ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.12.2023
Просмотров: 126
Скачиваний: 5
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
(2; 5).
Ответ: {2
} U (5; 
).
У
тверждение 9. Для того, чтобы один корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (K; P), а другой интервалу (N; M), необходимо и достаточно выполнение условий:
А
f(K) 0,
А f(P) 0,
А f(N) 0,
А f(M) 0,
Решение: 1 способ.
f
(1) 0, m2m 2 0,
f(3) 0, m2 5m + 4 0, 2 m 4.
f(4) 0, m2 7m + 10 0,
f(6) 0; m2 11m + 28 0;
2 способ.
x1 = m 1, x2 = m + 2;
1
m 1 3; 2 m 4.
4 m + 2 6;
Ответ: (2; 4).
Ключевыми являются утверждения 1-5 и задачи 90, 93, 95, 99. Учителю следует требовать графическую иллюстрацию к задаче и формулировку соответствующего утверждения.
Уравнения с одной переменной.
При изучении уравнений, приводимых к квадратным, можно рассмотреть задачи:
Решение: x2 (а + 1) x + а = 0; x = t, t 0;
t2 (а + 1) t + а = 0; (1)
Исходное уравнение имеет 3 различных корня, если уравнение (1) имеет t1 = 0; t2 0
t1 = а, x = а, x = а,
t2 = 1; x = 1; x = 1, а = 0.
x = 1;
Ответ: а = 0.
Решение: x2 = t, t 0;
t2 (3а 1) t + 2а2 а = 0; (1)
Исходное уравнение имеет 2 различных корня:
1) когда уравнение (1) имеет корни разных знаков, т. е. t1 t2 0,
2а2 а 0;
0 а 
;
2) когда уравнение (1) имеет один положительный корень, т. е. D = 0, t0 0,
D = 9а2 6а + 1 4(2a2 a) = a2 2a + 1 = (a 1)2;
(a 1)2 = 0; a = 1.
t2 2t + 1 = 0; t0 = 1.
Ответ: (0; 0,5) U{1}.
Полезно решить ряд задач графическим способом.
а) x2 = 4 x + а;
б) 2 x = x2 + а.
Ответ: а) а = 4, а 0; б) а = 1, а 0.
Ответ: а = 0; а = 1.
Можно показать учащимся три способа решения этой задачи, сравнить, выбрать более рациональный.
Не следует упускать возможности поразить школьников красотой математики. Использование свойства четности функции превращает сложную, на первый взгляд, задачу в устное упражнение.
Решение: f(x) = x10 а x + а2 а четная функция.
Если х0 корень, то и х0 корень, следовательно х0 = х0; х0 = 0 необходимо, но не достаточно.
010 а 0 + а2 а = 0; а = 0; а = 1.
Проверка: а) при а = 0; x10 = 0; х = 0.
б) при а = 1; x10x = 0; х = 0; х = 1 не удовлетворяет условию.
Ответ: а = 0.
Ответ: а = 1.
Если в 7-9 классах проделать соответствующую работу по изучению параметров, заложить основы материала, то это существенно облегчит решение параметрических задач в 10-11 классах.
III. заключение
Именно на преодолении … трудностей
растет и развивается математик.
Хинчин А.Я.
Прежде всего нужно сказать, что хороших результатов ждать сразу не следует. Если у ученика есть маломальские математические способности, то в итоге он "вырастет" до параметрических задач. Некоторые же дети в силу их психологии, генетического кода так и не смогут общаться с параметрами ни на "ты", ни на "вы". Не следует этого жестко и требовать, раз они не будут связывать свою жизнь с математикой.
Однако же учащиеся, которые "вошли во вкус", способны на большие успехи. Конечно, в основном, нестандартные методы решения, рациональные приемы они демонстрируют в 10-11 классах, но база для этого должна закладываться кропотливым вдумчивым трудом, начиная с 5 класса.
