Файл: Учебное пособие и сборник контрольных заданий для студентов инженерных направлений очной и очнозаочной форм обучения Красноярск, 2020.pdf

17 17. Стержень длиной 50 см подвешен на нити длиной 20 см на гвоздь, вбитый в стену. Стержень совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Определить период колебаний стержня. (1,41 с)
18. Роль физического маятника выполняет тонкий стержень, подвешенный за один из его концов. При какой длине стержня период колебаний этого маятника будет равен 1 с? (0,37 м)
19. Физический маятник представляет собой стержень длиной 1 м и массой
600 г, к одному из концов которого прикреплен шар массой 200 г и радиусом
35 см. Маятник совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. Определить период колебаний. (2,2 с)
20. На стержне длиной 1м и массой m укреплены два груза: один в центре стержня массой m, другой массой 2m на одном из его концов. Стержень с грузами колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Считая грузы материальными точками, определить частоту колебаний такой системы. (0,54 Гц)
21. Математический маятник длиной 50 см подвешен в кабине самолета.
Найти период колебаний маятника, если самолет движется: 1) равномерно;
2) горизонтально с ускорением 2,5 м/с
2
; 3) взлетает под углом к горизонту с вертикальной составляющей ускорения 2,5 м/с
2
. (1,42 с; 1,42 с; 1,27 с)
22. При подвешивании грузов массами 600 г и 400 г к свободным вертикальным пружинам последние одинаково удлинились на 10 см.
Определить периоды колебаний грузов. Какой из грузов при одинаковых амплитудах обладает большей энергией? (T
1
= T
2
= 0,63 с)
23. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень.
Частота колебаний маятника максимальна, когда точка подвеса находится на
20,2 см ниже центра масс. Определить длину стержня. (0,7 м)
24. К пружине подвешен груз 10 кг. Зная, что пружина под влиянием силы в
9,8 Н растягивается на 1,5 см, определить период и частоту вертикальных колебаний груза. (0,78 с; 1,28 Гц)
25. К пружине подвешена чашка весов с гирями. Период вертикальных колебаний составляет 0,5 с. После того, как на чашку весов положили дополнительные гири, период колебаний увеличился до 0,6 с. На сколько удлинилась пружина от прибавления добавочного груза? (2,7 см)
26. Набухшее бревно, сечение которого одинаково по всей длине, погрузилось в воду вертикально так, что над водой находится лишь малая (по сравнению с длиной) его часть. Бревно совершает малые вертикальные колебания с периодом 2 с. Определить длину бревна, если плотность древесины 200 кг/м
3
.(5 м)

18
ТЕМА 4 СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ
Краткие теоретические сведения
1. При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты получается гармоническое колебание той же частоты с амплитудой





cos
2 2
1 2
2 2
1
A
A
A
A
A
,
(4.1) и с начальной фазой φ, определяемой из уравнения
2 2
1 1
2 2
1 1
cos cos sin sin








A
A
A
A
tg
(4,2)
Здесь A
1
и A
2
– амплитуды складываемых колебаний, Δφ=(φ
2
– φ
1
) – разность их начальных фаз.
2. При сложении колебаний одного направления с мало отличающимися частотами Δω = ω
2
– ω
1
(Δω « ω) возникают биения. Период биений
T=2π/Δω.
(4,3)
3. При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинакового периода уравнение траектории результирующего движения имеет вид:
)
(
sin
)
cos(
2 1
2 2
1 2
2 2
2 2









B
A
xy
B
y
A
x
,
(4.4) где А и В – амплитуды, а φ
1 и φ
2
– начальные фазы складываемых колебаний.
Физический интерес представляют два частных случая: а) Линейно поляризованные колебания
α=mπ (m=0, ±1, ±2, …).
Уравнение результирующего колебания имеет вид
y=±(B/A)x.
(4.5) б) Циркулярно поляризованные колебания
α=(2m+1)π/2 (m=0, ±1, ±2, …).
Уравнение результирующего колебания имеет вид
1 2
2 2
2


B
y
A
x
(4.5)

