ТЕМА 5. Доверительный интервал

При изучении тех или иных массовых явлений или свойств (что и является основной задачей статистики) нас интересует, как они проявляются в популяции в целом (в генеральной совокупности). Однако на практике исследователь имеет дело с выборкой и выборочными данными. Одни и те же числовые характеристики случайной величины (среднее, мода, дисперсия и т.д.) посчитанные по разным выборкам из одной генеральной совокупности могут отличаться от истинных (генеральных) показателей и отличаться между собой, поскольку имею различную ошибку. Т.е. нам редко удается вычислить генеральные параметры, но по выборочным данным мы можем указать интервал, в котором с некоторой долей вероятности лежит этот параметр. Этот интервал называется доверительным интервалом (ДИ), а вероятность называется доверительной вероятностью.

5.1 Доверительный интервал генеральной средней

Генеральная средняя с вероятностью (1- α) лежит в пределах

от до ,

где - выборочная средняя,

m_x – стандартная ошибка средней,

t_α – критическое значение двустороннего t-критерия Стъюдента для заданного α и п-1 степеней свободы.

Доверительный интервал зависит от выбранного уровня значимости. Если α=0,05, то получим (1-α)=0,95 или 95 процентный доверительный интервал. Можно, например, рассчитать 99 % ДИ.

Интерпретация.

• Широкий доверительный интервал показывает, что выборочная средняя неточно отражает генеральную среднюю. Маленькие выборки дают большую ошибку среднего и, соответственно, более широкий ДИ.

• Верхние и нижние пределы дают оценку, будут ли результаты клинически значимы.

• Можно проверить, ложится ли вероятное значение параметра в популяции в пределы ДИ. Если да, то результаты согласуются с этим вероятным значением.

Пример 1. В австралийских джунглях было обнаружено доселе неизвестное племя, ведущее примитивный образ жизни. Ученые заинтересовались, соответствует ли содержание гемоглобина у мужчин этого племени принятому понятию «норма» (130-160 г/л).

Выборочные исследования дали следующие результаты

Ниже приведены расчеты доверительного интервала для среднего и нормативы гемоглобина для взрослых мужчин.

Вывод:

Самостоятельная работа

Задание 1. Известно, что температура тела у здорового человека составляет 36,6 градусов. Однако, она может изменяться под действием некоторых факторов. По выборочным данным, используя доверительный интервал, проверить соответствует ли средняя температура тела после тяжелой физической нагрузки этому значению.

5.2 Доверительный интервал для разности генеральных средних двух независимых групп

При проверке гипотезы о равенстве двух генеральных средних по независимым выборкам, мы оцениваем разность между двумя выборочными средними. Эта разность также является случайной величиной и имеет ошибку. Чтобы найти доверительный интервал для генеральной разности сначала надо вычислить объединенное среднеквадратичное отклонение:

Тогда доверительный интервал составляет

от до

где t_α – критическое значение двустороннего t-критерия Стъюдента для заданного α и (п₁+ п₂ - 2) степеней свободы.

Интерпретация.

• Если доверительный интервал для разности средних включает в себя ноль, то принимается нулевая гипотеза о равенстве двух генеральных средних.

• Верхний и нижний предел доверительного интервала для разности может быть использован для клинической оценки разности двух средних.

Работа с преподавателем. Отличается ли от нормы среднее значение свободного гепарина в крови при стоматите (норма составляет 6-12 с)

Свободный гепарин крови.

Д
ля вычисления доверительного интервала разницы между средними значениями определим объединенное среднеквадратичное отклонение

t_α = (для α=0,05 и п₁+ п₂-2= степеней свободы)

Нижняя граница ДИ

Верхняя граница ДИ

Вывод:

5.3 Доверительный интервал для разности генеральных средних двух зависимых групп

При проверке гипотезы о равенстве генеральных средних двух зависимых групп («до» и «после») оценивается средняя разность между «до» и «после» и среднеквадратичное отклонение этих разностей s_d .

Доверительный интервал средней разности составляет

от до

где t_α – критическое значение двустороннего t-критерия Стъюдента для заданного α и (п-1) степеней свободы.

Интерпретация.

• Если доверительный интервал для средней разности включает в себя ноль, то принимается нулевая гипотеза о равенстве двух генеральных средних.

• Верхний и нижний предел доверительного интервала для разности может быть использован для клинической оценки разности двух средних.

Работа с преподавателем. Влияние пробежки на ЧСС

Н(0):

Н(1):

Табличное значение критерия Стъюдента t_α = (для α=0,05 и п-1= степеней свободы).

Нижний предел ДИ

Верхний предел ДИ

_Вывод:

Самостоятельная работа к ТЕМЕ 5:

В задачах к ТЕМЕ 4 рассчитав доверительный интервал ,определите, какая из гипотез (нулевая или альтернативная) верна на уровне значимости 0,05. Обоснуйте свой ответ.