Целенаправленно изучая этот вопрос, можно достичь запланированных результатов, предполагающих формирование соответствующих умений и навыков.
Вот только как высоко поднять "планку", зависит от обучаемых. Можно ограничиться минимальным уровнем. Это уже хорошо. Можно расширить содержание, добавив тему "Решение систем с параметрами".
Система предложенных заданий саморегулируема. Учитель может по своему усмотрению переставить сами темы в течение года или перенести часть материала на следующий год.
Единственное серьезное требование к учителю – чутко улавливать при объяснении, все ли нюансы изучаемого вопроса "разложились по полочкам" в головах учеников; кропотливо, терпеливо, еще и еще раз объяснять трудные моменты; иметь в запасе много простеньких задач по всем темам. В 7-9 классах главное – качественное изучение блока ключевых задач. С большим разнообразием использования параметра ученики столкнутся в 10-11 классах.
Учитель не должен забывать о цели развития математического мышления: строгости логических построений, четкости речи, полноты рассуждений, точности определений.
Реализация этой цели делает неизбежным отказ от единообразного, уравнительного преподавания математики, унифицирующего как содержание обучения, так и уровень требований к математической подготовке учащихся. А это значит, учитель сам может определять объем дополнительной информации и требования к уровню овладения этой информацией различными учащимися.
IV. литература
«Пособие по математике для подготовительных курсов»
М., МЭИ, 1985 г.
«Сборник задач по алгебре для 8-9 классов»
М.: "Просвещение", 1992 г.
«Повышение эффективности обучения математике в школе»
М.: "Просвещение", 1989 г.
«3000 задач по алгебре. 5-9 кл.»
С.-Птб.: "Мир и семья-95", 1997 г.
«Решение задач с параметрами»
С.-Петербург, 1995 г.
«Контрольные и проверочные работы по алгебре. 7-9 классы»
М.: "Дрофа", 1998 г.
«Урок математики. Подготовка и проведение»
М.: "Просвещение", 1996 г.
«Алгебра для углубленного изучения математики»
Псков, 1993 г.
«Психология обучения и воспитания школьников»
М.: "Просвещение", 1976 г.
«Школьникам о математике и математиках»
М.: "Просвещение", 1981 г.
«Алгебраический тренажер»
М.: "Илекса", 1998 г.
«Психология образования»
М.: "Просвещение", 1994 г.
«Решение задач с параметрами»
М.: "Русь-90", 1995 г.
«Психолого-педагогические основы обучения математике в школе»
М.: "Просвещение", 1983 г.
«Психологический справочник учителя»
М.: "Просвещение", 1991 г.
«Педагогический опыт глазами психолога»
М.: "Просвещение", 1987 г.
«Как научиться решать задачи»
М.: "Просвещение", 1984 г.
«Учитесь учиться математике»
М.: "Просвещение", 1985 г.
«Математика для поступающих в вузы»
М.: "Аквариум", 1997 г.
«Факультативный курс по математике. Решение задач. 10»
М.: "Просвещение", 1989 г.
«Сборник задач с экономическим содержанием»
Владимир, 1994 г.
«Укрупнение дидактических единиц в обучении математике»
М.: "Просвещение", 1986 г.
«Уравнения и неравенства, содержащие параметры»
М.: "Просвещение", 1972 г.
Ответ: {2
} U (5; ).У
тверждение 9. Для того, чтобы один корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (K; P), а другой интервалу (N; M), необходимо и достаточно выполнение условий: А
f(K) 0,А f(P) 0,
А f(N) 0,
А f(M) 0,
-
При каких mодин из корней уравнения x2 (2m + 1)x + m2 + m 2 = 0 находится между числами 1 и 3, а второй между числами 4 и 6?
Решение: 1 способ.
f
(1) 0, m2m 2 0, f(3) 0, m2 5m + 4 0, 2 m 4.
f(4) 0, m2 7m + 10 0,
f(6) 0; m2 11m + 28 0;
2 способ.
x1 = m 1, x2 = m + 2;
1
m 1 3; 2 m 4.4 m + 2 6;
Ответ: (2; 4).
