Файл: Учебное пособие Рыбинск 2007 удк 681. 5 Павлов Р. В. Основы теории управления. Учебное пособиергата. Рыбинск, 2007. 83 с.doc

8. Законы управления

Это алгоритмы или функциональные зависимости, в соответствии с которыми формируется управляющее (регулирующее) воздействие.

u(t) = F(x(t), g(t), f(t)),

где x(t) – ошибка;

g(t) – задающее воздействие;

f(t) – возмущающее воздействие.

Обычно:

u(t) = F₁(x) + F₂(g) + F₃(f),

где F₁(x) – управление по отклонению или ошибке;

F₂(g) и F₃(f) – управление по соответствующему воздействию.

Обычно рассматриваются линейные законы относительно в ДУ.

Различают несколько типовых законов управления.

1. Пропорциональное управление.

;

.

В цепи управления находится пропорциональное (статическое)
звено.

В установившемся режиме:

,

где K – общий коэффициент усиления системы;

y_УСТ – установившееся значение выходной величины;

x₀ – постоянное значение ошибки.

Для замкнутой САУ найдем установившееся значение ошибки по формуле (3):

,

где g₀ – постоянное входное воздействие;

x_fУСТ – установившаяся ошибка от возмущающего воздействия.

Анализ выражения показывает, что установившаяся ошибка уменьшилась в (1 + K) раз, но в принципе не равна 0.

2. Интегральное управление.

В этом случае имеет место зависимость между ошибкой и скоростью изменения регулирующего (управляющего) воздействия

;

.

В составе САУ обязательно имеются интегрирующие звенья.

Установившееся значение ошибки находим по формуле (3).

Первое слагаемое равно 0, второе зависит от значения числителя, поэтому для него применим выражение

---

.

При отсутствии возмущающего воздействия общее значение установившейся ошибки равно нулю.

Система является астатической по задающему воздействию или обладает астатизмом первого порядка. Однако, если задающее воздействие переменно (скорость его изменения не равна 0), то установившаяся ошибка будет иметь ненулевое значение.

Для устранения ошибки по скорости в САУ необходимо добавить еще один интегратор.

Такой подход имеет недостаток: при наличии большого количества интеграторов процесс управления замедляется и изменяется устойчивость системы.

3. Управление по производной (дифференциальное).

Процесс управления описывается соотношениями:

;

.

Процесс управления начинает действовать, когда ошибка еще равна 0, а ее производная отлична от 0. В установившемся режиме и цепь управления разрывается, следовательно, данный закон не имеет самостоятельного значения. Используется как дополнение к другим. Он обеспечивает быструю реакцию САУ в переходном режиме.

4. Изодромное управление.

Возможно использование всех вышеперечисленных законов одновременно. Закон управления в этом случае имеет вид:

.

Такое управление сочетает достоинства всех рассмотренных законов. Например, при линейно изменяющемся входном воздействии (рис. 28) в начальный момент (участок I) действует управление по производной, затем больший вклад вносит пропорциональное управление, после момента времени t₀ (участок II) существенно интегральное управление.




Рис. 28. Законы управления в САУ

---

9. Процесс управления и требования к нему

Процесс управления во времени определяется решением дифференциального уравнения динамики замкнутой системы. При этом можно определить требования к системе по трем основным направлениям.

1. 
   Принципиальная оценка возможности перехода системы в некоторое установившееся состояние при любом внешнем воздействии. Это оценка устойчивости системы.
   
2. 
   Оценка качества переходного процесса.
   
3. 
   Оценка точности системы в установившемся состоянии.
   

Рассмотрим каждый из этих пунктов.

9.1. Оценка устойчивости линейной САУ

Устойчивость системы – это способность системы возвращаться в состояние равновесия после окончания влияния внешнего воздействия. САУ при этом может возвращаться в исходное состояние или принимать новое состояние.

Одним из способов оценки устойчивости является анализ выходного сигнала САУ. Выходной сигнал с течением времени должен стремиться к нулю (затухать).

Для того, чтобы оценить устойчивость таким образом, необходимо решить дифференциальное уравнение системы без правой части (правая часть должна быть равна нулю). Как известно, в правой части находятся производные различного порядка от задающего воздействия

.

Решение ищется в виде

,

где р_i – корни характеристического уравнения. В общем случае корни являются комплексными.

Рассмотрим все варианты (частные случаи).

1. Вещественный корень

,

где  – положительное число.

График выходного сигнала САУ при входном воздействии вида (t) имеет вид (рис. 29).


Рис. 29. Переходный процесс в случае действительных корней

Система устойчива в случае –α.

2. Комплексные корни.



В этом случае выходной сигнал можно представить

---

(рис. 30).

Система устойчива в случае –α.

3. Чисто мнимые корни.

.

График выходного сигнала представлен на рис. 31.

Имеют место незатухающие колебания. Система находится на границе устойчивости.

Таким образом, САУ устойчива тогда, когда в корнях характеристического уравнения присутствует отрицательная вещественная часть





а) б)

Рис. 30. Переходный процесс в случае комплексных корней

а) корень с положительной вещественной частью;
б) корень с отрицательной вещественной частью



.
Рис. 31. Переходный процесс в случае чисто мнимых корней

Корни можно изобразить на комплексной плоскости. При этом для устойчивой САУ они должны быть в левой полуплоскости (рис. 32).




Рис. 32. Корни характеристического уравнения на комплексной плоскости

Анализ корней показывает, что САУ будет на границе устойчивости, в следующих случаях:

1. 
   имеется нулевой корень;
   
2. 
   имеются чисто мнимые корни;
   
3. 
   имеются бесконечные корни.
   

Определять устойчивость системы путем решения дифференциальных уравнений достаточно сложно. Поэтому существуют другие (косвенные) методы. Они называются критериями устойчивости.

9.2. Критерии устойчивости

Критерии устойчивости можно разбить на две большие группы.

1. Алгебраические.

2. Частотные.

Рассмотрим их подробнее.

9.2.1. Алгебраические критерии устойчивости

Они позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения

.

Как известно, уравнение порядка n можно заменить произведением полиномов первого порядка. Например, для случая вещественных корней:

, .

Будем считать, что a₀ всегда больше нуля (что легко обеспечить умножением обеих частей уравнения на –1).

---

р_i для устойчивой системы должны быть меньше нуля. Коэффициенты характеристического уравнения связаны с корнями уравнения соотношениями . При _i< 0 они будут положительны .

Аналогичным образом можно рассмотреть случай комплексных корней. Все утверждения справедливы и в этом случае.

Таким образом, неравенство является необходимым условием устойчивости системы.

Кроме этого, на значения этих коэффициентов накладываются дополнительные ограничения, что является достаточными условиями устойчивости. Определение этих ограничений варьируется и зависит от используемого метода их расчета. Рассмотрим два метода.

1. Критерий Рауса.

Составляется таблица (табл. 1) из коэффициентов уравнения следующим образом: в первой строке записываются четные коэффициенты, во второй – нечетные. Каждый следующий элемент таблицы рассчитывается по формуле

;

.

где i – номер строки таблицы, k – номер столбца.

Таблица 1

Таблица расчета коэффициентов по критерию Рауса

	Строка (i)	Столбец (k)
		1	2	3
– – z3	1 2 3	а0 а1 C1,3	а2 а3 C2,3	а4 а5 C3,3

;

.

Необходимое и достаточное условие устойчивости по данному критерию формулируется так: коэффициенты первого столбца таблицы должны быть положительны.

---