Файл: В. В. Тюрнев теория цепей свч красноярск 2006.pdf

80
дели Олинера должны повторять этот контур с отступом наружу на величину
Δl (см. рис. 5.2, б).
Необходимо отметить, что напряженности полей под центральным проводником и над ним должны быть направлены противоположно. В даль- нейшем анализе векторы
E
и
H
будут определяться по напряженности поля с одной стороны проводника, например с нижней.
Уравнение Гельмгольца для планарной полосковой цепи с боковыми магнитными стенками имеет вид
)
(
0
)
(
2 0
2 2
2
r
t
k
k
k
ε
=
=
+
∇
E
, (
5.3
) где
∇
t
2
= ∂
2
/∂x
2
+ ∂
2
/∂y
2
. Поскольку составляющие E
x
и E
y
равны нулю на по- верхности центрального проводника и заземленных пластин, то независящий от координаты z вектор напряженности электрического поля можно записать в виде
E
=
e
z
E
z
(x, y), (5.4) где
e
z
– единичный вектор, направленный вдоль оси z. Используя уравнение
Максвелла (1.16), магнитное поле можно записать в виде
z
y
x
E
x
y
Z
k
i
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
−
=
e
e
H
0 0
, (5.5) где
e
x
и
e
y
– единичные векторы, направленные вдоль осей x и y.
Поверхностный ток на центральном проводнике может быть найден из граничного условия (1.37). Учитывая, что этот ток течет по нижней и верхней поверхности центрального проводника, получаем
z
y
x
E
y
x
Z
k
i
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
e
e
J
0 0
2
. (5.6)
Выражение (5.6) имеет силу для всех точек двумерного центрального про- водника произвольной формы, включая его края. Для точек на краях поверх- ностный ток
J
может быть выражен через составляющие, нормальные и тан- генциальные к границе:
z
E
n
s
Z
k
i
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
n
s
J
0 0
2
, (5.7) где
s
и
n
– единичные векторы, направленные тангенциально и нормально к границе. Для точек на краях двумерного планарного компонента, где отсут-

81
ствуют выводы, нормальная составляющая поверхностного тока должна быть равна нулю:
∂E
z
/∂n = 0. (5.8)
Ток, текущий через i-й вывод компонента, может быть получен на ос- нове формулы (5.7):
∫
∂
∂
−
=
i
W
z
i
ds
n
E
Z
k
i
I
0 0
2
. (5.9)
Знак «минус» в формуле (5.9) означает, что ток I
i
направлен внутрь компо- нента, тогда как вектор
n
направлен наружу.
Характеристики планарных компонентов можно выразить через на- пряжение СВЧ U(x,y) на центральном проводнике. Учитывая, что поле E
z
однородно вдоль оси z, получаем
U
= −E
z
h. (5.10)
Теперь уравнения (5.3), (5.8) и (5.9) можно записать в виде
(
∇
t
2
+ k
2
)U
= 0 (
5.11
) при
∂U/∂n = 0 (
5.12
) для точек на краях планарного компонента, за исключением точек выводов.
Ток выводов выражается формулой
∫
∂
∂
=
i
W
i
ds
n
U
h
Z
k
i
I
0 0
2
. (5.13)
Решением уравнения (5.11) с граничными условиями (5.12) и (5.13) находят- ся характеристики планарных компонентов полоскового типа.
5.2. Решение двумерных задач методом функций Грина
Уравнения Гельмгольца для планарной цепи простой геометрической формы удобно решать с помощью функций Грина [11]. Используя функции
Грина, можно получить аналитическое выражение напряжения в произволь- ной точке при возбуждении планарного компонента единичным источником тока, расположенным в какой-либо заданной точке. С помощью функций

