Файл: В. В. Тюрнев теория цепей свч красноярск 2006.pdf

88
]
[
)
(
]
[
)
(
]
[
)
(
3
)
(
2
sin
3 2
cos
)
1
(
3
)
(
2
sin
3 2
cos
)
1
(
3
)
(
2
sin
3 2
cos
)
1
(
)
,
(
2
a
y
m
l
a
nx
a
y
l
n
a
mx
a
y
n
m
a
lx
y
x
T
n
m
l
−
π
π
−
+
+
−
π
π
−
+
+
−
π
π
−
=
Г
. Для
прямоугольного равнобедренного треугольника
со стороной a функция Грина определяется формулой
∑ ∑
∞
=
∞
=
π
+
−
σ
σ
=
0 0
2 2
2 2
2 0
0 0
0 0
0
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
|
,
(
m
n
n
m
n
m
k
a
y
x
T
y
x
T
h
Z
k
i
y
x
y
x
G
, (5.36) где
).
(
)
(
)
(
)
(
cos cos
)
1
(
cos cos
)
,
(
a
y
m
a
x
n
a
y
n
a
x
m
y
x
T
n
m
π
π
−
π
π
=
+
+
Д
. Для круга с радиусом a функция Грина определяется формулой
∑ ∑
∞
=
∞
=
−
−
π
ϕ
−
ϕ
ρ
ρ
σ
+
π
=
ϕ
ρ
ϕ
ρ
0 1
2 2
2 2
2 2
0 0
0 0
2 2
0 0
0 0
)
(
)
(
)
/
(
)
(
cos
)
(
)
(
)
,
|
,
(
n
m
mn
n
mn
mn
mn
n
mn
n
n
a
k
J
k
k
k
n
a
n
k
J
k
J
h
Z
ik
a
k
h
Z
ik
G
, (5.37) где J
n
(z) – функция Бесселя n-го порядка, а k
m n
определяется из уравнения
0
)
(
=
ρ
ρ
∂
∂
=
ρ a
mn
n
k
J
Индекс m в коэффициенте k
m n
соответствует m-му корню уравнения.
Е
. Для
сектора круга
с радиусом a и углом
α = π/l (l = 1, 2, 3, …) функ- ция Грина определяется формулой
,
)
(
)
(
)
/
(
cos cos
)
(
)
(
2 2
)
,
|
,
(
0 1
2 2
2 2
2 2
0 0
0 0
2 2
0 0
0 0
∑ ∑
∞
=
∞
=
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
−
ν
−
π
νϕ
νϕ
ρ
ρ
σ
+
+
π
=
ϕ
ρ
ϕ
ρ
n
m
m
m
m
m
m
n
a
k
J
k
k
k
a
k
J
k
J
h
Z
k
l
i
a
k
h
Z
k
l
i
G
(5.38) где
ν = nl, а k
m
ν
определяется из уравнения
0
)
(
=
ρ
ρ
∂
∂
=
ρ
ν
ν
a
m
k
J
Ж
. Для
круглого кольца
с внутренним радиусом a и внешним радиу- сом b функция Грина определяется формулой

