Файл: Учебное пособие и сборник контрольных заданий для студентов инженерных направлений очной и очнозаочной форм обучения Красноярск, 2020.pdf

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева»
Кафедра технической физики
Л.В. Вопилова, Е.Ю. Юшкова
ФИЗИКА
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
учебное пособие и сборник контрольных заданий для студентов инженерных направлений очной и очно-заочной форм обучения
Красноярск, 2020

2
Вопилова, Л.В.Физика. Колебания и волны:учебное пособие для студентов всех специальностей очной и очно-заочной форм обучения / Л.В.
Вопилова, Е.Ю. Юшкова – Красноярск: СибГТУ, 2020. - 64 с.
Предлагаемое учебное пособие предназначено для студентов, выполняющих контрольные задания по модулю «Физика колебаний и волн».
Пособие содержит основные формулы по данным темам, примеры решения задач, а также контрольные задания.
В конце учебного пособия имеется таблица вариантов. Номер варианта для решения контрольных заданий предлагает преподаватель. Также в конце учебного пособия имеется библиографический список и справочные приложения, необходимые для решения задач.
Рецензенты:
Л.В. Вопилова, Е.Ю. Юшкова 2019
ФБГОУ ВО «Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М.Ф. Решетнева», 2020

3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
5
Тема 1 Свободные гармонические колебания
6
Краткие теоретические сведения
6
Примеры решения задач
7
Задачи
7
Тема 2 Энергия колебаний
10
Краткие теоретические сведения
10
Примеры решения задач
11
Задачи
11
Тема 3 Механические гармонические осцилляторы
14
Краткие теоретические сведения
14
Примеры решения задач
15
Задачи
15
Тема 4 Сложение колебаний
18
Краткие теоретические сведения
18
Примеры решения задач
19
Задачи
20
Тема 5 Затухающие и вынужденные колебания
23
Краткие теоретические сведения
23
Примеры решения задач
25
Задачи
26
Тема 6 Волны. Упругие волны
28
Краткие теоретические сведения
28
Примеры решения задач
30
Задачи
32
Тема 7 Электромагнитные колебания и волны
34
Краткие теоретические сведения
34
Примеры решения задач
36
Задачи
37
Тема 8 Интерференция света
40
Краткие теоретические сведения
40
Примеры решения задач
42
Задачи
42
Тема 9 Дифракция электромагнитных волн
46
Краткие теоретические сведения
46
Примеры решения задач
47
Задачи
48
Тема 10 Поляризация света
51
Краткие теоретические сведения
51
Примеры решения задач
52
Задачи
53

4
Таблица вариантов
57
Библиографический список
60
Приложение А (справочное) Таблицы физических величин
61
Приложение Б (справочное) Некоторые физические формулы
62
Приложение В (справочное) Полезные математические формулы
63

5
ПРЕДИСЛОВИЕ
Решение задач является важнейшей частью процесса освоения дисциплины «Физика». Именно рассуждения при решении задач помогают студенту усваивать теоретический материал. Решение задач направлено на проверку понимания физических законов и явлений.
Учебное пособие и сборник контрольных заданий по разделу
«Колебания и волны» предназначен для студентов инженерных специальностей нашего университета. Сборник содержит 310 задач по всем темам раздела.
Для удобства и экономии времени в начале каждого раздела приведены основные формулы. Формулы приведены без подробных пояснений.
Предполагается, что студент приступает к решению задач после освоения соответствующего материала. Задачи сопровождаются ответом. Напомним, что при подстановке в формулы численных значений необходимо пользоваться системой СИ.
Каждый студент должен решить 10 задач по следующим темам:
№ темы
Название темы
1
Свободные гармонические колебания
2
Энергия колебаний
3
Механические гармонические осцилляторы
4
Сложение колебаний
5
Затухающие и вынужденные колебания
6
Волны. Упругие волны
7
Электромагнитные колебания и волны
8
Интерференция света
9
Дифракция электромагнитных волн
10
Поляризация света
Набор задач определяется вариантом, номер которого студенту предлагает преподаватель. Студент решает задачи самостоятельно, оформляя их по указанию преподавателя в тетради или на отдельных листах. Форму отчетности по решенным задачам определяет преподаватель.
В приложениях приведены справочные материалы, которые могут понадобиться при решении задач.
Библиографический список включает учебники и учебные пособия, имеющиеся в библиотеке СибГУ.