82
Грина нетрудно получить Z-матрицу компонента с заданным расположением его выводов.
Пусть планарный компонент возбуждается сторонним током плотно- стью j
z
, протекающим в направлении оси z через некоторую произвольную внутреннюю точку с координатами x
0
, y
0
, не лежащую на границе планарно- го компонента. Тогда уравнение Гельмгольца (5.11), согласно уравнениям
Максвелла (1.7) и (1.8), может быть записано в виде
(
∇
t
2
+ k
2
) U
= ik
0
Z
0
h j
z
. (
5.14
)
Если же планарная цепь возбуждается сторонней полосковой линией, то j
z
можно рассматривать как фиктивный ток СВЧ, текущий в направлении, нормальном плоскости компонента. Этот ток втекает в местах расположения вводов на краях планарного компонента. При этом запитывание осуществля- ется нормально, то есть по оси z, с выполнением условия наличия магнитной стенки (5.12) на протяжении всей границы планарного компонента.
Функция Грина может быть получена из уравнения (5.14), если в каче- стве источников тока использовать единичный источник тока j
z
=
δ(
r
−
r
0
), на- правленный вдоль оси z. Этот источник расположен под центральным про- водником планарного компонента при
r
=
r
0
. Функция Грина G(
r
|
r
0
) есть решение уравнения
(
∇
t
2
+ k
2
) G(
r
|
r
0
)
= ik
0
Z
0
h
δ(
r
−
r
0
) (
5.15
) с граничными условиями
∂G/∂n = 0. (
5.16
)
Теперь можно записать выражение для напряжения в произвольной точке планарного элемента
∫
=
D
z
dy
dx
y
x
j
y
x
y
x
G
y
x
U
0 0
0 0
0 0
)
,
(
)
,
|
,
(
)
,
(
, (
5.17
) где j
z
(x
0
, y
0
) – плотность фиктивного тока, втекающего в планарный компо- нент в направлении, нормальном плоскости его центрального проводника;
D – область планарного компонента, окруженная магнитной стенкой.
Если источник тока запитывается только со стороны выводов на краях планарного компонента, то напряжение U на границе может быть выражено через ток J подводящих линий формулой

83
∫
=
C
ds
s
J
s
s
G
s
U
0 0
0
)
(
)
|
(
)
(
, (5.18) где s, s
0
– расстояния, отсчитываемые вдоль границы. Поскольку ток J суще- ствует только в сечениях выводов, то формулу (5.18) можно записать в виде
∑ ∫
=
i W
i
ds
s
J
s
s
G
s
U
0 0
0
)
(
)
|
(
)
(
, (5.19) где суммирование осуществляется по всем выводам. При этом запитываю- щий i-й вывод полный ток
)
(
2 0
0
∫
=
i
W
i
ds
s
J
I
(5.20)
Поясним, почему в формуле (5.18) нами использовано равенство
j
z
(x
0
,y
0
)dx
0
dy
0
= J(s
0
)ds
0
. Величина J(s
0
) есть поверхностная плотность вте- кающих токов подводящих линий на выводах планарного компонента. Одна- ко выполнение граничного условия (5.16) означает, что должны существо- вать еще и вытекающие токи с такой же плотностью J(s
0
), но направленные в противоположную сторону. Вытекающие токи, в отличие от втекающих, не уходят в подводящие линии, а создают фиктивные токи j
z
(x
0
, y
0
).
Если проводники подводимых линий настолько узки, что плотность токов в них можно считать распределенной равномерно, то из (5.20) можно получить
)
2
/(
)
(
вывода го
- для
0
i
i
i
W
I
s
J
=
. (5.21)
Подставив (5.21) в (5.18), найдем
∫
∑
=
i
W
i
i
i
ds
s
s
G
W
I
s
U
0 0
)
|
(
2
)
(
. (5.22)
Это уравнение позволяет определить напряжение в произвольной точке границы. Для определения напряжения U
i
на i-м выводе усредним напряже- ние по ширине вывода. Тогда получим
∫ ∫
∑
∫
=
=
i
j
i
W W
j
j
i
j
W
i
i
ds
ds
s
s
G
W
W
I
ds
s
U
W
U
0 0
)
|
(
2
)
(
1
. (5.23)
Из (5.23) можно определить элементы Z-матрицы планарного компонента

84
∫ ∫
=
i
j
W W
j
i
ij
ds
ds
s
s
G
W
W
Z
0 0
)
|
(
2 1
. (
5.24
)
В приведенном анализе предполагалось, что втекающий ток распреде- лен равномерно по ширине вывода. Это значит, что ширина вывода должна быть малой по сравнению с длиной волны и размерами планарного компо- нента. В тех случаях, когда эти предположения не выполняются, каждый вы- вод может быть разделен на несколько подвыводов, в каждом из которых ток можно предполагать распределенным равномерно.
Матрицу сопротивлений компонента получают для всех выводов. При этом предполагается, что в полосковой линии на участке вывода имеется только Т-волна. Это предположение выполняется, если выводы находятся на таком расстоянии от планарного компонента, при котором любые волны высших порядков, возбуждаемые неоднородностью перехода от полосковой линии к планарной цепи, затухают вдоль полосковой линии. Промежуточная полосковая линия считается частью планарной цепи.
Поскольку предполагается, что в линии вывода существует только
Т-волна, то напряжения подвыводов вывода одинаковы. Поэтому можно счи- тать, что подвыводы соединены параллельно. При параллельном соединении
Z-матрицу преобразуют в Y-матрицу. Если выводы i и j разделены на подвыводы i = (i
1
, i
2
, …) и j = ( j
1
, j
2
, …), то матрица проводимости Y
i j
задается в виде суммы:
∑ ∑
∈ ∈
=
i
k
j
l
kl
ij
y
Y
, (5.25) где y
k l
– составляющие матрицы проводимости.
5.3. Особенности использования модели Олинера
для микрополосковых цепей
Особенности построения модели Олинера для планарных цепей мик- рополоскового типа связаны как с отсутствием симметрии между нижним и верхним волноведущим каналом, так и с неодинаковым диэлектрическим за- полнением этих каналов.
При некоторых допущениях все основные соотношения, полученные выше для планарной цепи полоскового типа, могут быть использованы с

