Файл: Учебное пособие и сборник контрольных заданий для студентов инженерных направлений очной и очнозаочной форм обучения Красноярск, 2020.pdf

12 2. Материальная точка массой 50 г совершает гармонические колебания по закону s=25sin2πt (см). Записать выражения для потенциальной, кинетической и полной энергии точки. Определить максимальную кинетическую энергию точки. (61,5 мДж)
3. Материальная точка массой 200 г совершает гармонические колебания по закону s=3cos(4πt+π/2) (см). Записать выражения для потенциальной, кинетической и полной энергии точки. Определить максимальную потенциальную энергию точки. (14,2 мДж)
4. Математический маятник совершает гармонические колебания с амплитудой 5 см и начальной фазой равной нулю. Длина нити маятника 1 м.
Определить наибольшую высоту подъема маятника. В какой момент времени кинетическая энергия маятника в первый раз будет равна нулю? (5 см; 0,5 с)
5. Частота свободных колебаний гармонического осциллятора составляет
50 с
-1
. Через какое наименьшее время кинетическая энергия осциллятора уменьшится от наибольшего значения до его половины? (2,5 мс)
6. Частота свободных колебаний гармонического осциллятора составляет
90 с
-1
. Через какое наименьшее время потенциальная энергия осциллятора уменьшится от наибольшего значения до его четверти? (1,85 мс)
7. Материальная точка массой 15 г совершает колебания по закону
s=0,3cosπt (м). Найти возвращающую силу и полную энергию колебаний точки в момент времени t=2 с. (44,4 мН; 6,6 мДж)
8. Материальная точка массой 30 г совершает колебания по закону
s=0,1sin2πt (м). Найти кинетическую, потенциальную и полную энергии точки в момент времени t=1 с. (5,9 мДж; 0; 5,9 мДж)
9. Материальная точка массой 50 г совершает колебания по закону
s=0,5cos4πt (м). Найти кинетическую, потенциальную и полную энергии точки в момент времени t=2 с. (0; 0,986 Дж; 0,986 Дж)
10. Гиря, подвешенная к пружине, колеблется по вертикали с амплитудой
5 см. Определить полную энергию колебаний гири, если жесткость пружины составляет 1 кН/м. (1,25 Дж)
11. Гиря, подвешенная к пружине, колеблется по вертикали с амплитудой
10 см. Определить жесткость пружины, если максимальная кинетическая энергия гири составляет 1,8 Дж. (360 Н/м)
12. Математический маятник совершает гармонические колебания с начальной фазой, равной 0. Найти отношение кинетической энергии маятника к его полной энергии для моментов времени t=T/16 c и t=T/8 с.
(0,146; 0,5)
13. Полная энергия тела, совершающего гармоническое колебательное движение, составляет 0,4 мДж, при этом максимальная сила, действующая на тело, равна 4 мН. Записать уравнение движения тела, если период колебаний равен 1 с, начальная фаза 60°.
14. Материальная точка совершает гармонические колебания. Определить отношение кинетической энергии точки к ее потенциальной энергии для

13
моментов времени 1) t=T/12; 2) t=T/8; 3) t=T/6. Начальная фаза колебаний равна нулю. (3; 1; 1/3)
15. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой
A. Определить отношение кинетической энергии точки к ее потенциальной энергии для моментов времени, когда смещение s точки от положения равновесия составляет: 1) s=A/4; 2) s=A/2; 3) s=A. (15; 3; 0)
16. Амплитуда гармонических колебаний материальной точки 12 см, полная энергия 3×10
-7
Дж. Определить модуль смещения точки от положения равновесия, если на нее действует сила 2,25×10
-5
Н. (0,054 м)
17. Математический маятник с длиной нити 2,5 м отклоняют на 5° от вертикали и наблюдают его колебания. Найти скорость маятника при прохождении им положения равновесия и максимальную высоту подъема.
(0,43 м/с; 9,5 мм)
18. К вертикальной пружине подвешен груз 10 кг. Зная, что пружина под действием силы 10 Н растягивается на 2 см, определить период и полную энергию колебаний груза. (0,89 с; 9,6 Дж)
19. Материальная точка совершает колебания по закону s=0,08cos6πt (м). В момент, когда возвращающая сила в первый раз достигла значения 5 мН, потенциальная энергия точки составила 100 мкДж. Определить этот момент времени и соответствующую ему фазу колебаний. (4,7 с; 28π)
20. Материальная точка массой 10 г совершает колебания по закону
s=0,2cos(2πt+π/2) (м). Определить полную энергию точки и действующую на нее силу в момент времени t=1 с. (7,9 мДж; 0)
21. Шарик массой 100 г, подвешенный на нити длиной 2 м, отклоняют на 4° от вертикали и наблюдают его колебания. Определить скорость шарика при прохождении им положения равновесия и его максимальную потенциальную энергию. (0,31 м/с; 3,9 мДж)
22. К вертикальной пружине подвешен груз, совершающий колебания с амплитудой 3 см. Максимальная кинетическая энергия колебаний груза составляет 0,9 Дж. Определить жесткость пружины. (200 Н/м)
23. К вертикальной пружине подвешен груз, совершающий колебания с амплитудой 5 см. Максимальная потенциальная энергия колебаний груза составляет 1 Дж. Определить жесткость пружины. (800 Н/м)
24. Материальная точка совершает колебания по закону s=0,1cosπt (м). В момент, когда возвращающая сила в первый раз достигла значения 10 мН, кинетическая энергия точки составила 500 мкДж. Определить этот момент времени и соответствующую ему фазу колебаний. (1 с; 2π)
25. Материальная точка массой 10 г совершает гармонические колебания согласно уравнению s=5sin(5πt+π/4) (см). Найти максимальную силу, действующую на точку и полную энергию колебаний. (0,123 Н)
26. Уравнение колебаний материальной точки массой 16 г имеет вид
s=2sin(0,25πt+ π/4) (см). Построить график зависимости от времени (в

