Файл: В. В. Тюрнев теория цепей свч красноярск 2006.pdf

55
ности напряжений – n-мерными векторами
U
1
и
U
2
, определение матрицы передачи 4n-полюсника можно записать в виде
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
2 2
1 1
I
U
D
C
B
A
I
U
, (
4.10
) где матричные элементы
A
,
B
,
C
и
D
являются матрицами размерности n
×n.
Классические матрицы передачи удобны при описании каскадных со- единений 4n-полюсников и, в частности, четырехполюсников. При описании на СВЧ иных соединений или более сложных многополюсников преимуще- ство ABCD-параметров теряется.
I
1
, U
1
I
2
,
U
2 1
2 1
2
n
n
Рис. 4.2. Токи и напряжения в 4n-полюснике
A
1
B
I
1
I
2
I
n
1 2
n
n
2
Рис. 4.3. Последовательное соединение многополюсников
При последовательном соединении многополюсников (см. рис. 4.3) удобно пользоваться матр ицей сопротивлений, или Z-матрицей, или импедансной матрицей [11]. Эта матрица описывает связь между напря- жениями U
i
и втекающими токами I
i
на всех входах многополюсника
(i = 1, 2, …, n), выражаемую формулой

56
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
n
n
I
I
I
Z
U
U
U
2 1
2 1
. (

57
параллельном соединении четырехполюсников (рис. 4.5) удобно использо- вать H-матрицу, которая связывает напряжение первого входа и ток второ- го входа с напряжением второго входа и током первого формулой
[ ]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
1 2
2 1
I
U
H
I
U
. (4.15)
Параметры четырехполюсника, полученного последовательно-парал- лельным соединением четырехполюсников A и B, рассчитываются по формуле
[H] = [H ]
A
+ [H ]
B
. (4.16)
При параллельно-последовательном соединении четырехполюсников
(рис. 4.6) удобно использовать G-матрицу, которая связывает ток первого входа и напряжение второго входа с током второго входа и напряжением первого формулой
[ ]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
1 2
2 1
U
I
G
U
I
. (4.17)
Параметры четырехполюсника, полученного параллельно-последова- тельным соединением четырехполюсников A и B, рассчитываются по формуле
[G] = [G ]
A
+ [G ]
B
. (4.18)
1 1
2 1
2 2
A
B
Рис. 4.5. Последовательно-параллельное соединение четырехполюсников
1 1
2 1
2 2
A
B
Рис. 4.6. Параллельно-последовательное соединение четырехполюсников

58
a
1
b
1
a
2
b
2
a
n
b
n
a
i
b
i
Рис. 4.7. Нормированные напряжения входящих и выходящих волн в многополюснике
Универсальным методом анализа схем СВЧ является метод, основан- ный на использовании матриц рассеяния, или
S-матриц. Матрица рассеяния определяет взаимосвязь между нормированными напряжениями вхо- дящих и выходящих волн, которые определяются формулами [1]
i
i
i
i
i
i
Z
U
b
Z
U
a
−
+
=
=
,
, (
4.19
) где
U
i
+
и
U
i
−
− напряжения входящей и выходящей волны на i-й паре полю- сов;
Z
i
– волновое сопротивление линии передачи, соединенной с
i-й парой полюсов (см. рис. 4.7). Таким образом, размерность квадратов нормирован- ных напряжений
a
i
и
b
i
равна размерности мощности. Нормированные на- пряжения
a
i
и
b
i
называют также волновыми переменными [11].
В случае четырехполюсника (
i = 1, 2) S-матрица, или матрица рас- сеяния , следующим образом связывает нормированные напряжения
b
i
и
a
i
:
,
2 22 1
21 2
2 12 1
11 1
a
S
a
S
b
a
S
a
S
b
+
=
+
=
(
4.20
)
В общем случае для схемы с
n парами полюсов имеем
b
=
Sa
, (
4.21
) где
S
– матрица размером
n
×n, называемая матрицей рассеяния.
Средняя мощность на
i-м входе может быть найдена из (4.19). Для это- го напряжение и ток для
i-й пары полюсов запишем в виде
(
)
(
)
,
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
Z
b
a
I
I
I
Z
b
a
U
U
U
−
=
−
=
+
=
+
=
−
+
−
+
(4.22)