Ключевыми являются утверждения 1-5 и задачи 90, 93, 95, 99. Учителю следует требовать графическую иллюстрацию к задаче и формулировку соответствующего утверждения.
Уравнения с одной переменной.
При изучении уравнений, приводимых к квадратным, можно рассмотреть задачи:
-
При каких значениях а уравнение x2 (а + 1) x + а = 0 имеет 3 различных корня?
Решение: x2 (а + 1) x + а = 0; x = t, t 0;
t2 (а + 1) t + а = 0; (1)
Исходное уравнение имеет 3 различных корня, если уравнение (1) имеет t1 = 0; t2 0
t1 = а, x = а, x = а,t2 = 1; x = 1; x = 1, а = 0.
x = 1;
Ответ: а = 0.
-
При каких а уравнение x4 (3а 1) x2 + 2а2 а = 0 имеет 2 различных корня?
Решение: x2 = t, t 0;
t2 (3а 1) t + 2а2 а = 0; (1)
Исходное уравнение имеет 2 различных корня:
1) когда уравнение (1) имеет корни разных знаков, т. е. t1 t2 0,
2а2 а 0;
0 а
;2) когда уравнение (1) имеет один положительный корень, т. е. D = 0, t0 0,
D = 9а2 6а + 1 4(2a2 a) = a2 2a + 1 = (a 1)2;
(a 1)2 = 0; a = 1.
t2 2t + 1 = 0; t0 = 1.
Ответ: (0; 0,5) U{1}.
Полезно решить ряд задач графическим способом.
-
Определить все значения а, при которых уравнение имеет 2 различных корня:
а) x2 = 4 x + а;
б) 2 x = x2 + а.
Ответ: а) а = 4, а 0; б) а = 1, а 0.
-
При каких а уравнение x+ 3 = а х 2 имеет единственное решение?
Ответ: а = 0; а = 1.
Можно показать учащимся три способа решения этой задачи, сравнить, выбрать более рациональный.
Не следует упускать возможности поразить школьников красотой математики. Использование свойства четности функции превращает сложную, на первый взгляд, задачу в устное упражнение.
-
При каком значении а уравнение x10 а x + а2 а= 0 имеет единственное решение?
Решение: f(x) = x10 а x + а2 а четная функция.
Если х0 корень, то и х0 корень, следовательно х0 = х0; х0 = 0 необходимо, но не достаточно.
010 а 0 + а2 а = 0; а = 0; а = 1.
Проверка: а) при а = 0; x10 = 0; х = 0.
б) при а = 1; x10x = 0; х = 0; х = 1 не удовлетворяет условию.
Ответ: а = 0.
-
При каком а уравнение
+ а2 = 0 имеет один корень?
Ответ: а = 1.
Если в 7-9 классах проделать соответствующую работу по изучению параметров, заложить основы материала, то это существенно облегчит решение параметрических задач в 10-11 классах.
III. заключение
Именно на преодолении … трудностей
растет и развивается математик.
Хинчин А.Я.
Прежде всего нужно сказать, что хороших результатов ждать сразу не следует. Если у ученика есть маломальские математические способности, то в итоге он "вырастет" до параметрических задач. Некоторые же дети в силу их психологии, генетического кода так и не смогут общаться с параметрами ни на "ты", ни на "вы". Не следует этого жестко и требовать, раз они не будут связывать свою жизнь с математикой.
Однако же учащиеся, которые "вошли во вкус", способны на большие успехи. Конечно, в основном, нестандартные методы решения, рациональные приемы они демонстрируют в 10-11 классах, но база для этого должна закладываться кропотливым вдумчивым трудом, начиная с 5 класса.
Целенаправленно изучая этот вопрос, можно достичь запланированных результатов, предполагающих формирование соответствующих умений и навыков.
