Файл: Александры Анатольевны.doc

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ

В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления. Ермаков В.П.Основная цель: научить учащихся исследовать квадратные уравнения; ознакомить их с применениями теоремы Виета и теоремы, обратной ей.Задачи, связанные с квадратными уравнениями, встречающиеся в школьной и конкурсной практике, чрезвычайно разнообразны.Теория решения квадратного уравнения должна быть изложена достаточно полно по требованию программы. Однако для того, чтобы облегчить учащимся решение многих задач, я считаю необходимым дополнить теоретический материал. (Все изложенные ниже дополнительные сведения сообщаются учащимся в процессе изучения соответствующей темы, снабжаются множеством простых примеров. Доказывать все свойства не обязательно.)СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ.

• 
  Уравнение вида Ax² + Bx + C = 0, где x – неизвестное, A, B, C – действительные числа или выражения, зависящие только от параметров, причем A  0, называется квадратным уравнением относительно x.
  

• 
  Допустимыми считаются такие значения параметров, при которых A, B и C имеют смысл.
  

• 
  D = B² – 4ac – дискриминант квадратного уравнения.
  

• 
  Если D  0, то уравнение корней не имеет.
  

• 
  Если D = 0, то уравнение имеет один корень кратности два: x = – .
  

(Замечание: Часто про квадратные уравнения с дискриминантом, равным нулю, и имеющим, соответственно, один корень, говорят, что оно имеет два совпадающих корня (?). Это связано с разложением многочлена на множители. Правильнее, на мой взгляд, что в этом случае нужно говорить и понимать "один корень кратности два".)

• 
  Если D  0, то уравнение имеет два различных корня:
  

x₁ = , x₂ = .

• 
  Если b = 2k, то D₁ = k² – ac;
  

x₁ = , x

---

₂ = .

• 
  Теорема Виета. Если x₁и x₂ – корни квадратного уравнения ax²+bx+c = 0, то
  

x₁ + x₂ = – , x₁ x₂ = .

• 
  Для приведенного квадратного уравнения x² + px+ q= 0 (при условии p² 4q)
  

x₁ + x₂ = – p; x₁ x₂ = q;x₂ – x₁ = ; x₁ ²+ x₂ ² = p² – 2q.

• 
  Свойства корней квадратного уравнения:
  

1. 
   Если D  0, a  0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при C  0 одинаковы и противоположны знаку коэффициента b, а при C  0 разные, причем по абсолютной величине больше тот из корней, знак которого противоположен знаку b.
   
2. 
   Если D = 0, a  0, то уравнение имеет один корень кратности два, знак которого противоположен знаку b.
   
3. 
   Если D  0, a  0, то корней нет.
   

Аналогично устанавливаются свойства корней и для a  0.Справедливы следующие утверждения:

1. 
   Если в квадратном уравнении поменять местами коэффициенты a и c, то получим уравнение, корни которого обратны корням данного.
   
2. 
   Если в квадратном уравнении поменять знак коэффициента b, то получим уравнение, корни которого противоположны корням данного.
   
3. 
   Если в квадратном уравнении коэффициенты a и c разных знаков, то оно имеет действительные корни.
   
4. 
   Если a  0, D = 0, то левая часть квадратного уравнения есть полный квадрат, и наоборот, если левая часть уравнения есть полный квадрат, то a  0, D = 0.
   

При изучении неполных квадратных уравнений в устную и письменную работу полезно включать такие задания:

12. 
    При каких значениях m ровно один из корней уравнения равен нулю:
    

а) 3x²

---

+ x + 2m – 3 = 0; б) x² – 2x + m² – 1 = 0; в) 2x² – mx + 2m² – 3m = 0; г) x² + (m + 3)x + m– 3 = 0.

12. 
    При каких значениях m корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку:
    

а) x² + (3m – 5)x – 2 = 0; б) 2x² – (5m – 3)x + 1 = 0; в) 3x² + (m² – 4m)x + m – 1 = 0; г) 4x² + (5m – 1)x + 3m²+ m = 0.

12. 
    При каких значениях m корень уравнения кратности два равен нулю:
    

а) 3x² – (m – 1)x – 1 – m² = 0; б) x² – (3m² + 4m)x + 9m² – 16 = 0; в) 2x² + (3m² – mx) – m³ – 3m = 0; г) x² + (16 – m⁴)x + m³+ 8 = 0.

