Файл: Учебнометодическое пособие для выполнения лабораторных работ Волгоград, 2019 удк 519. 6(075. 8) Ббк в19я7 Печатается по решению редакционноиздательского совета Волгоградского государственного университета.docx

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.12.2023

Просмотров: 162

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

2. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ

2.1 Лабораторная работа 1. «Теория погрешностей и машинная арифметика»

2.2 Лабораторная работа 2. « Решение нелинейных уравнений»

2) Расчетные формулы методов решения нелинейного уравнения .

2.3 Лабораторная работа 3. « Интерполирование функций»

2.4 Лабораторная работа 4.« Решение систем линейных уравнений» Цель: изучение основных численных методов решения систем линейных уравнений; разработка численного алгоритма и решения на ЭВМ систем линейных уравнений методами прогонки и итераций. Порядок выполнения работы Теоретическая часть Основные определения Система уравнений вида: или в сокращенной записи:называется линейной алгебраической системой из n уравнений с n-неизвестными xi (i=1,...,n). В матричной форме она записывается следующим образом:г де A - квадратная матрица, В и Х - векторы столбцы вида:1.2 Прямые методы1.Метод Крамера.Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения. Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.Решение системы имеет вид:xi* = DAi / DA, i = 1, n, 1 2. Метод Гаусса. Этот метод основан на приведении методом исключения системы к треугольному виду (прямой ход ), а затем решение этой системы начиная с xn и т.д. (обратный ход). Если система сразу сводится к диагональному виду, то такой метод называется методом Жордана-Гаусса. Для уменьшения погрешности округления при сведении матрицы А к треугольному виду выбирается максимальный элемент в столбце или в строке и с помощью перестановок он делается главным (схема частичного выбора). Если главный элемент выбирается во всей матрице, то схема носит название глобального выбора. Алгоритм решения системы из n уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцам выглядит следующим образом. Алгоритм прямого хода: Шаг 1. Примем k=1 Шаг 2. Выбираем рабочую строку.Если akk ≠ 0, то k-ая строка – рабочая.Если нет, меняем k-ю строку на m-ю (n≥m>k), в которой amk ≠ 0, . Если такой строки нет, система вырожденная, решение прекратить. Ш аг 3. Для строк i=k+1, k+2, …, n вычисляются новые значения коэффициентов: и новые правые части Шаг 4. Увеличиваем k = k + 1. Если k = n, прямой ход завершен, иначе алгоритм повторяется со второго шага. Получаем верхнюю треугольную матрицу А:А лгоритм обратного хода: Шаг 1. ВычислимШ аг 2. Вычислим:3.Метод прогонки. Данный метод применяется для решения трех диагональных систем. Метод состоит из двух этапов прямой прогонки - и обратной прогонки.Прямая прогонка: величину xi выразим через xi+1 с помощью коэффициентов Ai,Bi : xi= Ai xi+1+ Bi. Из первого уравнения находим значения A1 и B1. Подставляя x1=A1·x2+B1 во второе уравнение системы получаем: a2(A1x2+B1)+b2x2+c2x3=d2. Выражаем x2 и находим A2 и B2,т.е. зная A1 и B1 по этой формуле мы можем вычислить A2 и B2. Аналогично подставляя значение xi-1=Ai-1xi+Bi-1 в i уравнение имеем: ai(Ai-1xi+Bi-1)+bixi+cixi+1=di, i=1,2,...n. После n шагов получим значения An и Bn. Так как cn=0, то An=0. Следовательно, имеем: xn=Bn. Обратная прогонка состоит в последовательных вычислениях значений xn-1, xn-2 и т.д. до x1. 1.3 Итерационные методы:а) метод простой интерполяции (Метод Якоби);б) метод Гаусса-Зейделя Эти методы используются обычно при решении уравнений большого порядка, поскольку при итерационном процессе не накапливается ошибка округления. Задается некоторое приближенное решение x(0), затем производится цикл вычислений ( итераций ) и вычисляется новое приближение x(1). Процесс продолжается до получения решения с заданной точностью. Формула итерационного процесса:Условия завершения итерационного процесса d£e: Условие сходимости итерационного процесса:2. Контрольные вопросы Напишите матричную форму записи системы линейных уравнений. Перечислите основные прямые методы решения системы линейных уравнений. Напишите формулы Крамера. В чем суть метода Гаусса? В чем суть метода прогонки? Перечислите основные итерационные методы решения системы линейных уравнений. В чем суть итерационного метода? Напишите формулу итерационного процесса и условие завершения итерационного процесса. Практические задания 1.Решить систему линейных алгебраических уравнений, коэффициенты которой приведены в таблице заданий методами Крамера, Гаусса, прогонки, итерационным методом. Предварительно систему привести к трех диагональному виду. 2. Показать, что используемый метод имеет единственное решение в случае использования прямого метода или сходится в случае итерационного метода. 3. Написать программу и решить на ЭВМ с помощью этих методов систему уравнений и сравнить результаты. 4. Результаты занести в таблицу: Метод x1 x2 x3 x4 Крамера Гаусса Прогонки Гаусса-Зейделя ПРИЛОЖЕНИЕ 4ВАРИАНТЫ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