6
ТЕМА 1 СВОБОДНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Краткие теоретические сведения
1. Колебаниями называются движения или процессы, обладающие определенной повторяемостью во времени. Колебания называются
гармоническиим, если колеблющаяся величина s изменяется со временем по закону синуса (косинуса):
s = A cos (ω
0
t+φ
0
)
(1.1.1)
s = A sin(ω
0
t+φ
0
).
(1.1.2)
Здесь А – амплитуда колебаний, ω
0
– круговая (циклическая частота), φ
0
– начальная фаза колебаний. Выражения (1.1.1) и (1.1.2) отличаются друг от друга фазой колебаний в момент времени t = 0.
В данном учебном пособии (если не оговорено особо) при решении задач используется выражение (1.1.1).
2. Свободные гармонические колебания описываются дифференциальным
уравнением гармонических колебании:
0 2
0 2
2





s
t
s
(1.2)
Выражения (1.1.1) и (1.1.2) являются решением этого дифференциального уравнения.
3. Период колебаний T, частота колебаний ν и угловая частота ω
0
связаны между собой соотношениями:
ν=1/Т;
ω
0
=2π/T.
(1.3)
3. Если материальная точка совершает механические гармонические колебания, то по гармоническому закону изменяется ее координата x, скорость v и ускорение a:
x = A cos (ω
0
t+φ
0
);
(1.3.1)
v = –A ω
0
sin(ω
0
t+φ
0
);
(1.3.2)
a = –A ω
0 2
cos (ω
0
t+φ
0
).
(1.3.3)
Аналогично можно получить формулы скорости и ускорения материальной точки, если принять уравнение координаты в виде (1.1.2)

7
Примеры решения задач
Задача 1.1
Уравнение движения точки дано в виде x = A sin (π/6)t. Найти моменты времени, в которые достигаются максимальная скорость и максимальное ускорение.
Решение
Скорость точки v =( π/6) cos(π/6)t. Скорость будет максимальной при условии cos(π/6)t = 1. Т.е. когда (π/6)t = n π, где n = 0,1,2,… Таким образом максимальная скорость достигается в моменты времени 0, 6,12 с.
Ускорение будет максимальным при условии sin (π/6)t = 1. Т.е. при условии
(π/6)t = (2n + 1) π/2. Таким образом максимальное ускорение достигается в моменты времени 3, 9, 15 с.
Задача 1.2
Написать уравнение гармонического колебания с амплитудой 5 см, если в 1 минуту совершается N = 150 колебаний и начальная фаза колебаний равна
45°
Решение
Для записи уравнения гармонического колебания необходимо перевести в систему СИ значения амплитуды, начальной фазы и времени. Амплитуда равна 0,05 м, начальная фаза равна π/4, время равно 60 с.
Собственная циклическая частота колебаний ω
0
= 2π/Т. Период колебаний найдем из условий задачи Т = t/ N. Тогда ω
0
= 2π N/t =5π.
Тогда уравнение гармонического колебания x = 0,05 cos(5πt+ π/4) м.
Задачи
1. Записать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой 5 см, если за одну минуту совершается 120 колебаний.
Начальная фаза колебаний равна 45°. Определить максимальное ускорение.
(7,9 м/с
2
)
2. Записать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой 10 см, периодом 4 с и начальной фазой колебаний, равной нулю.
Определить первые три момента времени, в которые модуль скорости достигает максимального значения. (1 с ; 2 с; 3 с)
3. Через сколько времени после начала движения материальная точка, совершающая гармонические колебания, сместится от положения равновесия на половину амплитуды? Период колебаний равен 24 с, начальная фаза равна нулю. (4 с)
4. Записать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой 25 см, угловой частотой 4π рад/с и начальной фазой 0,5π рад.
Найти первые три момента времени, в которые модуль ускорения достигает максимального значения. (0,125 с; 0.375 с; 0.625 с)

