U j
u( t )e
dt;
Y j
y( t )e
dt
ω
ω
ω
ω
∞
∞
−
−
=
=
∫
∫
, где
ω
– частота гармонического сигнала,
2 1
j
= −
Комплексной
частотной
характеристикой
(амплитудно-фазовой частотной характеристикой – АФЧХ) принято называть функцию, представ- ляющую собой отношение спектральных характеристик выходного сигнала к спектральной характеристике входного сигнала
( )
Y( j )
W j
U( j )
ω
ω
ω
=
, (3.3.7) которая учитывает изменение спектральной характеристики сигнала при его прохождении через линейную динамическую систему.
АФЧХ является комплексной функцией и может быть представлена в различных формах, например, алгебраической, показательной и т.д.
j argW ( j )
Y( j )
W( j )
P( ) jQ( ) W( j ) e
U( j )
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
+
=
. (3.3.8)
В инженерной практике наиболее часто используются модуль
(
)
W j
ω
и аргумент arg (
)
W j
ω
комплексной частотной характеристики
(
)
W j
ω
( )
(
)
A
W j
ω
ω
=
– называется амплитудно-частотной характеристикой
(АЧХ) и отражает изменение амплитуды гармонических сигналов при прохождении через систему в зависимости от частоты
ω
( ) arg (
)
W j
ϕ ω
=
ω
– называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) и отражает изменение фаз гармонических сигналов при прохождении через систему в зависимости от частоты
ω
Таким образом, АФЧХ может быть выражена в показательной форме через АЧХ
( )
A
ω
и ФЧХ
( )
ϕ ω
:
( )
( )
( )
j
W j
A
e
ϕ ω
ω
ω
=
. (3.3.9)
В алгебраической форме АФЧХ
(
W j )
ω
может быть представлена соотношением
( )
( )
( )
W j
P
jQ
ω
ω
ω
=
+
, (3.3.10) где
( ) Re
(
)
P
W j
ω
ω
=
– вещественная часть комплексной функции, называемая
вещественной
частотной
характеристикой
(ВЧХ);
105

( ) Im
(
)
Q
W j
ω
ω
=
– мнимая часть функции
(
W j )
ω
, называемая мнимой
частотной характеристикой (МЧХ).
Нетрудно установить, что между различными частотными характеристиками существуют связи:
( )
( )
( )
( )
2 2
Q( )
A
P ( ) Q ( );
arctg
;
P( )
P
A( )cos ( );
Q
A( )sin ( ).
ω
ω
ω
ω
ϕ ω
ω
ω
ω
ϕ ω
ω
ω
ϕ ω
=
+
=
=
=
(3.3.11)
Широко в инженерной практике используются логарифмические частотные характеристики: они, по существу, являются производными от
АЧХ; (например,
( ) 20lg ( )
L
A
ω
ω
=
) и ФЧХ, а их графики строятся в другой
(логарифмической) системе координат. Для иллюстрации на рис.3.3.1 представлено семейство графиков логарифмических АЧХ и ФЧХ для некоторой нелинейной системы при различных амплитудах сигналов.
Рис.3.3.1 Логарифмические характеристики нелинейной системы
3.3.3. Взаимосвязи частотных и временных характеристик
Рассмотрим линейную динамическую систему, описываемую дифференциальным уравнением
-го порядка с постоянными коэффициентами:
n
1 1
1 0
1
( n )
( n )
( m )
n
n
m
a y (t ) a y
(t ) ... a y (t ) a y(t ) b u (t ) ... bu (t ) b u(t
0
)
−
−
′
′
+
+ +
+
=
+ +
+
, где
– выходная (управляемая) величина,
– входное (управляющее) воздействие,
( )
y t
( )
u t
(
1, )
i
a i
n
∈
,
(
1,
j
b
j
m
∈
) – коэффициенты дифференциального уравнения.
106

