Файл: Учебнометодическое пособие для выполнения лабораторных работ Волгоград, 2019 удк 519. 6(075. 8) Ббк в19я7 Печатается по решению редакционноиздательского совета Волгоградского государственного университета.docx

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.12.2023

Просмотров: 559

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

2. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ

2.1 Лабораторная работа 1. «Теория погрешностей и машинная арифметика»

2.2 Лабораторная работа 2. « Решение нелинейных уравнений»

2) Расчетные формулы методов решения нелинейного уравнения .

2.3 Лабораторная работа 3. « Интерполирование функций»

2.4 Лабораторная работа 4.« Решение систем линейных уравнений» Цель: изучение основных численных методов решения систем линейных уравнений; разработка численного алгоритма и решения на ЭВМ систем линейных уравнений методами прогонки и итераций. Порядок выполнения работы Теоретическая часть Основные определения Система уравнений вида: или в сокращенной записи:называется линейной алгебраической системой из n уравнений с n-неизвестными xi (i=1,...,n). В матричной форме она записывается следующим образом:г де A - квадратная матрица, В и Х - векторы столбцы вида:1.2 Прямые методы1.Метод Крамера.Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения. Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.Решение системы имеет вид:xi* = DAi / DA, i = 1, n, 1 2. Метод Гаусса. Этот метод основан на приведении методом исключения системы к треугольному виду (прямой ход ), а затем решение этой системы начиная с xn и т.д. (обратный ход). Если система сразу сводится к диагональному виду, то такой метод называется методом Жордана-Гаусса. Для уменьшения погрешности округления при сведении матрицы А к треугольному виду выбирается максимальный элемент в столбце или в строке и с помощью перестановок он делается главным (схема частичного выбора). Если главный элемент выбирается во всей матрице, то схема носит название глобального выбора. Алгоритм решения системы из n уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцам выглядит следующим образом. Алгоритм прямого хода: Шаг 1. Примем k=1 Шаг 2. Выбираем рабочую строку.Если akk ≠ 0, то k-ая строка – рабочая.Если нет, меняем k-ю строку на m-ю (n≥m>k), в которой amk ≠ 0, . Если такой строки нет, система вырожденная, решение прекратить. Ш аг 3. Для строк i=k+1, k+2, …, n вычисляются новые значения коэффициентов: и новые правые части Шаг 4. Увеличиваем k = k + 1. Если k = n, прямой ход завершен, иначе алгоритм повторяется со второго шага. Получаем верхнюю треугольную матрицу А:А лгоритм обратного хода: Шаг 1. ВычислимШ аг 2. Вычислим:3.Метод прогонки. Данный метод применяется для решения трех диагональных систем. Метод состоит из двух этапов прямой прогонки - и обратной прогонки.Прямая прогонка: величину xi выразим через xi+1 с помощью коэффициентов Ai,Bi : xi= Ai xi+1+ Bi. Из первого уравнения находим значения A1 и B1. Подставляя x1=A1·x2+B1 во второе уравнение системы получаем: a2(A1x2+B1)+b2x2+c2x3=d2. Выражаем x2 и находим A2 и B2,т.е. зная A1 и B1 по этой формуле мы можем вычислить A2 и B2. Аналогично подставляя значение xi-1=Ai-1xi+Bi-1 в i уравнение имеем: ai(Ai-1xi+Bi-1)+bixi+cixi+1=di, i=1,2,...n. После n шагов получим значения An и Bn. Так как cn=0, то An=0. Следовательно, имеем: xn=Bn. Обратная прогонка состоит в последовательных вычислениях значений xn-1, xn-2 и т.д. до x1. 1.3 Итерационные методы:а) метод простой интерполяции (Метод Якоби);б) метод Гаусса-Зейделя Эти методы используются обычно при решении уравнений большого порядка, поскольку при итерационном процессе не накапливается ошибка округления. Задается некоторое приближенное решение x(0), затем производится цикл вычислений ( итераций ) и вычисляется новое приближение x(1). Процесс продолжается до получения решения с заданной точностью. Формула итерационного процесса:Условия завершения итерационного процесса d£e: Условие сходимости итерационного процесса:2. Контрольные вопросы Напишите матричную форму записи системы линейных уравнений. Перечислите основные прямые методы решения системы линейных уравнений. Напишите формулы Крамера. В чем суть метода Гаусса? В чем суть метода прогонки? Перечислите основные итерационные методы решения системы линейных уравнений. В чем суть итерационного метода? Напишите формулу итерационного процесса и условие завершения итерационного процесса. Практические задания 1.Решить систему линейных алгебраических уравнений, коэффициенты которой приведены в таблице заданий методами Крамера, Гаусса, прогонки, итерационным методом. Предварительно систему привести к трех диагональному виду. 2. Показать, что используемый метод имеет единственное решение в случае использования прямого метода или сходится в случае итерационного метода. 3. Написать программу и решить на ЭВМ с помощью этих методов систему уравнений и сравнить результаты. 4. Результаты занести в таблицу: Метод x1 x2 x3 x4 Крамера Гаусса Прогонки Гаусса-Зейделя ПРИЛОЖЕНИЕ 4ВАРИАНТЫ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

2.6 Лабораторная работа 6. «Методы численного интегрирования функций»