89
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
cos
)
(
)
(
)
(
)
,
|
,
(
0 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
0 0
0 0
2 2
2 0
0 0
0
]
[
∑ ∑
∞
=
∞
=
−
−
−
−
ϕ
−
ϕ
ρ
ρ
σ
π
+
+
−
π
=
ϕ
ρ
ϕ
ρ
n
m
mn
mn
mn
mn
mn
mn
mn
n
k
k
a
F
k
n
a
b
F
k
n
b
n
F
F
h
Z
k
i
a
b
k
h
Z
k
i
G
(5.39) где
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ρ
′
−
ρ
′
=
ρ
mn
n
mn
n
mn
n
mn
n
mn
k
N
a
k
J
k
J
a
k
N
F
, а k
mn
− корень уравнения
)
(
)
(
)
(
)
(
b
k
N
b
k
J
a
k
N
a
k
J
mn
n
mn
n
mn
n
mn
n
′
′
=
′
′
З
. Для
сектора кольца
с внутренним радиусом a, внешним радиусом b и углом
α = π/l (l = 1, 2, 3,…) функция Грина определяется формулой
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
cos cos
)
(
)
(
2
)
(
2
)
,
|
,
(
0 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
0 0
0 0
2 2
2 0
0 0
0
]
[
∑ ∑
∞
=
∞
=
ν
ν
ν
ν
ν
ν
−
−
−
ν
−
νϕ
νϕ
ρ
ρ
σ
π
+
+
−
π
=
ϕ
ρ
ϕ
ρ
n
m
m
m
m
m
m
mn
m
n
k
k
a
F
k
n
a
b
F
k
b
F
F
h
Z
k
l
i
a
b
k
h
Z
k
l
i
G
(5.40) где
ν = nl, а F
m
ν
определяется выше (см. формулу (5.39).
5.5. Анализ компонентов методами сегментации
и десегментации
Если рассматривается планарный компонент, для которого функция
Грина не известна, то можно попытаться воспроизвести его форму добавле- нием или исключением элементов простых форм, для которых функции Гри- на известны. На рис. 5.4, а планарный компонент можно считать составлен- ным из двух прямоугольников, соединенных вдоль общей стороны АВ (см. рис. 5.4, б). Для получения Z-матрицы этой цепи будем считать, что оба пря- моугольных компонента соединены с помощью нескольких раздельных вы- водов на стороне АВ (рис. 5.4, в). При возрастании числа выводов вдоль сто- роны АВ увеличивается точность, как и в случае широких внешних выводов.
Это пример метода сегментации.

90
B
A
A
B
а
б
в
Рис. 5.4. Метод сегментации
а
б
в
д
г
Рис. 5.5. Метод десегментации
Конфигурация другого планарного компонента, представляющая собой прямоугольник с исключенным круговым сектором, приведена на рис. 5.5, а.
Для получения Z-матрицы цепи, показанной на рис. 5.5, б, необходимо вна- чале определить Z-матрицы элементов, имеющих формы прямоугольника
(рис. 5.5, в) и кругового сектора (рис. 5.5, г). Для компонента, форма которого изображена на рис. 5.5, д, Z-матрица может быть получена на основании эле- ментов, изображенных на рис. 5.5, в и г. Этот метод называется методо м десег ментации .
Контрольные вопросы
36.
Можно ли в рамках модели Олинера рассчитать АЧХ микрополос- кового фильтра, содержащего электромагнитно связанные резонаторы?
37.
Запишите формулу, выражающую элементы Z-матрицы через функцию Грина микрополоскового компонента с узкими проводниками вы- водов.

91
6. МИКРОПОЛОСКОВЫЕ ФИЛЬТРЫ
6.1. Микрополосковые резонаторы
Простейшим м и к р о п о л о с к о в ы м р е з о н а т о р о м (МПР) является отрезок микрополосковой линии (МПЛ). Концы полоскового проводника
МПР бывают как разомкнуты, так и коротко замкнуты на экран. Ширина W полоскового проводника в общем случае может изменяться вдоль его длины.
Обычно она изменяется скачком. Скачок ширины W уединенного МПР при- водит к скачку волнового сопротивления Z участка МПЛ. Микрополосковые резонаторы, имеющие скачки волнового сопротивления, называют н е р е г у - л я р н ы м и. Напротив, волновое сопротивление р е г у л я р н о г о МПР по- стоянно по всей длине его полоскового проводника. Так как на разомкнутых концах полоскового проводника образуются узлы тока, а на короткозамкну- тых концах – узлы напряжения, то длина регулярного МПР с обоими разомк- нутыми концами
l = n
λ
g
/2
(n = 1, 2, 3, …),
(
6.1
) а длина регулярного МПР с одним разомкнутым концом и одним коротко- замкнутым концом
l = n
λ
g
/4
(n = 1, 3, 5, …),
(6.2) где
λ
g
– длина волны в МПЛ на резонансной частоте. Электрические длины
θ этих резонаторов на резонансной частоте кратны
*
соответственно
π и π/2.
Поэтому МПР с обоими разомкнутыми концами называют п о л у в о л н о - в ы м, а МПР с одним разомкнутым и одним короткозамкнутым концом – ч е т в е р т ь в о л н о в ы м. Заметим, что суммарная электрическая длина со- ставляющих отрезков нерегулярного МПР уже не кратна
π и π/2.
Микрополосковые резонаторы в фильтрах СВЧ обычно включают по схеме четырехполюсника. Точки входа и выхода МПР могут быть выбраны в любой точке полоскового проводника. Часто эти точки выбирают на концах проводника.
Получим уравнение для резонансных частот резонатора СВЧ. Рас- смотрим входную комплексную проводимость Y
вх
(
ω) резонатора с разомкну-
* Фактор кратности n тот же, что и для формул (6.1) и (6.2).