19
Примеры решения задач
Задача 4.1
Складываются два колебания одинакового направления, выражаемых уравнениями
)
cos(
),
cos(
2 2
2 1
1 1








t
A
x
t
A
x
, где А
1
= 1 см, А
2
= 2 см,
;
2 1
;
6 1
2 1
c
c




1




c
. Определить начальные фазы
1

и
2

складываемых колебаний, найти амплитуду А и начальную фазу

результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания.
Решение.
Уравнение гармонического колебания имеет вид
).
cos(




t
A
x
(1)
Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду:
)
cos(
),
cos(
2 2
2 1
1 1








t
A
x
t
A
x
(2)
Из сравнения выражений (2) и (1) находим начальные фазы первого и второго колебаний:
6
/
1 1





рад и
2
/
2 2





рад.
Для определения амплитуды A результирующего колебания воспользуемся векторной диаграммой, представленной на рисунке. Согласно теореме косинусов





cos
2 2
1 2
2 2
1
A
A
A
A
A
,
(3) где 

 разность фаз составляющих колебаний.
Так как  = 
2
– 
1
, то подставляя найденные значения 
1
и 
2
, получим
 = /3 рад. Теперь подставим значения A
1
, A
2
и  в формулу (3), произведем вычисления и получим A = 0,0265 м.
Тангенс начальной фазы  результирующего колебания определим из рисунка: tg
,
cos cos sin sin
2 2
1 1
2 2
1 1








A
A
A
A
откуда начальная фаза

=arctg cos cos sin sin
2 2
1 1
2 2
1 1






A
A
A
A
Подставим значения
2 1
2 1
,
,
,


A
A
и произведем вычисления, получим

=arctg
)
3
/
5
(
=70,9=0,394 рад .

20
Т.к. циклические частоты складываемых колебаний одинаковы, то результирующее колебание будет иметь ту же частоту . Это позволяет написать уравнение результирующего колебания в виде
),
cos(




t
A
x
где A = 0,0265 м, =  с
1
,



394
,
0
рад.
Задача 4.2
В результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами и одинаковыми периодами получается результирующее колебание с тем же периодом и той же амплитудой. Найти разность фаз складываемых колебаний.
Решение
Амплитуда результирующего колебания, получающегося в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний





cos
2 2
1 2
2 2
1
A
A
A
A
A
Учтем, что все амплитуды, согласно условию задачи, равны и возведем в квадрат обе части уравнения.
А
2
= 2А
2
+ 2А
2
cosΔφ.
Отсюда cosΔφ = – 0,5, а Δφ = 2π/3.
Задачи
1. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами. При какой разности фаз этих колебаний результирующее колебание будет иметь минимальную амплитуду? При какой разности фаз амплитуда результирующего колебания будет максимальна? (π/2; 0)
2. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми частотами и равными амплитудами. Определить амплитуду результирующего колебания, если разность фаз колебаний равна π/2. (А
2
)
3. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми частотами и амплитудами 10 см и 6 см соответственно.
Амплитуда результирующего колебания равна 14 см. Найти разность фаз складываемых колебаний. (π/6)
4. Два гармонических колебания одного направления с одинаковыми частотами и равными амплитудами складываются в одно колебание той же амплитуды. Найти разность фаз складываемых колебаний. (2π/3)
5. Два гармонических колебания одного направления одинакового периода с амплитудами 4 см и 8 см имеют разность фаз 45°. Определить амплитуду результирующего колебания. (11,2 см)
6. Амплитуда результирующего колебания, полученного при сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты с разностью фаз 60°, равна 6 см. Определить амплитуду второго колебания, если амплитуда первого составляет 5 см. (1,65 см)

