Файл: В. В. Тюрнев теория цепей свч красноярск 2006.pdf

71
1
2
p
Рис. 4.11. Схема СВЧ с i внутренними и p внешними входами
Для всех компонент схемы вектор амплитуд всех выходящих волн
b
связан с вектором амплитуд входящих волн
a
соотношением
b
=
Sa
. (4.73)
Строки и столбцы в (4.73) можно перегруппировать так, чтобы волно- вые переменные разделились на две группы: первая соответствовала бы
p внешним входам, а вторая –
i входам, соединенным внутри схемы. Тогда уравнение (4.73) можно записать в виде
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
i
p
ii
ip
pi
pp
i
p
a
a
S
S
S
S
b
b
, (4.74) где
b
p
и
a
p
– волновые переменные, соответствующие
p внешним входам;
b
i
и
a
i
− волновые переменные, соответствующие i внутренним входам. Ограни- чения, накладываемые внутренними соединениями для
i внутренних входов, могут быть записаны в виде
b
i
=
Γa
i
, (
4.75
) где
Γ
− матрица соединений, содержащая нули и единицы. Из выражений
(4.74) и (4.75) можно получить
Γa
i
=
S
i p
a
p
+
S
ii
a
i
или
a
i
= (
Γ
−
S
i i
)
−1
S
i p
a
p
. (4.76)
Подставляя (4.76) в (4.74), получаем
b
p
= [
S
pp
+
S
p i
(
Γ
−
S
i i
)
−1
S
i p
]a
p
, (4.77)

72
откуда матрица рассеяния
S
p
=
S
p p
+
S
p i
(
Γ
−
S
i i
)
−1
S
i p
. (4.78)
Уравнения (4.76) и (4.75) могут использоваться для получения волновых пе- ременных на внутренних входах при произвольном способе возбуждения внешних входов.
Пример 1. Расчет S-матрицы составной схемы. Рассмотрим схему на рис. 4.12, состоящую из узлов
A, В и С. Матрицы рассеяния составляющих компонентов обозначим
S
A
,
S
B
и
S
C
1
2
A
B
C
3
4
5
6
A
B
C
1
1
2
2
3
Рис. 4.12. Составная схема и ее компоненты A, B и C
Запишем параметры всех трех компонентов схемы в виде (4.74):
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
+
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
3 5
6 2
4 1
11 13 12 31 33 32 22 21 21 23 22 12 11 3
5 6
2 4
1 0
0
|
0 0
0
|
0 0
0 0
|
0 0
0 0
0
|
0 0
0
|
0 0
0 0
|
0
a
a
a
a
a
a
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
b
b
b
b
b
b
B
B
B
B
B
B
C
A
A
B
B
B
A
A
. (4.79)
Матрица соединений
Γ
может быть записана в виде
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
3 5
6 2
3 5
6 2
0 0
0 1
0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
0 0
a
a
a
a
b
b
b
b
. (4.80)

73
Полную матрицу рассеяния находим по формуле (4.78), используя (4.79) и
(4.80):
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−
B
B
A
B
B
B
B
C
A
B
B
A
B
A
p
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
12 32 21 1
11 13 31 33 22 21 23 12 22 11 0
0 0
0 0
0 1
1 0
0 1
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0
S
. (4.81)
Пример 2. Расчет S-матрицы схемы, один из входов которой нагружен.
Пусть схема
A, описываемая матрицей
S
A
, имеет
p
+1 вход. Требуется рассчи- тать матрицу
S
В
схемы
B, которая получается подключением к (p
+1)-му вхо- ду схемы
A нагрузки с импедансом Z. Объединенная матрица схемы A и на- грузки
Z имеет вид
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
+
−
=
Z
A
ii
A
ip
A
pi
A
pp
S
S
0
|
0 0
|
0
|
S
S
S
S
, (4.82) где
S
Z
– параметр рассеяния нагрузки
Z; i указывает на вход, к которому под- ключена нагрузка
Z. Матрица соединений
Γ
может быть записана в виде
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
a
a
b
b
i
i
0 1
1 0
, (4.83) где
a
i
и
b
i
– волновые переменные для нагруженного входа
i схемы A; a и b
− волновые переменные для нагрузки
Z. Подставим (4.82) и (4.83) в общую формулу (4.78):
[
]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+
=
−
0 1
1 0
1
A
ip
Z
A
ii
A
pi
A
pp
B
S
S
S
S
S
S
. (4.84)
После выполнения произведения матриц получаем
A
ip
A
pi
A
ii
Z
A
pp
B
S
S
S
S
S
S
−
+
=
−1
)
(
1
. (4.85)
Вычислим параметр рассеяния для нагрузки
Z. Будем исходить из того, что ток
I и напряжение U на нагрузке Z связаны равенством
U
/I = Z.