2.6 Лабораторная работа 6. «Методы численного интегрирования функций»

Рекомендуемая литература



Формула позволяет по результатам двух расчетов производной с шагом h и шагом ph по одной и той же формуле, имеющей порядок точности k, найти ее уточненное значение с порядком точности k+1. Данный прием называется методом Рунге-Ромберга.

    1. Контрольный пример

Вычислить с помощью центральных разностей второго порядка точности производную от функции, заданной дискретно:

i
0
1
2
3
4
5

x
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6

y
3
5
6
3
-1
-2

Уточнить производную в центральных узлах i=2,3.

Порядок выполнения работы.

1.Для аппроксимации производной в узлах i=1,2,3 применяем формулу центральных разностей второго порядка точности с шагом h=0.1:



Для аппроксимации производной в узлах i=0 и i=5 применяем формулы для крайних узлов таблицы:



2.Оцениваем величину hопт. С учетом, что и =10-10 имеем hопт 10-3. Согласно таблицы h > hопт, поэтому для уточнения значений производной в узлах 2 и 3, можно применять метод Рунге-Ромберга.

3.Положим p=2, т.к. при p>2 мы выйдем за пределы таблицы. Для p=2 определяем шаг: h1=2h. Для узлов i=2,3 формула запишется в виде:



Так как формула второго порядка точности, то k=2. Подставляем и получаем окончательную формулу:



где yi,h- уточненное значение производной.

4.Заполняем таблицу

i
0
1
2
3
4
5

xi


















yi



















2. Контрольные вопросы

1.Дайте определение конечной разности.

2.Что такое правая, левая, центральная разность?

3. Дайте определение узла и сетки.

4. Дайте определение погрешности аппроксимации производной.

5.Что такое порядок точности ( погрешности )?

6. Напишите порядок точности правой, левой и центральной разности.

7.В чем суть метода Рунге-Ромберга.

8. Дайте определение главной части погрешности аппроксимации.

9. Дайте определение конечной разности для функции двух переменных.
3. Практические задания

1.Написать формулу для вычисления с помощью центральных разностей 2-го порядка точности производную от функции, заданной дискретно, из таблицы заданий №1.

Оценить hопт, полагая, что , а =10-10. Улучшить аппроксимацию в заданных узлах с помощью метода Рунге-Ромберга.

Написать программу и рассчитать на ЭВМ производную этой функции в заданных узлах.

2. Вычислить значение производной функции, заданной в таблице заданий №2 в произвольной точке x=x0 аналитически и численно тремя методами (формулы 2.3, 2.4, 2.5) для пяти значений приращения аргумента Δx=1; 0.2; 0.1; 0.01; 0.001. Результаты расчета вывести на экран и распечатать в виде таблицы:

Δx
y(x)

y'(x)







1
 

 

 

 

 

0.2
 

 

 

 

 

0.1
 

 

 

 

 

0.01
 

 

 

 

 

0.001
 

 

 

 

 


ПРИЛОЖЕНИЕ 5

ВАРИАНТЫ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

В последней колонке число k указывает номер узла, в котором необходимо улучшить точность аппроксимации производной.