85
одной поправкой и для планарной цепи микрополоскового типа. Одним из допущений является то, что мощность СВЧ в планарной цепи микрополоско- вого типа распространяется только в одном из волноведущих каналов, а именно, в канале, содержащем подложку. Из этого допущения следует, что токи текут не по двум, а только по одной из поверхностей полоскового про- водника. Этим допущением и вызвана поправка к формулам. В формулах
(5.6), (5.7), (5.9), (5.13) и (5.20) она сводится к удалению множителя 2, а в формулах (5.21)
−(5.24) — к удалению делителя 2.
В эквивалентной модели, когда ширина планарного компонента W значительно больше толщины подложки h, диэлектрическая проницаемость среды, ограниченной плоскими проводниками и боковыми магнитными стенками, считается равной диэлектрической проницаемости подложки
ε
r
При этом магнитные стенки должны отступать от краев полоскового провод- ника на такое расстояние
Δl, при котором емкость этого проводника в модели оставалась бы такой же, как и в исходном объекте.
В случае же узкого планарного компонента, который можно рассмат- ривать как нерегулярность микрополосковой линии типа скачка ширины, из- гиба, разветвления, разомкнутого конца и т. д., диэлектрическая проницае- мость среды, ограниченной плоскими проводниками и боковыми магнитны- ми стенками, считается равной эффективной диэлектрической проницаемо- сти микрополосковой линии
ε
e f f
. Величина же отступа
Δl магнитных стенок от краев полоскового проводника по-прежнему определяется из условия оди- наковости емкости полоскового проводника в модели и в реальном объекте.
5.4. Собственные функции планарного уравнения
Гельмгольца и функции Грина
Один из методов построения функции Грина G(
r
|
r
0
) основан на разло- жении ее в ряд
∑
ψ
=
m
m
m
A
G
)
(
)
|
(
0
r
r
r
, (
5.26
) по собственным функциям
ψ
n
уравнения Гельмгольца
(
∇
t
2
+ k
n
2
)
ψ
n
= 0 , (
5.27
)

86
где k
n
2
– собственное значение. Условие ортогональности функций
ψ
n
выра- жается формулой
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≠
=
=
ψ
ψ
∫∫
∗
,
если
,
0
если
,
1
m
n
m
n
dy
dx
D
m
n
(
5.28
) где область интегрирования D ограничивается границами планарного компо- нента, на которых
ψ
n
удовлетворяет граничному условию
∂ψ
n
/∂n = 0. (
5.29
)
Подставляя (5.26) в (5.15) и используя (5.27), получаем
)
(
)
(
)
(
0 0
0 2
2
r
r
r
−
δ
=
ψ
−
∑
h
Z
k
i
k
k
A
m
m
m
m
. (5.30)
Умножая обе части равенства (5.30) на
ψ
n
∗
, интегрируя в области D и используя условие ортогональности (5.28), получаем уравнение
)
(
)
(
0 0
0 2
2
r
∗
ψ
=
−
n
n
n
h
Z
k
i
k
k
A
. (5.31)
Тогда имеем
)
(
)
(
2 2
0 0
0
n
n
n
k
k
h
Z
k
i
A
−
ψ
=
∗
r
, так что
∑
−
ψ
ψ
=
∗
n
n
n
n
k
k
h
Z
k
i
G
2 2
0 0
0 0
)
(
)
(
)
|
(
r
r
r
r
(5.32) есть выражение искомой функции Грина. Для цепей без потерь
ψ
n
∗
− действи- тельная функция.
Приведем функции Грина для некоторых форм планарных элементов, представленных на рис. 5.3.
А
. Для
прямоугольника
со сторонами a и b функция Грина определя- ется формулой
∑ ∑
∞
=
∞
=
−
−
σ
σ
=
0 0
2 2
2 0
0 0
0 0
0
)
cos(
)
cos(
)
cos(
)
cos(
)
,
|
,
(
m
n
y
x
y
x
y
x
n
m
k
k
k
y
k
x
k
y
k
x
k
ab
h
Z
k
i
y
x
y
x
G
, (5.33) где k
x
= mπ/a, k
y
= nπ/b, а величина
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≠
=
=
σ
0
при
2
,
0
при
1
n
n
n

87
a
a/2 0
a