8 5. Начальная фаза гармонического колебания равна нулю. Через какую долю периода колебаний скорость точки будет равна половине ее максимальной скорости? (T/12).
6.
Записать уравнение гармонического колебательного движения материальной точки, если ее смещение от положения равновесия в начальный момент времени составляет 30 см, максимальное ускорение равно
30 см/c
2
. Определить период колебаний. (6,3 с)
7. Через сколько времени от начала движения точка, совершающая колебательное движение по закону s=0,7sin0,5πt (м), проходит путь от положения равновесия до максимального смещения? Определить ускорение точки в точке максимального смещения. (1 с; 1,73 м/с
2
)
8.
Записать уравнение гармонического колебательного движения материальной точки с амплитудой 50 см, периодом колебаний 10 с и начальной фазой 30°. Определить максимальную скорость точки. (0,314 м/с
2
)
9. Записать уравнение гармонического колебательного движения материальной точки массой 10 г, если период колебаний составляет 20 с, амплитуда колебаний 1 м, начальная фаза 45°. Определить максимальную силу, действующую на точку. (1 мН)
10. Записать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой 5 см, периодом колебаний 2 с и начальной фазой, равной 0.
Найти скорость точки в момент времени, когда ее смещение от положения равновесия равно 2,5 см. (– 0,136 м/с)
11. Под действием силы, максимальной значение которой составляет 0,03 Н, материальная точка массой 480 г совершает гармоническое колебательное движение с амплитудой 25 см. Определить период колебания. Записать уравнение движения. Начальная фаза равна 0. (12,6 с)
12. Записать уравнение гармонического колебательного движения материальной точки, если ее максимальная скорость равна 6,28 м/с, период колебаний 10 с и начальная фаза колебаний 30°. Определить ускорение точки в момент времени 5 с. (3,4 м/с
2
)
13. Записать уравнение гармонического колебательного движения материальной точки с амплитудой 10 см, угловой частотой 3 рад/с и начальной фазой 45°. Определить ускорение точки в момент времени, когда смещение составляет 5 см. (– 0,45 м/с
2
)
14. Начальная фаза гармонического колебания равна нулю. При смещении точки от положения равновесия, равном 2,4 см, скорость точки равна 3 см/с.
При смещении, равном 2,8 см, скорость равна 2 см/с. Найти амплитуду и период этого колебания. Записать уравнение колебательного движения.
(3,1 см; 4,1 с).
15. Материальная точка совершает колебания согласно уравнению s=Asinωt.
В некоторый момент времени смещение точки от положения равновесия составило 15 см. При возрастании фазы колебаний в 2 раза смещение оказалось равным 24 см. Определить амплитуду колебаний. (25 см)

9 16. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой
10 см, периодом 5 с и начальной фазой π/3. Определить максимальную скорость и максимальное ускорение точки. В какие моменты времени достигается максимальное смещение? (0,126 м/с; 0,158 м/с
2
)
17. Материальная точка совершает колебания, при этом ее скорость изменяется со временем согласно уравнению v=−6sin2πt (м/с). Записать уравнение гармонического колебательного движения. Определить модуль максимального ускорения точки. (37,8 м/с
2
)
18. Материальная точка совершает гармонические колебания согласно уравнению s=0,02cos(πt+π/2) (м). Через сколько времени после начала отсчета точка в первый раз пройдет положение равновесия? Чему в этот момент будет равна скорость точки? (1 с; 0,0628 м/с)
19. Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой
1 Гц, в момент времени t=0 имеет смещение 5 см и скорость 15 см/с.
Определить амплитуду колебаний. (5,54 см)
20. Уравнение колебаний материальной точки массой 16 г имеет вид
s=0,01sin(0,125πt+π/4) (м). Построить график зависимости от времени (в пределах одного периода) силы, действующей на точку. Найти значение максимальной силы. (2,46×10
-5
Н)
21. Материальная точка совершает гармонические колебания с начальной фазой, равной нулю. Через 1 с после начала движения точка сместилась от положения равновесия на половину амплитуды. Определить период колебаний. (6 с)
22. Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой
0,5 Гц и амплитудой 50 мм. Начальная фаза колебаний равна нулю.
Определить смещение точки от положения равновесия в момент времени, когда ее скорость равна 13,6 см/с. (0,025 м)
23. Записать уравнение гармонического колебания точки с амплитудой 30 см, угловой частотой 31 рад/с и начальной фазой, равной нулю. Определить модуль ускорения точки в момент времени, когда смещение равно 20 см.
(192,2 м/с
2
)
24. Записать уравнение гармонического колебания точки с амплитудой 50 см, начальной фазой, равной нулю. Известно, что за 10 с точка совершает 20 колебаний. Найти первые три момента времени, в которые на точку действует максимальная по модулю сила. (0,25 с; 0,5 с; 0,75 с)
25. Материальная точка совершает гармонические колебания с периодом 2 с, начальной фазой π/4 и максимальным ускорением 19,72 м/с
2
. Определить максимальную скорость.
Записать уравнение соответствующего гармонического колебания. (6,28 м/с)
26.Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой
20 см, угловой частотой 20 рад/с и начальной фазой, равной нулю. Записать уравнение колебаний. Определить скорость точки в момент времени, когда фаза колебания равна π/6. (– 2 м/с)

