ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.12.2023
Просмотров: 136
Скачиваний: 5
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
(m 1) f(2) 0, (m 1)(3m 12) 0, 1 m 4,
(m 1) f(4) 0; (m 1)(11m 32) 0; 1 m
;1 m .
Ответ: (1; ).
Решение: Интервал (0; 2) должен содержаться во множестве решений данного неравенства, следовательно, должно выполняться соотношение
х1 0 2 х2
f(0) 0, a2 6a 0, 0 a 6, 2 a 6.
f(2) 0; 4 + 4(a 3) + a2 6a 0; 2 a 8;
Ответ: [2; 6].
У
тверждение 3. Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше числа M (х1х2M), необходимо и достаточно выполнение условий:
D
0;
x0M;
А f(M) 0.
Доказательство.
(x1M) 0; (x2M) 0;
(x1M)(x2M) 0;
M2 (x1 + x2)M + x1 x2 0;
M2 +
M + 
0 xa2;
a(aM2 + BM + C) 0;
af(M) 0.
У
тверждение 4. Для того, чтобы оба корня уравнения были больше числа K (Kх1х2), необходимо и достаточно выполнение условий:
D
0;
x0K;
А f(K) 0.
а) больше 1; б) меньше 1?
Р
ешение: а) D 0, (3m + 1)2 4(2m2 + 4m 6) 0, (m 5)2 0,
x0 1,
(3m + 1) 1, m 
,
f(1) 0; 1 (3m + 1) + (2m2 + 4m 6) 0; (2m 3)(m + 2) 0;
mлюбое число,
m , m 
.
m2,
m ;
б ) D 0, mлюбое число,
x01, (3m + 1) 1, m
4.
f(1) 0; 1 + (3m + 1) + (2m2 + 4m 6) 0;
Ответ: а) m
; б) m 4.
Замечание: Если выражения для корней уравнения не содержат радикалов, то удобно решать примеры и без применения теорем. Так как корни х1 = m + 3, x2 = 2m 2, то в случае
а
) m + 3 1; m ; б) m + 3 1; m 4.
2m 2 1; 2m 2 1;
Ответ: (1;
].
Ответ: (1; + ).
Ответ: (3; + ).
У
тверждение 5. Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена лежали в интервале (K; M), т. е. Kx1x2M, необходимо и достаточно выполнение условий:
D
0;
Kx0M;
А f(K) 0,
А f(M)
0.
Р
ешение: D 0, 1 4m 0, m 
,
1 x0 1, 1 1, m 6, 2 m .
4 f(1) 0, 4 + 2 + m 0, m 2;
4 f(1) 0; 4 2 + m 0;
Ответ: (2; ].
Условие задачи можно сформулировать следующим образом: при каких m
4 х1 х2 4?
Решение: D 0, m2 (m2 2m + 5) 0, m 
,
4 x0 4, 4 m 4, 4 m 4, f( 4) 0, 16 + 8m + m2 2m + 5 0, m2 + 6m + 21 0,
f(4) 0; 16 8m + m2 2m + 5 0; m2 10m + 21 0.
Ответ: [ ; 3].
Утверждение 6. Для того, чтобы больший корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (N; M
), а меньший не принадлежал, необходимо и достаточно выполнение условий:
А
f(N) 0,
А f(M) 0.
У
тверждение 7. Для того, чтобы меньший корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (N; M), а больший не принадлежал, необходимо и достаточно выполнение условий:
А f(N) 0,
А f(M) 0.
У
тверждение 8. Для того, чтобы только один корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (N; M), необходимо и достаточно выполнение неравенства
f(N)f(M) 0.
При решении задач следует отдельно рассматривать случаи D = 0 и A = 0.
Решение: 1) f(2)f(5) 0; (10 2p) (31 5p) 0; 5 p
.
2) Если D = 0, то уравнение имеет один корень.
D = p2 24; p2 24 = 0; p = 2
;
а) при p = 2 , х = ; (2; 5);
б) при p = 2 , х = ;
(m 1) f(4) 0; (m 1)(11m 32) 0; 1 m
;1 m .Ответ: (1;
).-
Найти все значения а, при которых неравенство x2 2(а 3)x + а2 6а 0 будет выполнено для любого х, принадлежащего интервалу (0; 2).