92
тым выходом (Y
вых
= 0). Очевидно, что частоты
ω
n
, на которых Y
вх
(
ω) обра- щается в нуль, являются частотами свободных колебаний уединенного резо- натора. Последние, в свою очередь, совпадают с резонансными частотами вынужденных колебаний. В отсутствие потерь комплексная проводимость резонатора СВЧ, как и LC-контура, является чисто мнимой величиной. По- этому уравнение для определения резонансных частот резонатора СВЧ мож- но записать в виде
B(
ω
n
) = 0, (
6.3
) где B(
ω) ≡ −Im Y
вх
(
ω) – реактивная проводимость на входе резонатора СВЧ при разомкнутом выходе.
Z
θ
Y
вх
Рис. 6.1. Схема регулярного полуволнового МПР
Получим формулы для реактивных проводимостей B(
ω) некоторых
МПР. Начнем с регулярного полуволнового МПР, изображенного на рис. 6.1. Его входом и выходом являются концы полоскового проводника с электрической длиной
θ и волновым сопротивлением Z. Матрица передачи
[A] такого четырехполюсника выражается формулой (4.5). Согласно (4.3), комплексная проводимость на входе четырехполюсника при разомкнутом выходе связана с элементами A и C его матрицы передачи [A] формулой
Y
вх
= C/A. (6.4)
Подставляя (4.5) в (6.4), получаем комплексную проводимость
Y
вх
=
− iY tg θ, (6.5) а с ней и реактивную проводимость
B(
ω) = Y tg θ, (6.6) где Y
= Z
−1
– волновая проводимость отрезка МПЛ, образующего резонатор.
Из формул (6.3) и (6.6) получаем подтверждение того, что на резонансной частоте электрическая длина
θ регулярного полуволнового МПР кратна π.

93
Используя для реактивной проводимости B(
ω) выражение (6.6), вычис- ляем по формуле (3.17) крутизну реактивной проводимости на частоте n-го резонанса
b = Yn
π/2. (6.7)
Здесь при дифференцировании B(
ω) по ω учтено, что θ пропорционально ω.
Z
2
Z
1
θ
1
Y
вх
θ
2
θ
T
Рис. 6.2. Схема нерегулярного полуволнового МПР
Перейдем теперь к нерегулярному полуволновому МПР, получающе- муся каскадным соединением двух отрезков МПЛ с волновыми сопротивле- ниями Z
1
, Z
2
и электрическими длинами
θ
1
,
θ
2
(см. рис. 6.2). Суммарная элек- трическая длина такого резонатора
θ
T
=
θ
1
+
θ
2
. По формулам (4.2) и (4.5) вы- числяем их матрицу передачи:
[ ]
sin sin cos cos
)
sin cos cos sin
(
)
cos sin sin cos
(
sin sin cos cos
2 1
2 1
2 1
2 1
2 2
1 1
2 1
2 1
2 2
1 2
1 2
1 1
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
θ
θ
−
θ
θ
θ
θ
+
θ
θ
−
θ
θ
+
θ
θ
−
θ
θ
−
θ
θ
=
=
Z
Y
Y
Y
i
Z
Z
i
Y
Z
A
(6.8)
Подставляя элементы A и C матрицы (6.8) в выражение (6.4) и выделяя в нем мнимую часть, получаем
(
)
(
)
(
)
(
)
T
T
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
B
θ
+
+
θ
−
θ
−
θ
+
+
θ
−
θ
−
=
ω
cos
)
(
cos sin
)
(
sin
)
(
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
1
. (6.9)
В частном случае
θ
1
=
θ
2
из формул (6.9), (6.3) и (3.17) находим, что на частоте n-го резонанса суммарная электрическая длина проводников
θ
T
= n
π, (
6.10
) а крутизна реактивной проводимости на входе отрезка МПЛ с волновым со- противлением Z
1 2
1 2
1 1
)
1
(
1
)
1
(
1 1
2
Y
Y
Y
Y
Y
n
b
n
n
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
−
−
+
π
=
. (6.11)