ТЕМА 6. Оценка относительных величин в биостатистике

При анализе качественных признаков исследователя интересует относительная частота встречаемости того или иного признака – т.е. доля объектов с данным признаком среди всех обследуемых объектов. Относительная частота р определяется следующим образом:

(может быть в %), где k – число случаев интересующего признака, n – объем выборки.

Поскольку р определяется по выборке, она отражает генеральную долю с некоторой ошибкой

(Если р в %, то вместо 1 в формуле подставляется 100)

Сравнение относительной частоты встречаемости признака в различных независимых совокупностях – одна из наиболее часто решаемых задач медицинских исследований. Нулевой гипотезой при этом является предположение о равенстве двух генеральных долей. Для проверки можно использовать критерий Стъюдента:

Критическое значение двустроннего t-критерия находится по таблице для заданного уровня значимости и числа степеней свободы f = n₁ + n₂ – 2 .

Если |t_выч| ≥ t_крит , то принимается Н(1), если |t_выч| < t_крит – то Н(0).

Работа с преподавателем. Проведено исследование влияния факторов риска на частоту развития акушерских осложнений. 109 беременных женщин, проживающих на территории с радиоактивным загрязнением, составили основную группу, 101 беременная женщина – жительницы условно чистой территории. В основной группе осложнения наблюдались у 75 женщин, в контрольной – у 48. Определить влияют ли условия проживания на частоту осложнений беременности.

Сформулируем гипотезы:

Н(0): в генеральной совокупности доля беременных лиц с акушерскими осложнениями не зависит от экологических условий на территории проживания

Н(1): в генеральной совокупности доля беременных лиц с акушерскими осложнениями зависит от экологических условий на территории проживания

Относительная частота встречаемости осложнений среди беременных основной группы:

р₁=

с ошибкой

Относительная частота встречаемости осложнений среди беременных контрольной группы

р₂=

с ошибкой

t_крит = (для α=0,05 и числа степеней свободы f=n₁+n₂-2= ), следовательно

Вывод:

Сведем результаты в таблицу

Задачи для самостоятельного решения к ТЕМЕ 6

Сравните относительную частоту встречаемости признаков, используя критерий Стъюдента

Вариант 1

До применения нового препарата соотношение между больными и здоровыми составляло 2:3, после его применения стало 1:3. Будет ли эффект от применения препарата в популяции? Сформулируйте нулевую гипотезу. Сделайте вывод на уровне значимости 0,05

Вариант 2.

В случайной выборке одиноких лиц количество холостых мужчин составило 42%, а незамужних женщин - 58%. На основании этих данных сделайте вывод о теоретической возможности всех незамужних женщин в популяции выйти замуж (с уровнем значимости 0,05). Сформулируйте нулевую гипотезу.

Вариант 3

Сравнивалась эффективность двух методов лечения и получены следующие данные

Отличаются ли по эффективности эти два вида лечения? Сформулируйте нулевую гипотезу. Сделайте вывод на уровне значимости 0,05.

Вариант 4

На экзамене по биостатистике билет состоял из вопросов из двух разных разделов. Экзамен сдавало 20 студентов. Оказалось, что из первого раздела попались 32 вопроса, из второго раздела - 18. Соотносятся ли эти данные с предположением, что вопросы из обоих разделов попадаются с равной вероятностью. Сформулируйте нулевую гипотезу. Сделайте вывод на уровне значимости 0,05.

Вариант 5

1000 человек классифицировали по признаку дальтонизма. По приведенным ниже данным проверить, есть ли зависимость между наличием дальтонизма и полом человека, при α = 0,05. Сформулируйте нулевую гипотезу.

Вариант 6

Во время эпидемии гриппа изучалась эффективность прививок против этого заболевания. Получены следующие результаты:

Указывают ли эти результаты на эффективность прививок? Сформулируйте нулевую гипотезу. Принять α = 0,05.

Вариант 7

На предприятии химической промышленности заболеваемость составила 37%, в то время как в целом в данном регионе она регистрируется на уровне 23%. Влияют ли условия предприятия на заболеваемость? Сформулируйте нулевую гипотезу. Сделайте вывод на уровне значимости 0,05.

Вариант 8

Данные социологического исследования показали, что среди молодежи спортом занимаются 42 человека из 200 опрошенных, среди лиц старшего возраста – 55 из 325 опрошенных. Определите, есть ли зависимость увлеченности спортом от возраста. Сформулируйте нулевую гипотезу. Сделайте вывод на уровне значимости 0,05.

Вариант9.

Среди 84 подземных рабочих хронический бронхит регистрируется у четверти, у строителей он диагностирован у трети из 105 обследованных. Определить влияет ли профессия на риск возникновения хронического бронхита. У кого эта вероятность выше? Сформулируйте нулевую гипотезу. Сделайте вывод на уровне значимости 0,05.

Вариант 10.

500 человек классифицировали по признаку аллергии к полыни. По приведенным ниже данным проверить, есть ли зависимость между наличием аллергии и полом человека, при α = 0,05.

Вариант 11

Сравнивалась эффективность двух антибиотиков и получены следующие данные