21 7. Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода T=4 c и одинаковой амплитуды А=5 см составляет π/4.
Определить амплитуду и циклическую частоту результирующего колебания.
Написать уравнение движения, получающегося в результате сложения этих колебаний, если начальная фаза одного из них равна нулю. (0,092 м; π/2)
8. Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения двух одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями: x
1
=0,02sin(5πt+π/2) (м) и x
2
=0,03sin(5πt+π/4) (м).
(4,6 см; 63°)
9. Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного при сложении двух колебаний одинакового направления, заданных уравнениями: x
1
=4sin πt (см)и x
2
=3sin(πt+π/2) (см). Записать уравнение результирующего колебания. (5 см; 37°)
10. Даны два гармонических колебания x
1
=3 sin 4πt (см) и x
2
=6 sin 10πt (см).
Построить графики этих колебаний. Сложив графически эти колебания, построить график результирующего колебания.
11. Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного при сложении двух колебаний одинакового направления, описываемых уравнениями: x
1
=3cos2πt (см)и x
2
=3сos(2πt+π/4) (см). Записать уравнение результирующего колебания. (5,5 см; 22,3°)
12. Складываются два гармонических колебания одного направления, описываемых уравнениями: x
1
=10 cosω(t+τ
1
) (см)и x
2
=20 cosω(t+τ
2
) (см), где
ω=π с
-1
, τ
1
=1/6 с, τ
2
=0,5 с. Определить начальные фазы складываемых и результирующего колебаний. (π/6; π/2; 71°)
13. Складываются два гармонических колебания одного направления, описываемых уравнениями: x
1
=10 cosωt (см) и x
2
=10 cosω(t+τ) (см), где
ω=π/4 с
-1
, τ=4 с. Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. (0; 0)
14. При сложении двух колебаний одинакового направления с одинаковыми частотами ω=π с
-1
и одинаковыми начальными фазами φ=45° амплитуда результирующего колебания оказалась равной 10 см. Определить амплитуду второго колебания, если амплитуда первого равна 6 см. Записать уравнение результирующего колебания. (4 см)
15. Два одинаково направленных гармонических колебания одной частоты с амплитудами 10 см и 5 см складываются в одно колебание с амплитудой 13,2 см. Начальная фаза первого колебания равна π/18. Определить разность фаз складываемых колебаний и начальную фазу результирующего колебания.
(60,5°; 25,8°)
16. Два гармонических колебания одного направления имеют одинаковые амплитуды и периоды. При их сложении получилось колебание с амплитудой в 1,2 раза больше амплитуды складываемых колебаний. Найти разность фаз складываемых колебаний. (106,3°)

22 17. Два гармонических колебания x
1
=cos2πt (см)и x
2
=2сos2πt (см) совершаются в одном направлении. Построить графики этих колебаний и график результирующего колебания.
Определить амплитуду результирующего колебания. (3 см)
18. Колебание дано в виде уравнения x=А sin 2πν
1
t, где А изменяется со временем по закону A=A
0
(1+cos2πν
2
t). Здесь A
0
– постоянная величина.
Найти, из каких гармонических колебаний состоит заданное колебание.
Построить график составляющих и результирующего колебаний для следующих значений параметров: A
0
=4 см, ν
1
=2 Гц, ν
2
=1 Гц.
19. Частоты колебаний двух одновременно звучащих камертонов настроены соответственно на 560 и 560,5 Гц. Определить период биений. (2 с)
20. В результате сложения двух колебаний, период одного из которых 0,02 с, получают биения с периодом 0,2 с. Определить период второго складываемого колебания. (22,2 мс)
21. Результирующее колебание, получающееся при сложении двух гармонических колебаний одного направления с одинаковыми амплитудами описывается уравнением: x=Acost×cos45t (время выражено в секундах).
Определить циклические частоты складываемых колебаний и период биений результирующего колебания. (46 с
-1
; 44 с
-1
; 3,14 с)
22. Материальная точка участвует в двух колебаний одинаковой частоты с одинаковыми начальными фазами. Амплитуды колебаний равны 3 см и 4 см соответственно. Найти амплитуду результирующего колебания, если:
1) колебания совершаются в одном направлении; 2) колебания взаимно перпендикулярны. (7 см; 5 см)
23. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях: x=2sinωt (м)и y=2cosωt (м). Найти траекторию движения точки.
24. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях: x=cosπt и y=cosπt/2. Найти траекторию движения точки и вычертить ее с нанесением масштаба.
25. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях: x=sinπt и y=2sin(πt+π/2). Найти траекторию движения точки и вычертить ее с нанесением масштаба.
26. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях: x=sinπt и y=4sin(πt+π). Найти траекторию движения точки и вычертить ее с нанесением масштаба.
27. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях: x= 20sinωt и y=20sin2ωt. Найти траекторию движения точки и вычертить ее с нанесением масштаба.
28. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях x=cos2πt и y=cosπt. Найти траекторию движения точки и вычертить ее с нанесением масштаба.

23 29. Складываются два взаимно перпендикулярных колебания с одинаковыми частотами 1 Гц и одинаковыми начальными фазами 30°. Амплитуда первого колебания 10 см, амплитуда второго – 4 см. Записать уравнение результирующего колебания.
30. Найти уравнение траектории материальной точки, участвующей одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях x=0,5cosπt (м) и
y=0,1cos0,5πt (м).