Для определения характера изменения входного сигнала при прохождении системы в установившемся режиме подвергнем обе части уравнения преобразованию Фурье. Используя свойства преобразования
Фурье, получим
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1
1 0
1 0
n
n
m
n
n
m
a j
a
j
... a j
a Y j
b j
... b j
b U j
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−
−
⎡
⎤
⎡
+
+ +
+
=
+ +
+
⎣
⎦
⎣
ω
⎤
⎦
, где
( )
{ }
( )
Y j
F y t
ω
=
– изображение по Фурье выходного сигнала
,
( )
y t
( )
{ }
( )
U j
F u t
ω
=
– изображение по Фурье входного сигнала
( )
u t
В обеих частях полученного уравнения стоят комплексные функции.
Для их сравнения составим отношение
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
1 0
1 0
m
m
n
n
Y j
b
j
... b j
b
W j
U j
a j
... a j
a
ω
ω
ω
)
ω
ω
ω
ω
+ +
+
=
=
+ +
+
, (3.3.12) которое соответствует комплексной частотной характеристике, введенной ранее.
Рассмотрим качественную сторону рассматриваемых процессов.
Пусть на вход системы воздействует гармонический сигнал
1
( )
sin
u t
A
t
1
ω
=
и требуется определить выходной сигнал в установившемся режиме.
Можно показать, что спектральная характеристика входного сигнала имеет вид
( )
{ }
(
) (
1 1
1
( )
A
U j
F u t
j
)
π
ω
δ ω ω
δ ω ω
=
=
−
−
+
⎡
⎤
⎣
⎦
, где
( )
δ
– дельта- функция (функция Дирака).
Тогда спектральную характеристику выходного сигнала из выражения
(3.3.12) можно выразить следующим образом
( )
( ) ( )
( )
(
) (
1 1
1
A
Y j
W j
U j
W j
j
)
π
ω
ω
ω
ω
δ ω ω
δ ω ω
=
=
−
−
+
⎡
⎤
⎣
⎦
Из этого выражения видно, что спектральная характеристика выходного сигнала в общем случае не совпадает со спектральной характеристикой входного сигнала. Функциональный множитель
(
W j )
ω
учитывает изменение спектральной характеристики при прохождении сигнала через линейную динамическую систему.
Рассмотрим эти выводы подробнее. Пусть, как ранее, на вход воздействует сигнал
1
( )
sin
u t
A
t
1
ω
=
Представим АФЧХ в показательной форме arg (
)
(
)
(
)
j
W j
W j
W j
e
ω
ω
ω
=
(3.3.13)
и найдем выходной сигнал по формуле обратного преобразования Фурье
( )
y t
107

{ }
(
) (
)
1 1
1 1
1
( )
( )
(
)
2 2
j t
j t
A
y t
F y t e d
W j
e d
j
ω
ω
π
ω
ω
δ ω ω
δ ω ω
π
π
∞
∞
−∞
−∞
=
=
−
−
+
⎡
⎤
⎣
⎦
∫
∫
ω
Используя фильтрующее свойство дельта-функции и учитывая соотношение (3.3.13), можно получить следующее выражение для установившегося процесса на выходе системы
1 1
1 1
arg (
)
arg (
)
1 1
1
( )
(
)
(
)
2
j
W j
j t
j
W
j
j t
A
y t
W j
e
e
W
j
e
e
j
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−
−
⎡
⎤
=
−
−
⎣
⎦ .
Так как
1 1
(
)
(
W
j
W j )
ω
ω
−
=
,
1
arg (
)
arg (
)
W
j
W j
1
ω
ω
−
= −
, то получим
(
)
(
)
{
}
(
)
1 1
1 1
arg (
)
arg (
)
1 1
1 1
( )
(
)
(
) sin arg (
)
2
j
t
W j
j
t
W j
A
y t
W j
e
e
A W j
t
W j
j
ω
ω
ω
ω
1 1
ω
ω
ω
ω
+
−
+
⎡
⎤
=
−
=
+
⎣
⎦
. (3.3.14)
Отсюда следует, что в установившемся режиме реакция линейной динамической системы на синусоидальное воздействие является также синусоидой.
Угловые частоты входного и выходного сигналов совпадают. Амплитуда синусоиды на выходе системы отличается от амплитуды входного сигнала в
( )
y t
1
(
)
W j
ω
раза, а фазы отличаются на значение
1
arg (
)
W j
ω
Обобщая полученные результаты и используя принцип суперпозиции, справедливый для линейных систем, можно утверждать, что при воздействии на вход системы периодического сигнала вида
1
( )
sin
k
k
u t
A
t
k
ω
∞
=
=
∑
вынужденное установившееся движение системы описывается выражением
[
]
1
( )
(
) sin arg (
)
k
k
k
k
y t
A W j
t
W j
k
ω
ω
ω
∞
=
=
+
∑
Таким образом, зная частотные спектры сигнала на входе системы, можно определить частотные спектры сигнала на выходе системы.
В рассматриваемых соотношениях функция
(
W j )
ω
характеризует динамические свойства исследуемой системы и не зависит от характера приложенных к системе воздействий. Эта функция может быть достаточно легко получена из различных описаний динамической системы – дифференциальных уравнений, передаточных функций и др.
Пример.
Определить частотные характеристики динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением
2 2
2
( ) 2
( )
( )
( )
d
d
T
y t
T
y t
y t
ku t
dt
dt
ξ
+
+
=
, где
– постоянная времени системы,
T
ξ
– коэффициент затухания, – коэффициент усиления системы.
k
По формуле (3.3.12) можно легко получить выражение для амплитудно-фазовой частотной характеристики рассматриваемой системы
2 2
(
)
(
)
2
(
) 1
k
W j
T j
T j
ω
ω
ξ
ω
=
+
+
Проведем алгебраические преобразования
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2
1 2
(
)
1 2
1 2
1 2
1 4
T
j T
k
T
j k T
k
k
W j
T
j T
T
j T
T
j T
T
T
ω
ξ ω
ω
ξ ω
ω
ω
ξ ω
ω
ξ ω
ω
ξ ω
ω
ξ
ω
−
−
−
−
=
=
=
−
+
−
+
−
−
−
+
108