Таблица заданий №1

№
x
Табличные значения f(x)
k




y
i=0
i=1
i=2
i=3
i=4
i=5



1.
x

y
0.01

0.03
0.02

0.04
0.03

0.03
0.04

0.01
0.05

0.0
0.06

-0.1
0

2.
x

y
0.1

-0.5
0.2

-0.2
0.3

0
0.4

0.1
0.5

0.05
0.6

0
5

3.
x

y
0.05

0.7
0.1

0.5
0.15

0.7
0.2

0.8
0.25

0.9
0.3

0.12
2

4.
x

y
0.2

-0.6
0.4

-0.5
0.6

-0.3
0.8

0
1.0

0.4
1.2

1
3

5.
x

y
0.1

0.8
0.2

0.5
0.3

0.4
0.4

0.5
0.5

0.6
0.6

0.9
1

6.
x

y
0.05

0.0
0.1

0.1
0.15

0.0
0.2

-0.1
0.25

-0.2
0.3

0.0
4

7.
x

y
0.01

-0.03
0.02

-0.04
0.03

-0.03
0.04

-0.01
0.05

-0.01
0.06

-0.1
0

8.
x

y
0.1

0.3
0.2

0.2
0.3

0
0.4

-0.1
0.5

-0.05
0.6

0
5

9.
x

y
0.05

-0.7
0.1

-0.5
0.15

-0.7
0.2

-0.8
0.25

-0.9
0.3

-0.12
2

10.
x

y
0.2

0.6
0.4

0.5
0.6

0.3
0.8

0
1.0

-0.4
1.2

-1
3

11.
x

y
0.1

-0.8
0.2

-0.5
0.3

-0.4
0.4

-0.5
0.5

-0.6
0.6

-0.9
1

12.
x

y
0.05

0.0
0.1

-0.1
0.15

0.0
0.2

0.1
0.25

0.2
0.3

0
4

13.
x

y
0.1

0.2
0.2

0.3
0.3

0.5
0.4

0.5
0.5

0.2
0.6

-0.2
2

14.
x

y
0.15

-0.2
0.25

-0.4
0.3

-0.6
0.35

-0.5
0.4

-0.45
0.45

-0.44
1

15.
x

y
0.5

0.0
0.6

1
0.7

0.0
0.8

-1
0.9

0.0
1.0

1
3

Таблица заданий №2

Вар.
Вид функции
Вар.
Вид функции

1
x(t)=Ae-at sin(ωt+b)
14
y=ctgm (ax)

2
x(t)=Aeat cos(ωt+b)
15
y(x)=(eax-e-ax)n

3


16
x(t)=tat

4
уυ(t)=cos2(at+b)
17
y(x)=(ax)sin(bx)

5
yυ(t)=sin2(at+b)
18


6


19


7
q(t)=(a-btn)n
20


8
y(x)=xncos(ax)
21
R(φ)=arccosm(a+bφn)

9


22
r(φ)=csin(aφ+b)

10


23
y(x)=ln(tgn(ax+b))

11


24
vυ(t)=loga(tn+bm)k

12
S(φ)=Вcоsn(aφ+b)

25
S(φ)=Asinn(aφ+b)

13
y=tgax( x/a )
26
X(t)=lg(atn+b)
1>




2.6 Лабораторная работа 6. «Методы численного интегрирования функций»


Цель: ознакомление с методами численного интегрирования, с понятием порядка точности численного метода, а также со способами контроля численных результатов.

Порядок выполнения работы

  1. Теоретическая часть

    1. Основные определения

Рассмотрим вопрос о применении некоторых классов квадратурных формул к вычислению интегралов вида:



где - вещественная функция некоторого класса, заданная на любом конечном или бесконечном отрезке числовой оси ; - некоторая фиксированная функция, которую называют весовой.

Довольно часто приближенное значение данного интеграла ищут в виде линейной комбинации значений функции на отрезке :



Это приближенное равенство называют квадратурной формулой, определяемой узлами и коэффициентами .



- называют остаточным членом, или остатком квадратурной формулы.

Квадратурные формулы с равностоящими узлами применяются для вычисления интеграла:



с постоянной весовой функцией и конечным отрезком интегрирования.

1.1.1. Квадратурная формула прямоугольников

Пусть на отрезке задана функция . Введем сетку, разбивающую отрезок

Смотрите также файлы