Рекомендуемая литература

2.2 Лабораторная работа 2. « Решение нелинейных уравнений»

Цель: сформировать навыки решения нелинейных уравнений численными методами. Порядок выполнения работы

  1. Теоретическая часть
1.1 Основные определения1) Пусть задана непрерывная функция fx и требуется найти корни уравнения fx=0 (1)на всей числовой оси или на некотором интервале .Всякое значение , удовлетворяющее условию , называется корнем уравнения (1), а способ нахождения этого значения - решением уравнения (1). Численное решение уравнения проводится в два этапа:1 этап: отделение корней уравнения.2 этап: уточнение интересующих корней с заданной точностью ε.Отделение корней – это определение их наличия, количества и нахождение для каждого их них достаточно малого отрезка [a,b], которому он принадлежит.Уточнение корня – это вычисление интересующего корня с заданной точностью .

2) Расчетные формулы методов решения нелинейного уравнения .

Метод дихотомии (половинного деления, бисекций): x = (a+b)/2 , если (a ·(x>0 => x* [x,b] => a=x, иначе x* [a, x] => b=xОценка количества итераций n, требуемых для достижения требуемой точности ε (на заданном отрезке [a,b]):Условие завершения вычислений : длина отрезка не превышает заданную точность и значение функции близко к 0 с заданной точностью:b-a ≤ ε ∩ |(x| ≤ ε.Метод простых итераций (метод последовательных приближений).xi=φ(xi-1) , i=1,2,… где i − номер итерацииУсловие сходимости Условие завершения итерационного процесса:
Упрощенный метод Ньютона: , n=0,1,…Условие окончания расчета: ,где −корректирующее приращение или поправка.Условие сходимости итерационного процесса:Метод ложного положения: , n=0,1,…; c-фиксированная точка из окрестности корняМетод секущих: , n=0,1,…Метод Стеффенсена: , n=0,1,…Модифицированный метод Ньютона для поиска кратных корней: , n=0,1,…, m=1,2,…

    1. Контрольный пример
Фрагмент решения задачи 2.1. =0, [a,b]=[0, ]Аналитическое решение задачи: , =1.31811607652818, =1.738244406014586Численное решение задачи. Локализация корней для численного решения задачи:Метод бисекции (на примере работы пакета MATHCAD)
ПЕРВЫЙ КОРЕНЬ: bisecВстроенная функция пакета MATHCAD - задание начального приближенияЗначение корня отличается от найденного с помощью функции bisec , так как по умолчанию величина погрешности при работе встроенных функций равна 0.001. Переопределим параметр для задания погрешности Значение корня с заданной точностью 1.3181160717.ВТОРОЙ КОРЕНЬ: bisecЗначение корня с заданной точностью 1.7382444060, число итераций 32. - задание начального приближения .Значения корней в пределах заданной точности совпадают.2. Контрольные вопросы

  1. Опишите этапы численного решения уравнений.

  2. Опишите схему алгоритма отделения корней.

  3. Перечислите алгоритмы уточнения корней уравнения.

  4. Опишите методы уточнения корней уравнения.

  5. Опишите схему алгоритма метода бисекций (дихотомии).

  6. Как рассчитать количество итераций n, требуемых для достижения требуемой точности ε?

  7. Объясните алгоритм решения нелинейного уравнения методом
    простых итераций.

  8. Объясните схему алгоритма метода Ньютона.

  9. Объясните формулы итерационных процессов численного решения уравнений.
3. Практические заданияЗадача 2.1. Даны два уравнения f(x)=0 и g(x)=0. Найти с точностью все корни уравнений, содержащиеся на отрезке [a, b]. Для решения задачи использовать метод бисекции. Порядок решения задачи:1. Найти аналитическое решение уравнения f(
x)=0.2. Локализовать корни f(x)=0 графически.3. Найти корни уравнения f(x)=0 с точностью с помощью метода бисекции.4. Найти корни уравнения f(x)=0 с точностью .5. Аналогично п. 1-4 попытаться найти корни уравнения g(x)=0. Объяснить полученные результаты.Задача 2.2. Найти указанный в варианте корень уравненияf(x)=0 с точностью , двумя способами.а) Использовать метод бисекции. Предварительно определить отрезок локализации [a, b].b) Использовать метод Ньютона. В качестве начального приближения для метода Ньютона взять середину отрезка локализации из п. а).Сравнить число итераций в п. a), b).Задача 2.3. Локализовать корни уравнения f(x)=0 и найти их с точностью , используя метод простой итерации. К виду x=(x), удобному для итераций, уравнение f(x)=0 привести двумя способами.a) Преобразовать уравнение к виду x=x-f(x), где =2/(M+m), , а x принадлежит отрезку локализации [a, b].b) Любым другим преобразованием уравнения. Проверить достаточное условие сходимости метода. Использовать критерий окончания итерационного процесса вида , где в п. a) q=(M-m)/(M+m), в п. b) .Сравнить число итераций и значения величины q в п. a), b).Задача 2.4. Локализовать корни уравнения f(x)=0. Найти их с точностью , используя методы простой итерации и Ньютона. Сравнить скорость сходимости методов (по числу итераций).

Смотрите также файлы