14
пределах одного периода) кинетической, потенциальной и полной энергий точки.
27. Материальная точка совершает гармонические колебания. Определить отношение кинетической энергии точки к ее потенциальной энергии для момента времени, когда фаза колебаний равна π/6. (0,33)
28. Два математических маятника, имеющие одинаковые массы, но разную длину (l
1
> l
2
), колеблются с одинаковыми угловыми амплитудами. У какого маятника полная энергия колебаний больше?
29. Два маятника − физический в виде однородного стержня и математический, − обладающие одинаковой массой и одинаковой длиной, колеблются с одинаковыми угловыми амплитудами. Физический маятник колеблется относительно горизонтальной оси, проходящей через его конец. У какого маятника энергия колебаний больше? Во сколько раз? (В 3 раза)
30. Материальная точка массой 50 г совершает гармонические колебания по закону
s=0,1cos(4πt+π/4)
(м).
Определить возвращающую силу, действующую на точку в момент времени 3 с и полную энергию колебаний.
(11 Н; 40 мДж)

15 4. Период колебаний пружинного маятника массой m
k
m
T

2

,
(3.4) где k – жесткость пружины.
Примеры решения задач
Задача 3.1
Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень.
Определить длину стержня, если частота колебаний маятника максимальна, когда точка подвеса находится на расстоянии х = 0,2 м от центра масс.
Решение
Период колебаний физического маятника
g
L
mgx
I
T




2 2
Согласно теореме Штейнера, момент инерции стержня относительно точки подвеса, отстоящей от центра масс на расстоянии х, I = ml
2
/12 + mx
2
Подставив в формулу периода колебаний, получим
Т = 2π
. Найдем экстремум этой функции.
=
=
= 0. Отсюда
− 12
= 0. = 2 √3. Вычисляя, получим l = 0,69 м.
Задачи
1. Медный шарик, подвешенный к пружине, совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить вместо медного латунный шарик вдвое меньшего радиуса? (уменьшится в
2,86 раза)
2. Медный шарик, подвешенный к пружине, совершает вертикальные колебания. Как изменится частота колебаний, если к пружине подвесить вместо медного алюминиевый шарик вдвое большего радиуса? (уменьшится в 1,56 раза)
3. Тонкий обруч, подвешенный на гвоздь, вбитый горизонтально в стену, колеблется в плоскости, параллельной стене. Радиус обруча 30 см.
Определить период колебаний обруча. (1,55 с)
4. Однородный диск радиусом 25 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через одну из образующих цилиндрической поверхности диска.
Определить период колебаний диска. (1,25 с)
5. Однородный диск радиусом 30 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить приведенную длину и период колебаний. (0,45 м; 1,35 с)

16 6.Однородный диск радиусом 25 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии 15 см от центра диска. Определить период колебаний. (1,19 с)
7. Тонкий однородный стержень длиной 60 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня.
Стержень отклонили от вертикали на угол 0,01 рад и отпустили. Считая колебания малыми, определить период колебаний стержня и записать уравнение колебательного движения. (1,27 с)
8.Тонкий однородный стержень длиной 60 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, отстоящей от его середины на 15 см. Определить период малых колебаний стержня. (1,19 с)
9. На стержне длиной 30 см укреплены два одинаковых груза: один в центре стержня, другой на одном из его концов. Стержень с грузами колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня.
Определить приведенную длину и период колебаний такой системы. Массой стержня пренебречь, грузы считать материальными точками. (0,25 м; 1 с)
10. Физический маятник в виде тонкого однородного стержня длиной 50 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно стержню через точку, удаленную на расстояние a от центра масс стержня.
При каком значении a период колебаний маятника имеет наименьшее значение? (0,14 м)
11. На каком расстоянии x от центра нужно подвесить тонкий стержень заданной длины l, чтобы получить физический маятник, колеблющийся с максимальной частотой? (l/
12
)
12. На концах вертикального стержня укреплены два неодинаковых груза.
Центр тяжести этих грузов находится ниже середины стержня на расстоянии
5 см. Найти длину стержня, если известно, что период малых колебаний стержня с грузами вокруг горизонтальной оси, проходящей через его середину, равен 2 с. Массой стержня пренебречь, грузы считать материальными точками. (0,446 м)
13. Однородный шарик подвешен на нити, длина которой равна радиусу шарика. Во сколько раз период малых колебаний этого маятника больше периода малых колебаний математического маятника с таким же расстоянием от точки подвеса до центра тяжести? (в 1,05 раза)
14. Вертикальная пружина обладает жесткостью 25 Н/м. Определить массу тела, которое необходимо подвесить к пружине, чтобы за одну минуту такой маятник совершал 25 колебаний. (3,65 кг)
15. При увеличении массы груза, подвешенного к вертикальной пружине, на
600 г, период малых колебаний системы возрос в 2 раза. Определить массу первоначально подвешенного груза. (0,2 кг)
16. Шар подвешен на нити длиной 8 см на гвоздь, вбитый в стену. Шар совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене, с частотой
1 Гц. Определить радиус шара. (0,14 м)