Файл: Механика. Электричество. Магнетизм.doc

тела относительно оси вращения;

 – угловая скорость вращения.

Моментом инерции тела относительно оси z называется скалярная величина:

.

Здесь считается, что мы мысленно разбили тело на очень большое число N оченьмаленьких кусочков, каждый из которых можно считать материальной точкой, при этом

m_i – масса i-го кусочка;

r_i – расстояние от i-го кусочка до оси z.

На самом деле, момент инерции тела относительно оси zесть тройной интеграл, вычисляемый по всему объему тела:



где – плотность тела, в общем случае зависящая от декартовых координат x,y,z.

Момент инерции – величина аддитивная, то есть момент инерции системы из N тел относительно оси равен сумме моментов инерции всех тел системы относительно той же оси:

.

Момент инерции материальной точки относительно оси z, очевидно, равен:

,

где m – масса материальной точки;

r – расстояние от точки до данной оси.

Формулы для вычисления моментов инерции простейших симметричных абсолютно твердых тел приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1

Тело	Параметры тела	Ось z, относительно которой вычислен момент инерции	Момент инерции
Тонкий однородный стержень	m – масса; l – длина	Ось, проходящая перпендикулярно к стержню через его середину
		Ось, проходящая перпендикулярно к стержню через его конец
Тонкий обруч	m – масса; R – радиус	Ось, проходящая через центр перпендикулярно плоскости обруча
Полый тонкостенный цилиндр	m – масса; R – радиус	Ось цилиндра

---

Окончание табл. 2.1

Тело	Параметры тела	Ось z, относительно которой вычислен момент инерции	Момент инерции
Диск	m – масса; R – радиус	Ось, проходящая через центр перпендикулярно плоскости диска
Сплошной цилиндр	m – масса; R – радиус	Ось цилиндра
Сплошной шар	m – масса; R – радиус	Любая ось, проходящая через центр

При вычислении моментов инерции часто используется теорема Штейнера:

, (2.14)

где – момент инерции тела относительно оси O, проходящей через центр масс тела;

– момент инерции тела относительно параллельной осиO', не проходящей через центр масс;

m – масса тела;

a – расстояние между осями O иO'.

В случае, если твердое тело вращается вокруг оси z, его момент импульса относительно этой оси можно вычислить по формуле:

,

где – угловая скорость вращения тела.

Можно показать, что при вращении тела вокруг неподвижной оси под действием силы элементарная работа силы определяется скалярным произведением вектора момента силы на вектор угла поворота тела :

,

где

---

– момент силы относительно оси вращения.

Следовательно, при повороте на конечный угол :

,

а если момент силы постоянен ( ), то

. (2.15)

Экспериментальная установка и метод измерения

На рис. 2.3 представлен маятник Обербека, состоящий из двух стержней и шкива радиусом R, закрепленных на горизонтальной оси вращения. По стержням могут перемещаться и симметрично закрепляются в нужном положении два (по одному на каждом стержне) груза одинаковой массы.

На шкив наматывается нить, к концу которой крепится платформа с грузом. Примем массу платформы m₁, а массу груза m₂, в результате общая масса m = m₁ + m₂.

Если груз m поднять, намотав нить на шкив, на некоторую высоту h₁ и отпустить, то груз придет в движение, а сила натяжения разматывающейся со шкива нити создаст вращающий момент сил . При симметричном расположении грузов на крестовине можно считать, что действующая на маятник сила тяжести приложена к точке на оси вращения, а значит ее момент относительно этой оси равен нулю.



Рис. 2.3. Маятник Обербека
На рис. 2.4 представлены три основных состояния маятника Обербека. Пусть в начальный момент времени (t = 0) неподвижная платформа с грузом находится на высоте h₁. Полная механическая энергия груза будет определяться потенциальной энергией:

. (2.16)

При движении груза потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию платформы с грузом и кинетическую энергию вращения маятника. В момент времени t₁, когда платформа с грузом подходит к нижнему положению, механическая энергия системы «маятник Обербека и платформа с грузом» равна:

---

(2.17)

где – кинетическая энергия поступательного движения платформы с грузом;

– кинетическая энергия вращения маятника Обербека;

I – момент инерции маятника относительно оси вращения;

 – угловая скорость вращения;

v – скорость движения платформы с грузом.


Рис. 2.4. Маятник Обербека в трех основных положениях

В крайнем нижнем положении (когда нить полностью размотана) груз с платформой меняет направление скорости на противоположное. При этом мы полагаем, что модуль скорости, а значит и кинетическая энергия платформы с грузом не меняется, так как считаем нить абсолютно упругой.

При вращении маятника и движении груза действует сила сопротивления воздуха, а в подшипниках действуют силы трения. Сопротивлением воздуха мы пренебрегаем и считаем, что силы трения дают постоянный тормозящий момент M_ТР. Наличие сил трения приводит к тому, что при движении маятника часть механической энергии постоянно переходит во внутреннюю энергию.

Работа момента силы трения при спуске платформы с грузом, в соответствии с (2.15), равна:

(2.18)

где φ₁ – угол поворота шкива при перемещении платформы с грузом на расстояние h₁;

(2.19)

где R – радиус шкива.

Убыль механической энергии системы при спуске платформы равна работе момента неконсервативной силы трения:

(2.20)

где . Отсюда, с учетом (2.16), (2.17), (2.18) и (2.19), получим:

(2.21)

После того, как груз достигает нижней точки, маятник продолжает вращаться в ту же сторону и поднимает платформу с грузом на высоту h₂, причем h₂ < h₁. При этом система будет обладать механической энергией:

---

. (2.22)

Убыль механической энергии системы равна работе момента сил трения при вращении маятника на всем пути движения груза вниз и вверх:

(2.23)

где – угол поворота маятника при движении груза вниз на расстояние h₁ и вверх на расстояние h₂, исходя из того что , а .

С учетом (2.22) и (2.16), выражение (2.23) записывается так:

(2.24)

Отсюда:

(2.25)

Так как движение груза вниз - равноускоренное с начальной скоростью, равной нулю, то в низшей точке скорость груза:

(2.26)

(2.27)

где а – ускорение платформы с грузом;

t₁ – время опускания груза.

Из уравнений (2.26) и (2.27) можно получить:

(2.28)

Поскольку нить при движении груза разматывается со шкива без скольжения, линейная скорость точек, лежащих на поверхности шкива, равна скорости движения груза. Известно, что модуль угловой скорости связан с модулем линейной скорости движения точки по окружности равенством:

(2.29)

Подставив значение линейной скорости (2.28) в (2.29), получим:

(2.30)

Подставив в уравнение (2.21) значения M_ТР (2.25), υ (2.28), ω (2.30), после преобразований получим расчетную формулу для вычисления момента инерции маятника Обербека:

(2.31)
Порядок выполнения лабораторной работы

1. Закрепите грузы на крестовинах на одинаковых расстояниях от оси вращения (рис. 2.3).

---