59
Мощность на
i-м входе определяется формулой
)
(
)
(
Re
2 1
*
2 1
∗
∗
−
=
=
i
i
i
i
i
i
i
b
b
a
a
I
U
P
. (
4.23
)
Отсюда видно, что мощность
P
i
равна разности мощностей падающей
∗
i
i
a
a
2 1
и отраженной
∗
i
i
b
b
2 1
волн на
i-м входе.
Для пассивных цепей без потерь закон сохранения энергии выражается формулой
1 1
1 2
=
=
∑
∑
=
∗
=
n
i
ij
ij
n
i
ij
S
S
S
. (
4.24
)
Рассмотренная
S-матрица не удобна для анализа схем, состоящих из каскадно соединенных четырехполюсников. В этих случаях
S-матрица может быть преобразована в
ABCD-матрицу. Однако возможен и другой путь ана- лиза каскадных схем, при котором используется новый набор параметров рассеяния на основе волновых переменных
a
i
и
b
i
со свойствами, аналогич- ными свойствам
ABCD-матриц относительно умножения матриц при каска- дировании. Новый набор параметров четырехполюсника, называемый вол- новой матрицей передачи, или
Т-матрицей, определяется равенством
∗
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
2 2
22 21 12 11 1
1
b
a
T
T
T
T
a
b
. (
4.25
)
Параметры
Т-матрицы называют Т-параметр ами .
Параметры различных матриц многополюсника взаимосвязаны. Для четырехполюсника связь параметров
S-матрицы с параметрами ABCD-матри- цы выражается формулами
,
)
2
(
)
1
(
,
)
2
(
)
1
(
,
)
2
(
)
1
(
,
)
2
(
)
1
(
21 1
2 22 11 21 2
1 22 11 21 2
1 22 11 21 2
1 22 11
S
Z
Z
S
S
S
D
S
Z
Z
S
S
S
C
S
Z
Z
S
S
S
B
S
Z
Z
S
S
S
A
Δ
−
+
−
=
Δ
+
−
−
=
Δ
+
+
+
=
Δ
−
−
+
=
(4.26) где
Z
1
и
Z
2
– нормирующие сопротивления для
S-параметров на входах
1
и
2
соответственно, а
∗ Встречается и иное определение Т-матрицы, отличающееся нумерацией волно- вых переменных.

60
ΔS = S
11
S
22
− S
21
S
12
. (4.27)
Заметим, что если
S
2 1
= 0, то ABCD-параметры становятся неопределенными.
Параметр
S
2 1
представляет собой коэффициент прямой передачи, и в цепях
СВЧ он редко бывает равным нулю.
Обратный переход выражается формулами
,
2
,
)
(
2
,
1 2
1 2
1 2
1 2
22 1
2 1
2 2
1 21 1
2 1
2 2
1 12 1
2 1
2 1
2 1
2 11
Z
D
Z
Z
C
B
Z
A
Z
D
Z
Z
C
B
Z
A
S
Z
D
Z
Z
C
B
Z
A
Z
Z
S
Z
D
Z
Z
C
B
Z
A
Z
Z
C
B
D
A
S
Z
D
Z
Z
C
B
Z
A
Z
D
Z
Z
C
B
Z
A
S
+
+
+
+
−
+
−
=
+
+
+
=
+
+
+
−
=
+
+
+
−
−
+
=
(4.28)
Для многополюсника уравнения перехода от
Z-матрицы к S-матрице можно записать в матричной форме
0 1
0 0
0
)
(
)
(
Z
Z
Z
Z
Z
Y
S
−
+
−
=
, (4.29) где
Z
0
и
Y
0
– диагональные матрицы с элементами
Z
1
,
Z
2
, … ,
Z
n
и 1/
Z
1
,
1/
Z
2
, …, 1/
Z
n
представляют собой нормирующие сопротивления различных входов схемы.
Обратный переход можно выполнить по формуле
0 1
0
)
(
)
(
Z
S
I
S
I
Z
Z
−
−
+
=
, (4.30) где
I
– единичная матрица.
Аналогичные формулы для перехода от
Y-матрицы к S-матрице и обратно имеют вид
)
(
)
(
,
)
(
)
(
0 1
0 0
1 0
0 0
Y
S
I
S
I
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Z
S
−
−
+
−
=
+
−
=
(4.31)
Для
Т- и S-матриц формулы перехода имеют вид
21 22 21 22 21 21 11 12 21 21 12 22 11 11 1
,
,
,
)
(
S
T
S
S
T
S
S
T
S
S
S
S
S
T
=
=
=
+
−
=
(4.32)