94
Z
2
Z
1
θ
1
Y
вх
θ
2
θ
T
Z
1
θ
с
Рис. 6.3. Схема кондуктивного подключения нерегулярного МПР
Рассмотрим теперь случай, когда точка входа МПР смещена от конца полоскового проводника с волновым сопротивлением Z
1
на расстояние
θ
c
<
θ
1
, как показано на рис. 6.3. Такой способ подключения МПР называют к о н д у к т и в н ы м или автотрансформаторным.
Реактивная проводимость на входе МПР складывается из реактивных проводимостей двух частей резонатора, на которые точка кондуктивного подключения делит его. Суммируя выражения (6.6) и (6.9), в которые пред- варительно внесены соответствующие уточнения для электрических длин, получаем
)]
(
sin sin
)
(
cos cos
[
cos
2
sin
)
(
)
(
sin
)
(
)
(
1 2
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
1
c
c
c
T
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
B
θ
θ
θ
−
θ
θ
θ
θ
θ
+
+
θ
θ
−
=
ω
−
−
−
. (6.12)
Сравнивая числители выражений (6.9) и (6.12), замечаем, что кондук- тивное подключение не влияет на резонансные частоты МПР. Они по- прежнему являются корнями уравнения
0
sin
)
(
)
(
sin
)
(
2 1
2 1
2 1
=
θ
+
+
θ
−
θ
−
T
Y
Y
Y
Y
. (6.13)
Дифференцируя (6.12) в соответствии с формулой (3.17) и учитывая
(6.13), получаем значение параметра крутизны реактанса:
]
[
)
(
sin sin
)
(
cos cos cos
4
cos
)
(
)
(
cos
)
(
)
(
1 2
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
1
c
c
c
T
T
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
b
θ
−
θ
θ
−
θ
−
θ
θ
θ
θ
θ
+
+
θ
−
θ
θ
−
θ
−
=
. (6.14)
Подробнее остановимся на симметричной конструкции нерегулярного полуволнового МПР, изображенной на рис. 6.4. Резонатор такой конструкции называют резонатором со скачком волнового сопротивления (СВС).
Резонатор с СВС получается каскадным соединением двух нерегулярных по- луволновых МПР, изображенных на рис. 6.2, один из которых предваритель- но повернут на 180
° или зеркально отображен относительно поперечной плоскости.

95
Z
2
Z
1
Z
1
Z
2
W
2
W
1
W
2
θ
2
Y
вх
θ
1
θ
T
θ
1
θ
2
б
l
2
l
2 2l
1
а
Рис. 6.4. Симметричный нерегулярный полуволновый МПР:
а
− рисунок полоскового проводника; б − схема
Матрицу передачи такого МПР можно рассчитать, перемножая матри- цу передачи левой половины резонатора, получающуюся из (6.8) заменой ин- дексов 1
→
←
2, на матрицу передачи правой половины резонатора, выражае- мую формулой (6.8). Подставляя элементы A и C полученной матрицы в формулу (6.4) и выделяя в ней мнимую часть, находим реактивную проводи- мость на входе МПР
(
)(
)
(
)(
) (
)
2 1
2 2
2 1
2 2
1 2
1 2
tg tg
1 2
tg
1
tg
1
tg tg tg tg
2
θ
θ
+
−
θ
−
θ
−
θ
θ
−
θ
+
θ
=
K
K
K
K
Y
B
, (6.15) где K – параметр СВС, определяемый отношением
K = Z
2
/Z
1
. (6.16)
Приравнивая нулю выражения в обеих круглых скобках числителя в формуле (6.15), получаем, согласно (6.3), два независимых уравнения для определения резонансных частот
K
− tgθ
1
tg
θ
2
= 0, (6.17)
K tg
θ
1
+ tg
θ
2
= 0. (6.18)
Уравнение (6.17) задает частоты
ω
n
всех нечетных резонансов, в том числе и первого (n = 1, 3, 5, …). Уравнение (6.18) задает частоты всех четных резо- нансов (n = 2, 4, 6, …).
Полосы пропускания в фильтрах СВЧ образуются на резонансных час- тотах. Обычно первую полосу пропускания фильтра делают рабочей (основ- ной). Через нее проходит выделяемый сигнал. Все остальные полосы пропус-