10 27. Записать уравнение гармонического колебания точки, если ее максимальная скорость равна 0,314 м/с, начальная фаза равна 60° и за 60 с точка совершает 3 колебания. Определить ускорение точки в момент времени
10 с. (0,049 м/с
2
)
28. Материальная точка массой 20 г совершает гармонические колебания с угловой частотой 15 рад/с и начальной фазой, равной π/6. Максимальная скорость точки составляет 3 м/с. Записать уравнение колебаний. Определить максимальную силу, действующую на точку. (0,9 Н)
29. Материальная точка массой 0,125 кг совершает гармонические колебания с амплитудой 20 см и начальной фазой, равной π/10. Максимальное значение силы, действующей на точку, составляет 10 Н. Записать уравнение колебаний. В какой момент времени после начала колебаний сила в первый раз будет иметь максимальное значение? (0,14 с)
30. Начертить на одном графике два гармонических колебания с одинаковыми амплитудами, равными 2 см, и одинаковыми периодами, равными 8 с, но имеющими разность фаз: 1) π/4; 2) π/2; 3) π; 4) 2π.
ТЕМА 2 ЭНЕРГИЯ КОЛЕБАНИЙ
Краткие теоретические сведения
1. Кинетическая энергия материальной точки массой m, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равна:
)
(
sin
2 2
0 0
2 2
0 2
2






t
mA
mv
W
k
(2.1)
2. Потенциальная энергия материальной точки массой m, совершающей гармонические колебания, равна:
)
(
cos
2 0
0 2
2 0
2





t
mA
W
p
(2.2)
3. Полная энергия материальной точки массой m, совершающей гармонические колебания, равна:
2 2
0 2




mA
W
W
W
p
k
(2.3)

11
Примеры решения задач
Задача 2.1
Амплитуда гармонических колебаний материальной точки равна 2 см.
Полная энергия колебаний 3×10
-7
Дж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила 1,5×10
-5
Н?
Решение
Полная энергия точки.
2 2
0 2




mA
W
W
W
p
k
Сила, действующая на точку F = ma = m
0
2
x. Отсюда x = F/m
0
2
. Выразим из формулы полной энергии m
0
2
= 2W/A
2
и подставим в выражение для х. Получим x=FA
2
/2W.
Подставив числа, получаем х = 0,01 м.
Задача 2.2
Материальная точка массой m = 10 г совершает гармонические колебания с частотой  =0,2 Гц. Амплитуда колебания равна 5 см.
Определить максимальное значение силы, действующей на материальную точку и ее полную энергию.
Решение:
Уравнение гармонического колебания
).
cos(
0




t
A
x
Тогда скорость и ускорение колеблющейся точки
);
sin(
0







t
A
dt
dx
V
).
cos(
0 2







t
A
dt
dV
a
Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на точку,
).
cos(
0 2







t
m
A
ma
F
max
F
F 
при
,
1
)
cos(
0




t
поэтому искомое максимальное значение силы
Am
m
A
F
2 2
2
max
4 




Полная энергия колеблющейся точки
2 2
1 2
2 2
max max




mA
V
m
T
E
2 2
2 2
A
m 


Проведя вычисления, получаем: мкДж
7
,
19
;
мН
8
,
0
max


E
F
Задачи
1. Материальная точка массой 100 г совершает гармонические колебания по закону s=5cosπt (м). Записать выражения для потенциальной, кинетической и полной энергии точки. Определить полную энергию точки. (12,3 Дж)