Вот только как высоко поднять "планку", зависит от обучаемых. Можно ограничиться минимальным уровнем. Это уже хорошо. Можно расширить содержание, добавив тему "Решение систем с параметрами".
Система предложенных заданий саморегулируема. Учитель может по своему усмотрению переставить сами темы в течение года или перенести часть материала на следующий год.
Единственное серьезное требование к учителю – чутко улавливать при объяснении, все ли нюансы изучаемого вопроса "разложились по полочкам" в головах учеников; кропотливо, терпеливо, еще и еще раз объяснять трудные моменты; иметь в запасе много простеньких задач по всем темам. В 7-9 классах главное – качественное изучение блока ключевых задач. С большим разнообразием использования параметра ученики столкнутся в 10-11 классах.
Учитель не должен забывать о цели развития математического мышления: строгости логических построений, четкости речи, полноты рассуждений, точности определений.
Реализация этой цели делает неизбежным отказ от единообразного, уравнительного преподавания математики, унифицирующего как содержание обучения, так и уровень требований к математической подготовке учащихся. А это значит, учитель сам может определять объем дополнительной информации и требования к уровню овладения этой информацией различными учащимися.
IV. литература
-
Болтов А.А.
«Пособие по математике для подготовительных курсов»
М., МЭИ, 1985 г.
-
Галицкий М.Л.
«Сборник задач по алгебре для 8-9 классов»
М.: "Просвещение", 1992 г.
-
Глейзер Г.Д.
«Повышение эффективности обучения математике в школе»
М.: "Просвещение", 1989 г.
-
Гольдич В., Злотин С.
«3000 задач по алгебре. 5-9 кл.»
С.-Птб.: "Мир и семья-95", 1997 г.
-
Жаржевский А.Я., Фельдман Я.С.
«Решение задач с параметрами»
С.-Петербург, 1995 г.
-
Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я.
«Контрольные и проверочные работы по алгебре. 7-9 классы»
М.: "Дрофа", 1998 г.
-
Зильберберг Н.И.
«Урок математики. Подготовка и проведение»
М.: "Просвещение", 1996 г.
-
Зильберберг Н.И.
«Алгебра для углубленного изучения математики»
Псков, 1993 г.
-
Крутецкий В.А.
«Психология обучения и воспитания школьников»
М.: "Просвещение", 1976 г.
-
Лиман Л.М.
«Школьникам о математике и математиках»
М.: "Просвещение", 1981 г.
-
Мерзляк А.Г., Якир М.С.
«Алгебраический тренажер»
М.: "Илекса", 1998 г.
-
Немов Р.С.
«Психология образования»
М.: "Просвещение", 1994 г.
-
Родионов Е.М.
«Решение задач с параметрами»
М.: "Русь-90", 1995 г.
-
Фридман Л.М.
«Психолого-педагогические основы обучения математике в школе»
М.: "Просвещение", 1983 г.
-
Фридман Л.М., Кулагина И.Ю.
«Психологический справочник учителя»
М.: "Просвещение", 1991 г.
-
Фридман Л.М.
«Педагогический опыт глазами психолога»
М.: "Просвещение", 1987 г.
-
Фридман Л.М., Турецкий Е.Н.
«Как научиться решать задачи»
М.: "Просвещение", 1984 г.
-
Фридман Л.М.
«Учитесь учиться математике»
М.: "Просвещение", 1985 г.
-
Шабунин М.И.
«Математика для поступающих в вузы»
М.: "Аквариум", 1997 г.
-
Шарыгин И.Ф.
«Факультативный курс по математике. Решение задач. 10»
М.: "Просвещение", 1989 г.
-
Шмырева Г.Г.
«Сборник задач с экономическим содержанием»
Владимир, 1994 г.
-
Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П.
«Укрупнение дидактических единиц в обучении математике»
М.: "Просвещение", 1986 г.
-
Ястребинецкий Г.А.
«Уравнения и неравенства, содержащие параметры»
М.: "Просвещение", 1972 г.