ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.11.2021
Просмотров: 1006
Скачиваний: 1
26
Визначимо фокуси еліпса F
1
(-c; 0) iF
2
(c; 0). Для еліпса справедлива
рівність b
2
= a
2
– c
2
, звідки с
2
= а
2
– b
2
= 9 і c = 3.
Тобто F
1
(-3; 0) iF
2
(3; 0) - фокуси еліпса ( точки F і F
2
співпадають).
Ексцентриситет еліпса ε = с/а = 3/6 = 1/2.
Приклад 2. Знайти геометричне місце точок, однаково віддалених від
точки
( )
0
2
A ;
і прямої
0
1
x
=
+
.
Розв’язання:
Нехай точка
( )
,
M x y
така, що
AM
d
=
, де d – відстань від точки
M
до
прямої
0
1
x
=
+
.
Так
як
(
)
2
2
2
AM
x
y
=
−
+
,
а
1
1
1
x
d
x
+
=
= +
,то
маємо
рівняння
(
)
1
x
y
2
x
2
2
+
=
+
−
, тоді
(
)
(
)
2
2
2
1
x
y
1
x
+
=
+
−
,
звідки
2
2
2
4
4
2
1 0
x
x
y
x
x
−
+ +
− −
− =
.
0
3
x
6
y
2
=
+
−
;
3
x
6
y
2
+
=
;
+
=
2
1
x
6
y
2
, яке визначає на площині параболу.
Площина в просторі
Теоретичні відомості
0
=
+
+
+
D
Cz
By
Ax
– загальне рівняння площини.
1
x
y
z
a
b
c
+ + =
– рівняння площини у відрізках.
1
1
1
2
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
0
x
x
y
y
z
z
x
x
y
y
z
z
x
x
y
y
z
z
−
−
−
−
−
− =
−
−
−
– рівняння площини, яка проходить через
точки
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
; ;
;
;
;
;
;
;
M
x y z
M
x y z
M
x y z
.
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
cos
A A
B B
C C
A
B
C
A
B
C
ϕ
+
+
=
+
+
+
+
– кут між двома площинами.
1
2
1
2
1
2
0
A A
B B
C C
+
+
=
– умова перпендикулярності двох площин.
1
1
1
2
2
2
A
B
C
A
B
C
=
=
– умова паралельності двох площин.
27
Приклади розв’язування типових завдань
Приклад 1.
Скласти рівняння площини, яка проходить через три точки М
1
(1, 1, 1),
М
2
(2, 3, 4), М
3
(4, 3, 1).
Розв’язання.
Підставивши у формулу
1
1
1
2
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
0
x
x
y
y
z
z
x
x
y
y
z
z
x
x
y
y
z
z
−
−
−
−
−
− =
−
−
−
координати заданих
точок, отримаємо:
1
1
1
2 1
3 1
4 1
0
4 1
3 1
1 1
х
у
z
−
−
−
−
−
− =
−
−
−
.
Розкривши визначник, дістанемо рівняння
6
9
4
1 0
х
у
z
−
+
− =
.
Відповідь:
6
9
4
1 0
х
у
z
−
+
− =
.
Приклад 2.
Звести рівняння площини
2
3
6
0
х
у
z
+
+ − =
до вигляду рівняння площини
у відрізках.
Розв’язання.
Для цього поділимо обидві частини рівняння на 6:
1
3
2
6
х
у
z
+ + =
.
Отже, площина перетинає осі координат у точках х = 3, у = 2, z = 6.
Приклад 3.
Скласти
рівняння
площини,
яка
проходить
через
пряму
1
2
3
1
2
1
х
у
z
−
−
−
=
=
−
і точку М
1
(1, 1, 1).
Розв’язання.
Знаходимо загальні рівняння прямої
1
2
1
3
,
1
2
1
1
х
у
х
z
−
−
−
−
=
=
−
або
2
0,
4
0
х
у
х
z
− =
+ − =
.
Утворимо пучок площин
2
(
4)
0
х
у
х
z
λ
− +
+ − =
і визначимо ту з них, якій
належить точка М
1
(1, 1, 1). Маємо
1
1 2
0,
.
2
λ
λ
−
=
=
Остаточно
запишемо
рівняння
шуканої
площини:
1
2
(
4)
0
5
2
4
0.
2
х
у
х
z
x
y
z
− +
+ − =
⇔
−
+ − =
28
Завдання розрахунково-графічних робіт.
Індивідуальне завдання 1.
Варіант 1
1.