61
и
,
1
,
,
22 21 22 22 21 22 21 12 11 12 22 12 11
T
T
S
T
S
T
T
T
T
S
T
T
S
−
=
=
−
=
=
(4.33)
При расчете цепей, получаемых каскадным соединением четырехпо- люсников, преобразование
S-матриц в Т-матрицы более предпочтительно, чем в
ABCD-матрицу по следующим причинам. Вычислительные затраты при преобразовании
ABCD-параметров оказываются несколько меньшими, чем при преобразовании
S-матриц в Т-матрицы. Кроме того, Т-матрицы опреде- ляются через волновые переменные, нормированные относительно волновых сопротивлений точно так же, как и
S-матрицы. Это облегчает переход от од- ного типа описания схемы к другому.
В общем случае матричные элементы любой матрицы многополюсника являются независимыми. Однако в ряде случаев они бывают связаны некото- рыми уравнениями.
Многополюсник называют взаимным , если он подчиняется принципу взаимности для двух любых входов при произвольных режимах на остальных входах.
Принцип взаимности (обратимости ) гласит: если некоторая
ЭДС в цепи одного из входов многополюсника вызывает в цепи другого ко- роткозамкнутого входа электрический ток, то при перемещении этого источ- ника ЭДС в цепь второго входа в цепи первого короткозамкнутого входа по- является точно такой же электрический ток. Этот принцип можно сформули- ровать следующим равенством:
I
2
/
U
1
=
I
1
/
U
2
. (
4.34
)
Из равенства (4.34) следует, что элементы
ABCD-матрицы взаимного многополюсника удовлетворяют условию
AD
−BC = 1 . (
4.35
)
Для
S- и Т-матриц это условие эквивалентно равенствам
S
i j
=
S
j i
, (
4.36
)
T
11
T
22
− T
12
T
21
= 1. (4.37)

62
Формула (4.34), выражающая принцип взаимности, является частным случаем некоторых общих соотношений, изучаемых в статистической физи- ке, которые называют соотношениями взаимности Онсагера для обобщенной восприимчивости [12]. Эти соотношения вытекают из инвари- антности уравнений движения физической системы относительно обращения знака времени с одновременным изменением знака магнитного поля.
Принцип взаимности, согласно соотношениям взаимности Онсагера, распространяется лишь на те системы, которые описываются физическими уравнениями, являющимися инвариантными относительно инверсии знака времени. Это значит, что он не работает в системах, содержащих гиротроп- ные среды. Поэтому принцип взаимности нарушается в устройствах СВЧ, содержащих ферриты и другие ферромагнитные материалы, а также плазму, в том числе и полупроводниковую, когда она находится в магнитном поле.
Невзаимными устройствами СВЧ являются ферритовый вентиль, феррито- вый циркулятор, некоторые устройства на поверхностных магнитостатиче- ских волнах и др.
Многополюсник называют симметричным, если перенумерация его входов не приводит к изменению параметров его матриц. Различают геомет- рическую и электрическую симметрию. Электрическая симметрия, не яв- ляющаяся следствием геометрической симметрии, достигается специальным подбором номиналов элементов многополюсника и не является априорно ус- танавливаемой. Напротив, геометрическая симметрия может быть установ- лена заранее, то есть без расчета.
Элементы
ABCD-матрицы симметричного четырехполюсника удовле- творяют условию
A = D. (
4.38
)
Для симметричного четырехполюсника симметрия
S- и Т-матриц выражается формулами
S
11
=
S
2 2
, (
4.39
)
T
21
=
−T
1 2
. (
4.40
)

63
4.2. Расчет ABCD-матрицы отрезка связанных
многопроводных линий
Рассмотрим отрезок связанных многопроводных линий передачи для квазипоперечных волн (см. рис. 4.8). Пусть он содержит
n незаземленных проводников и один заземленный провод (не отображен).
U
1
,
I
1 1
2
3
n
U
2
,
I
2
z
0
l
Рис. 4.8. Отрезок связанных многопроводных линий передачи
Как мы уже знаем, в случае четырехполюсника напряжение
U
1
и ток
I
1
на входе
1
отрезка линии связаны с напряжением
U
2
и током
I
2
на выходе
2
с помощью
ABCD-матрицы равенством (4.1). При этом напряжения U
1
,
U
2
и токи
I
1
,
I
2
, а также параметры
A, B, C и D являются обычными числами, то есть скалярными величинами.
Рассчитаем
ABCD-матрицу для случая n-проводного отрезка линии пе- редачи. В рассматриваемом случае напряжения
U
1
,
U
2
и токи
I
1
,
I
2
являются уже векторами,
i-е составляющие которых равны напряжениям U
1i
,
U
2 i
и токам
I
1 i
,
I
2 i
на
i-м проводнике. Поэтому параметры
A
,
B
,
C
и
D
будут мат- рицами.
Выбирая отсчет фазы в точке
z
= l, формулы (1.53) для распределения тока и напряжения перепишем в виде
[
]
[
]
∑
∑
=
−
−
−
=
−
−
−
−
=
+
=
n
m
l
z
ik
m
im
l
z
ik
m
im
i
n
m
l
z
ik
m
im
l
z
ik
m
im
i
m
m
m
m
X
U
X
U
z
U
X
I
X
I
z
I
1
)
(
отр
)
(
пад
1
)
(
отр
)
(
пад e
e
)
(
,
e e
)
(
(4.41)
Используя (4.41) при
z
= 0 и z = l, получаем