Тогда
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
2 2
1
( ) Re (
)
1 4
k
T
P
W j
T
T
ω
ω
ω
ω
ξ
ω
−
=
=
−
+
– вещественная частотная характеристика,
(
)
2 2
2 2
2 2
2
( ) Im (
)
1 4
k T
Q
W j
T
T
ξ ω
ω
ω
ω
ξ
ω
−
=
=
−
+
– мнимая частотная характеристика.
Пусть сек,
0.1
T
=
0.04
ξ
=
,
1
k
=
. На рис. 3.3.2 представлены годограф амплитудно- фазовой частотной характеристики (слева) и графики вещественной частотной характеристики (ВЧХ) и мнимой частотной характеристики (МЧХ).
-8
-6
-4
-2 0
2 4
6 8
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2 0
P(omega)
Q(o m
ega
)
0 2
4 6
8 10 12 14 16 18 20
-10
-5 0
5 10
угловая частота
ВЧ
Х
0 2
4 6
8 10 12 14 16 18 20
-15
-10
-5 0
угловая частота
МЧ
Х
Используя соотношения (3.3.11), легко получить выражения для АЧХ и ФЧХ
Рис. 3.3.2. Графики АФЧХ, ВЧХ, МЧХ
(
)
2 2
2 2
2 2
2 2
( )
(
)
(
)
2
(
) 1 1
4
k
k
A
W j
T j
T j
T
T
ω
ω
ω
ξ
ω
ω
ξ
ω
=
=
=
+
+
−
+
– амплитудная частотная характеристика,
2 2
( )
2
( ) arg (
)
( )
1
Q
W j
arctg
arctg
P
T
T
ω
ξ ω
ϕ ω
ω
ω
ω
=
=
= −
−
– фазовая частотная характеристика.
На рис. 3.3.3 представлены амплитудная частотная характеристика (АЧХ) и фазовая частотная характеристика (ФЧХ) и графики логарифмических АЧХ и ФЧХ рассматриваемой линейной системы.
Рис.3.3.4 0
2 4
6 8
10 12 14 16 18 20 0
5 10 15
угловая частота
АЧХ
0 2
4 6
8 10 12 14 16 18 20
-4
-3
-2
-1 0
угловая частота
ФЧ
Х
(
ра д
иан
)
10
-3 10
-2 10
-1 10 0
10 1
10 2
-10 0
10 20 30
угловая частота
ЛА
Ч
Х
(
дб
)
10
-3 10
-2 10
-1 10 0
10 1
10 2
-4
-3
-2
-1 0
ЛФ
Ч
Х
(
ра д
иан
)
Рис.3.3.3. Графики АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ
109

Имея частотные характеристики, можно легко определить параметры выходного сигнала. Так, при синусоидальном сигнале с амплитудой равной 1 и частотой 9.5 гц на входе, в установившемся режиме на выходе будет наблюдаться синусоида с той же частотой, но с амплитудой равной 8 и со сдвигом по фазе на 0.66 радиан (рис.3.3.4) этот же результат можно получить непосредственно применяя формулу (3.3.14).
0 0.5 1
1.5
-8
-6
-4
-2 0
2 4
6 8
время (сек)
Ам пл ит уд ы
вх од но го и
вы хо д
но го с
иг нал ов y(t)
u(t)
частота =9.5 гц
Рис. 3.3.4. Графики входного и выходного сигналов
Укажем еще одну связь комплексной частотной характеристики:
0
j t
W( j )
w( t )e
dt
ω
ω
∞
−
=
∫
, где
– весовая функция системы.
( )
w t
Частотные характеристики наиболее эффективны при проведении комплексных исследований систем, сочетающих теоретические и экспериментальные методы анализа и синтеза динамических систем.
Рассмотрим более подробно связи между частотными и временными характеристиками линейной динамической системы.
Пусть имеется линейная система с нулевыми начальными условиями и пусть известна ее АФЧХ. Пусть в момент времени
0
t
=
на вход системы подается воздействие в виде дельта-функции, т.е.
( )
( )
u t
t
δ
=
. Реакция системы на это воздействие, как уже упоминалось, называется импульсной
переходной функцией
. Импульсная переходная характеристика является одной из временных характеристик динамической системы.
( )
y t
( )
w t
Так как
{ }
( )
1
F
t
δ
=
, то
{ }
( )
1
F u t
=
и в соответствии с формулой (3.3.7)
( )
( ) ( )
Y j
W j U j
ω
ω
=
ω
или
{
}
( ) {
}
F y( t )
W j
F u( t )
ω
=
спектральная характеристика импульсной переходной характеристики есть
{
}
( )
1
F w( t )
W j
ω
=
или, учитывая, что для физически реализуемых (существующих) систем
110