Обчислити визначники:
1
4
3
1
3
7
1
1 5
3
1
2
0
)
;
) 8
1
2 ; )
2
1
0
1
2
0
3
6
7
0
0
5
1
a
b
c
−
−
−
−
−
2.
Знайти матрицю, обернену до матриці
2
5
7
6
3
4
5
2
3
A
=
−
−
.
Варіант 2
1.
Обчислити визначники:
0
1
1
2
3
1
2
3
2
2
3
4
0
)
; ) 6
3
4 ; )
7
14
3
2
3
1
5 1
6
0
0
1
3
a
b
c
−
−
−
−
−
−
−
2.
Знайти матрицю, обернену до матриці
3
4
5
2
3
1
3
5
1
A
−
=
−
−
−
.
Варіант 3
1.
Обчислити визначники:
1
1
2
0
2
5
6
3
1
1 2
1 1
)
;
) 2
1
0 ; )
9
6
5
0
1
0
4
8
6
2
1
0
0
a
b
c
−
−
−
−
−
2.
Знайти матрицю, обернену до матриці
2 7
3
3 9
4
1
5
3
A
=
.
Варіант 4
1.
Обчислити визначники:
4
5
1
1
1
7
1
2
9
3
0
0
2
)
; ) 8
0
4 )
3
1
1
1
0
1
5
6
7
2
4
1
0
a
b
c
−
−
−
−
2.
Знайти матрицю, обернену до матриці
1
2
2
2
1
2
2
2
1
A
=
−
−
.
29
Варіант 5
1.
Обчислити визначники:
3
1
2
3
2
4
6
1
3
1
1
2
4
)
;
) 7
0
3 ; )
3
7
0
0
3
2
1
1
7
0
1
1
2
a
b
c
−
−
−
−
−
−
2.
Знайти матрицю, обернену до матриці
3
5
2
1
3
2
6
7
3
A
−
=
−
−
.
Варіант 6
1.
Обчислити визначники:
2
1
1
5
1
2
0
4
1
1
2
1
4
)
; ) 3
1
4 ; )
5
1
0
4
0
4
5
4
9
0
1
2
2
a
b
c
−
−
−
−
−
−
−
−
2.
Знайти матрицю, обернену до матриці
1
1
2
1
1
2
1
1
4
A
−
=
−
.
Варіант 7
1.
Обчислити визначники:
2
1 3
3
1
2
1
2
1
1
3
2
3
)
; ) 4
0
2 ; )
2
13
0
3
1
1
5
2
6
0
0
2
1
a
b
c
−
−
−
−
−
−
−
2.
Знайти матрицю, обернену до матриці
2
3
4
1
2
5
4 7
6
A
=
.
Варіант 8
1.
Обчислити визначники:
1 3
1
1
1
7
1
5
4
5
2
0
2
)
; ) 0
3
4 ; )
4
3
1
1
0
1
5
6
7
3
2
4
0
a
b
c
−
−
−
−
−
−
−
.
2.
Знайти матрицю, обернену до матриці
3
1
2
0
2
1
5
0
3
A
−
=
−
.
30
Варіант 9
1.
Обчислити визначники:
0
1
6
1
2
7
7
5 1
1
4
1
1
)
; ) 1
2
4 ; )
3 1
3
4
3
2
5
0
1
1
0
3
1
a
b
c
−
−
−
−
−
−
−
−
−
.
2.
Знайти матрицю, обернену до матриці
2
1
3
4
2
5
6
1
2
A
−
=
−
.
Варіант 10
1.
Обчислити визначники:
3
2
1 1
3
2
1
3
8
2
3
4
2
)
;
)
8
1
2 ; )
2
1
1 0
1
1
3
6
7
1
4
1 2
a
b
c
−
−
−
−
−
−
−
2.
Знайти матрицю, обернену до матриці
2 1
1
1
0
2
3 1
2
.
Варіант 11
1.
Обчислити визначники:
2
1
1
8
1
5
6
2
7
3
0
2
3
)
;
)
8
0
2 ; )
8
3
0
3
1
2
2
2
7
1
1
2
2
a
b
c
−
−
−
−
−
−
−
.
2.
Знайти матрицю, обернену до матриці
2
1
3
4
0
1
0
3
2
A
−
= −
−
.
Варіант 12
1.
Обчислити визначники:
1
5
1
2
1
7
1
0
4
3
1
2
1
)
;
) 2
4
3 ; )
8
1
2
0
1
3
3
7
7
0
5
2
1
a
b
c
−
−
−
−
−
−
.
2.
Знайти матрицю, обернену до матриці
1
3
0
0
2
1
3
1
1
A
−
=
−
−
−
.