Решение: Интервал (0; 2) должен содержаться во множестве решений данного неравенства, следовательно, должно выполняться соотношение
х1 0 2 х2
f(0) 0, a2 6a 0, 0 a 6, 2 a 6.f(2) 0; 4 + 4(a 3) + a2 6a 0; 2 a 8;
Ответ: [2; 6].
У
тверждение 3. Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше числа M (х1х2M), необходимо и достаточно выполнение условий:D
0;x0M;
А f(M) 0.
Доказательство.
(x1M) 0; (x2M) 0;
(x1M)(x2M) 0;
M2 (x1 + x2)M + x1 x2 0;
M2 +
M +
0 xa2;
a(aM2 + BM + C) 0;
af(M) 0.
У
тверждение 4. Для того, чтобы оба корня уравнения были больше числа K (Kх1х2), необходимо и достаточно выполнение условий:D
0;x0K;
А f(K) 0.
-
При каких mвсе корни уравнения x2 (3m + 1)x + (2m2 + 4m 6) = 0
а) больше 1; б) меньше 1?
Р
ешение: а) D 0, (3m + 1)2 4(2m2 + 4m 6) 0, (m 5)2 0,x0 1,
(3m + 1) 1, m ,f(1) 0; 1 (3m + 1) + (2m2 + 4m 6) 0; (2m 3)(m + 2) 0;
mлюбое число,m
, m . m2,m
;б
) D 0, mлюбое число, x01,
(3m + 1) 1, m
4.
f(1) 0; 1 + (3m + 1) + (2m2 + 4m 6) 0;
Ответ: а) m
; б) m 4. Замечание: Если выражения для корней уравнения не содержат радикалов, то удобно решать примеры и без применения теорем. Так как корни х1 = m + 3, x2 = 2m 2, то в случае
а
) m + 3 1; m ; б) m + 3 1; m 4.2m 2 1; 2m 2 1;
-
При каких а корни уравнения аx2 (2а + 1)x + 3а 1 = 0 больше 1?
Ответ: (1;
].-
При каких р корни уравнения x2 + 4рх + (1 2р + 4р2) = 0 меньше 1?
Ответ: (1; + ).
-
При каких bкорни уравнения x2 2xb = 0 меньше b?
Ответ: (3; + ).
У
тверждение 5. Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена лежали в интервале (K; M), т. е. Kx1x2M, необходимо и достаточно выполнение условий: D
0;Kx0M;
А f(K) 0,
А f(M)
0.
-
Для каких значений mуравнение 4x2 2x + m = 0 имеет корни, заключенные между 1 и 1?
Р
ешение: D 0, 1 4m 0, m ,1 x0 1, 1
1, m 6, 2 m .4 f(1) 0, 4 + 2 + m 0, m 2;
4 f(1) 0; 4 2 + m 0;
Ответ: (2;
].-
При каких mкорни уравнения x2 2mx + m2 2m + 5 = 0 по модулю не превосходят 4?
Условие задачи можно сформулировать следующим образом: при каких m
4 х1 х2 4?
Решение: D 0, m2 (m2 2m + 5) 0, m , 4 x0 4, 4 m 4, 4 m 4, f( 4) 0, 16 + 8m + m2 2m + 5 0, m2 + 6m + 21 0,
f(4) 0; 16 8m + m2 2m + 5 0; m2 10m + 21 0.
Ответ: [
; 3].Утверждение 6. Для того, чтобы больший корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (N; M
), а меньший не принадлежал, необходимо и достаточно выполнение условий:
А
f(N) 0,А f(M) 0.
У
тверждение 7. Для того, чтобы меньший корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (N; M), а больший не принадлежал, необходимо и достаточно выполнение условий: А
f(N) 0,А f(M) 0.
У
тверждение 8. Для того, чтобы только один корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (N; M), необходимо и достаточно выполнение неравенства f(N)f(M) 0.
При решении задач следует отдельно рассматривать случаи D = 0 и A = 0.
-
При каких р только один корень уравнения x2 рx + 6 = 0 удовлетворяет условию 2 х 5?
Решение: 1) f(2)f(5) 0; (10 2p) (31 5p) 0; 5 p
.2) Если D = 0, то уравнение имеет один корень.
D = p2 24; p2 24 = 0; p = 2
;а) при p = 2
, х = ; (2; 5);б) при p = 2
, х = ;