Файл: Учебное пособие Рыбинск 2007 удк 681. 5 Павлов Р. В. Основы теории управления. Учебное пособиергата. Рыбинск, 2007. 83 с.doc

.

Преобразованием Лапласа от весовой функции является передаточная функция.

Весовая функция и переходная характеристика связаны простым соотношением

.

Описание САУ во временной области через весовую функцию эквивалентно описанию передаточной функцией в области изображений.

Можно найти реакцию системы на произвольный входной сигнал. Для этого можно воспользоваться интегралом Дюамеля или интегралом свертки

.

3. Если используется входной сигнал вида Аsint, то говорят о частотных характеристиках системы.

Частотные характеристики – это выражения и графические зависимости, выражающие реакцию исследуемой САУ на сигнал вида Аsint при различных значениях частоты .

На выходе САУ сигнал будет иметь вид

,

где A(t) – амплитуда сигнала, (t) – сдвиг фазы.

Частотную передаточную функцию для получения частотных характеристик можно представить в следующем виде:

;

, (1)

где u() и v() – действительная и мнимая части комплексного выражения.

Вещественная часть состоит из четных степеней частоты , а мнимая – из нечетных.

Эту функцию можно представить графически на комплексной плоскости. Такое изображение называется годографом (рис. 7) или амплитудно-фазовой характеристикой. Кривая строится путем получения точек на плоскости при задании определенных значений частоты  и расчете u() и ().

Для получения графика в случае отрицательных частот необходимо сделать зеркальное отображение имеющейся характеристики относительно действительной оси.

Рис. 7. Годограф или амплитудно-фазовая характеристика системы

Аналогичным образом можно построить отдельно графики длины вектора А() и угла поворота (). Тогда получим амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики.

На практике часто используют логарифмические характеристики. Логично использовать натуральный логарифм

.

Однако на практике используют десятичные логарифмы и получают логарифмическую амплитудно-частотную (ЛАЧХ) (рис. 8) и логарифмическую фазо-частотную (ЛФЧХ) характеристики (рис. 9).

Рис. 8. Пример ЛАЧХ системы

ЛАЧХ определяется по формуле

,

где |W(j)| – модуль частотной передаточной функции.

Единицей измерения является децибел.

Рис. 9. Пример ЛФЧХ системы

При вычислении логарифмической фазочастотной характеристики используется (1).

При построении графиков по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе. Так как при вычислении значений ЛАЧХ в выражениях используются зависимости от степени , то график имеет стандартный наклон, кратный 20 дБ/дек. Дек – декада, т. е. изменение частоты на порядок.

Теоретически точка  = 0 на оси частот должна быть слева в бесконечности, но для практических расчетов ось ординат сдвигают вправо.

Логарифмические характеристики имеют следующие достоинства:

– простота построения;

– легкость получения ЛАЧХ системы из ЛАЧХ звеньев путем геометрического сложения;

– простота анализа САУ.

5. Типовые звенья САУ и их характеристики

1. Усилительное (пропорциональное, безынерционное) звено (рис. 10).

Рис. 10. Схема САУ с усилительным звеном

Дифференциальное уравнение звена имеет вид

, передаточная функция W(p) = k₁, весовая функция (t) =k₁(t), переходная характеристика h(t) = k₁, ЛАЧХ звена L() = 20lg k₁, ЛФЧХ () = 0.

Годограф звена, ЛАЧХ и ЛФЧХ представлен на рис. 11.

а) б) в)

Рис. 11. Частотные характеристики усилительного звена

а) годограф; б) ЛАЧХ; в) ЛФЧХ

2. Инерционное или апериодическое звено I порядка.

Общий вид схемы САУ представлен на рис 12.

Рис. 12. Структурная схема звена

Дифференциальное уравнение

.

Передаточная функция получается следующим образом:

Весовая функция и переходная характеристика выражаются соотношениями h(t) = k₁(1 – e^–^t^/^T)  1(t) и

.

Графики переходных процессов представлены на рис. 13.

а) б)

Рис. 13. Переходные процессы инерционного звена 1-го порядка

а) переходная характеристика; б) весовая функция

Частотные характеристики получены из соотношений:

Их графики имеют вид (рис. 14).

а)

б)
в)

Рис. 14. Частотные характеристики инерционного звена 1-го порядка

а) годограф; б) ЛАЧХ; в) ЛФЧХ

_С – сопрягающая частота;

_СР – частота среза.

ЛАЧХ строится приближенно. Вся ось частот разбивается на 2 интервала

. В первом интервале L()  20lgk₁, во втором L() 

. Наибольшая погрешность имеет место в области сопрягающей частоты и составляет 3 дБ, что для инженерных расчетов несущественно.

3. Апериодическое звено II порядка.

На основе ДУ можно получить выражение для передаточной функции