74
Подставляя в последнее равенство выражения
,
)
(
,
)
(
2 1
0 2
1 0
b
a
Z
I
b
a
Z
U
−
=
+
=
−
(4.86) находим
b
= [(Z−Z
0
) / (
Z
+Z
0
)]
a. (4.87)
Здесь
Z
0
– нормирующее волновое сопротивление для матриц
S
A
и
S
Z
. Из формулы (4.87) получаем
S
Z
= (Z−Z
0
) / (
Z
+Z
0
). (4.88)
Подставляя (4.88) в выражение (4.85), получаем искомую формулу
A
ip
A
pi
A
ii
A
pp
B
S
Z
Z
Z
Z
S
S
S
S
−
−
+
+
=
0 0
1
. (4.89)
Из (4.89), в частности, следует, что в режиме короткого замыкания
(
Z
= 0) на i-м входе
A
ip
A
pi
A
ii
A
pp
B
S
S
S
S
S
+
−
=
1 1
, (4.90) в режиме холостого хода (
Z
= ∞)
A
ip
A
pi
A
ii
A
pp
B
S
S
S
S
S
−
+
=
1 1
, (4.91) в режиме согласованной нагрузки (
Z
= Z
0
)
A
pp
B
S
S
=
. (4.92)
4.6. Расчет ABCD-матрицы встречно включенного отрезка
пары связанных микрополосковых линий
Рассчитаем
ABCD-матрицу четырехполюсника, образованного встреч- ным подключением отрезка симметричной пары связанных микрополоско- вых линий (см. рис. 4.13). Такой четырехполюсник является элементарным звеном полосно-пропускающего фильтра на параллельно связанных микро- полосковых резонаторах. В фильтре эти звенья включены каскадно.

75
U
вх
, I
вх
0
1
2
l
z
U
вых
, I
вых
Рис. 4.13. Встречно включенный отрезок пары связанных линий
Обратимся к
ABCD-параметрам n-проводного отрезка связанных линий передачи, которые выражаются формулой (4.51). В рассматриваемом случае матрицы напряжений, токов и электрических длин, фигурирующие в (4.51), имеют вид
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
θ
θ
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
=
o
e
o
e
o
e
Z
Z
Z
Z
0 0
,
1 1
1 1
,
θ
I
U
. (4.93)
Подставляя (4.93) в (4.51), получаем
ABCD-матрицу восьмиполюсника
2
cos cos
2
cos cos
2
sin sin
2
sin sin
2
cos cos
2
cos cos
2
sin sin
2
sin sin
2
sin sin
2
sin sin
2
cos cos
2
cos cos
2
sin sin
2
sin sin
2
cos cos
2
cos cos
(4.94)
1 1
1 1
1 1
1 1
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
θ
+
θ
θ
−
θ
θ
+
θ
θ
−
θ
θ
−
θ
θ
+
θ
θ
−
θ
θ
+
θ
θ
+
θ
θ
−
θ
θ
+
θ
θ
−
θ
θ
−
θ
θ
+
θ
θ
−
θ
θ
+
θ
=
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
−
−
o
e
o
e
o
o
e
e
o
o
e
e
o
e
o
e
o
o
e
e
o
o
e
e
o
o
e
e
o
o
e
e
o
e
o
e
o
o
e
e
o
o
e
e
o
e
o
e
i
Z
Z
i
Z
Z
i
Z
Z
i
Z
Z
i
Z
Z
i
Z
Z
i
Z
Z
i
Z
Z
D
C
B
A
Эта матрица связывает векторы напряжений и токов на входе и выходе отрезка формулой
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
вых вых вх вх
I
U
D
C
B
A
I
U
. (4.95)
Матричное равенство (4.95) означает краткую запись четырех равенств вых
2 12
вых
1 11
вых
2 12
вых
1 11
вх
1
I
B
I
B
U
A
U
A
U
+
+
+
=
, (4.96) вых
2 22
вых
1 21
вых
2 22
вых
1 21
вх
2
I
B
I
B
U
A
U
A
U
+
+
+
=
, (4.97) вых
2 12
вых
1 11
вых
2 12
вых
1 11
вх
1
I
D
I
D
U
C
U
C
I
+
+
+
=
, (4.98) вых
2 22
вых
1 21
вых
2 22
вых
1 21
вх
2
I
D
I
D
U
C
U
C
I
+
+
+
=
. (4.99)

76
Учитывая, что
0
вых
1
вх
2
=
= I
I
, (4.100) из (4.97), (4.99) находим вых
2 21 22
вых
2 21 22
вых
1
)
/
(
)
/
(
I
C
D
U
C
C
U
−
−
=
. (4.101)
Подставим (4.100) и (4.101) в (4.96) и (4.98):
]
/
[
]
/
[
,
]
/
[
]
/
[
вых
2 21 22 11 12
вых
2 21 22 11 12
вх
1
вых
2 21 22 11 12
вых
2 21 22 11 12
вх
1
I
C
D
C
D
U
C
C
C
C
I
I
C
D
A
B
U
C
C
A
A
U
−
+
−
=
−
+
−
=
Отсюда получаем, что
ABCD-параметры четырехполюсника связаны с
ABCD-параметрами отрезка пары связанных линий формулой
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
21 22 11 12 21 22 11 12 21 22 11 12 21 22 11 12
/
/
/
/
C
D
C
D
C
C
C
C
C
D
A
B
C
C
A
A
D
C
B
A
. (4.102)
Подставим в (4.102) значения
ABCD-параметров (4.94). В результате получаем искомую
ABCD-матрицу четырехполюсника
1 1
2 2
1 1
1 1
1 1
1 1
ctg ctg
(sin sin ctg ctg ) (
) 2
sin sin sin sin
2
ctg ctg sin sin sin sin
e
e
o
o
e
o
e
o
e
o
e
o
e
e
o
o
e
e
o
o
e
e
o
o
e
e
o
o
e
e
o
o
A B
C D
Z
Z
Z Z
Z Z
i
Z
Z
Z
Z
i
Z
Z
Z
Z
Z
Z
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
⎡
⎤
=
⎢
⎥
⎣
⎦
⎡
⎤
+
+
⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
= ⎢
⎥
−
+
⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
⎣
⎦
−
+
(4.103)
Формула (4.103) будет использоваться в дальнейшем при синтезе микро- полосковых фильтров.
Контрольные вопросы
29.
В каких единицах измеряются нормированные напряжения?
30.
Какую размерность имеют элементы Z-, Y-, S- и T-матриц?
31.
При использовании каких матриц порты многополюсника подраз- деляют на входы и выходы?
32.
При использовании каких матриц все порты многополюсника име- нуются входами?

77 33.
У какого многополюсника не меняется S-матрица при транспониро- вании?
34.
Сколько независимых уравнений для токов и напряжений можно записать для точки соединения n проводников?
35.
Сколько независимых элементов имеют матрицы взаимного сим- метричного четырехполюсника?

78
5. ДВУМЕРНЫЕ ЦЕПИ
5.1. Планарные компоненты
Компоненты устройств СВЧ разделяют по типу размерности. Элемен- ты с сосредоточенными параметрами называют нульмерными компонен- тами, так как их размеры по всем трем координатам много меньше длины волны
λ
g
. Линии передачи (коаксиальные, микрополосковые, копланарные, щелевые и др.) называют одномерными компонентами, так как размеры их поперечного сечения много меньше
λ
g
, а длина соизмерима с
λ
g
. Компо- ненты, все три размера которых соизмеримы с
λ
g
, называют трех мерными компонентами. Существуют еще и такие элементы СВЧ, у которых только один из трех размеров много меньше
λ
g
. Эти элементы называют двумер - ными или планарными [11].
а
б
в
Рис. 5.1. Конфигурации планарных компонентов:
а – полосковая цепь; б – микрополосковая цепь; в – волноводная цепь
Возможны три конфигурации планарных цепей (см. рис. 5.1):
1) трехплоскостные, или полосковые;
2) открытые, или микрополосковые ;
3) волноводные.
Рассмотрим планарную цепь полоскового типа, центральный провод- ник которой имеет произвольную форму и расположен между двумя зазем- ленными пластинами (см. рис. 5.2, а). Эта цепь возбуждается симметрично из-за наличия верхней и нижней заземленных пластин. На краях центрально- го проводника имеются несколько выводов. Обозначим ширины этих выво- дов W
i
. Остальные края центрального проводника являются разомкнутыми.

79
Выберем направление координатных осей так, чтобы рассматриваемый про- водник лежал в плоскости xy перпендикулярно оси z. При этом размеры цен- трального проводника по осям x и y будут соизмеримы с длиной волны, а размером по оси z (толщиной 2h) можно пренебречь. Следовательно, поле по направлению оси z можно считать постоянным.
h
W
i
2h
W
1 2h
2h
Δl
Δl
x
y
z
x
y
z
W
2