12. 
    Решите уравнение:
    

а) x²+ a = 0; б) x²– 2x + 1 = 0; в) a²x²– 4 = 0; г) a(x²– 6x + 9) + 4 = 0.К основным знаниям и умениям по этой теме относится умение решать полные квадратные уравнения.Особенность решения этих уравнений заключается не только в том, что с изменением параметра у них меняются числовые коэффициенты, но и в том, что могут измениться важнейшие характеристики всего уравнения.Начинать "общаться" с квадратными уравнениями следует с класса задач, где за счет параметра на переменную накладываются какие-либо искусственные ограничения. Для таких задач характерны следующие формулировки: при каком значении параметра уравнение имеет один корень, два корня, не имеет корней.Обычно такие задачи не вызывают трудностей. Основное, что требуется от учащегося – это внимательность к формулировке.

12. 
    При каких значениях параметра c уравнение 5x² – 4x + с = 0:
    

а) имеет действительные различные корни;б) имеет один корень кратности два;в) не имеет действительных корней?Решение:D₁ = 4 – 5cа) Если D₁ 0, 4 – 5c  0, 5c  4, c  0,8 , то уравнение имеет два различных корня;

---

б) Если D = 0, 4 – 5c = 0, c = 0,8 , то уравнение имеет один корень кратности два;в) Если D  0, 4 – 5c  0, 5c  4, c  0,8 , то уравнение не имеет корней.Ответ: а) c  0,8;б) c = 0,8; в) c  0,8.При работе с этим уравнением акцентируем внимание на следующих вопросах:

• 
  Какова степень уравнения?
  
• 
  Зависит ли степень уравнения от значения параметра с?
  

Далее усложняем задачу, предлагая уравнения, в которых коэффициент при второй степени неизвестной зависит от параметра.

12. 
    При каких значениях a уравнение ax² + 2x + 1 = 0 имеет два различных корня?
    

Решение:

1. 
   Данное уравнение является квадратным относительно xпри a 0.
   

(Комментарий: первоначально учащиеся формулируют определение квадратного уравнения).

2. 
   Уравнение имеет различные корни, когда его D₁ 0.
   

D₁ = 1 – a, 1 – a  0, a  1.

3. 
   При a = 0 получается уравнение 2x + 1 = 0, имеющее один корень.
   

Ответ:a ( 0) U (0; 1).Формулируем правило:

• 
  Если коэффициент при x²многочлена второй степени содержит параметр, необходимо разбирать случай, когда он обращается в нуль.
  

Опять с уравнением работаем очень подробно, обсуждая каждую деталь решения.

12. 
    Найти все значения параметра a, для которых квадратное уравнение
    

(a + 1)x² + 2(a + 1)x + a – 2 = 0а) имеет два различных корня;б) не имеет корней;в) имеет один корень.Решение:(Комментарий: Несколько раз прочитать формулировку, сравнить с предыдущим заданием, найти отличие в формулировках).

1. 
   Так как по условию уравнение квадратное, то a + 1  0, a –1.
   

(Вывод: Из решения следует исключить это число).

2. 
   D₁= (a + 1)² – (a + 1)(a – 2) = 12(a + 1).
   

а) Если D₁ 0, a + 1  0, a –1, то уравнение имеет два различных корня;б) Если D₁ 0, a + 1  0, a –1, то уравнение не имеет корней;в) Уравнение имеет один корень, если D₁ = 0, a + 1= 0, a

---

= –1, но a –1 (из п.1), следовательно, решений нет.Ответ: а) a –1;б)a –1; в)решений нет.

12. 
    При каких a уравнение ax²– x + 3 = 0 имеет единственное решение?
    

(Комментарий: Обсуждаем, какие из известных нам типов уравнений имеют один корень; каким может быть это уравнение в зависимости от a; определен ли в условии задачи тип уравнения).Решение:

1. 
   Если a = 0, –x + 3 = 0, x = 3, то уравнение имеет один корень.
   
2. 
   Если a 0, то уравнение имеет один корень, когда D = 0.
   

D = 1 – 12a, 1 – 12a = 0, a = .Ответ:a = 0, a = .Задачи 36  39 являются ключевыми по этому вопросу.В классе и для домашней работы можно предложить такие задачи:

12. 
    При каких значениях параметра b уравнение x² + bx + 4 = 0:
    

а) имеет один из корней, равный 3;б) имеет различные корни;в) имеет один корень;г) не имеет корней?

12. 
    При каких значениях параметра b корни уравнения 4x² + (3b² – 5 b + 2)x – 3 = 0 равны по модулю?
    

Ответ:; 1.

12. 
    Найдите наибольшее целое значение k, при котором уравнение x² + x – k = 0 не имеет корней.
    
13. 
    При каком значении a уравнение:
    

а) ax² – (a + 1)x + 2a – 1 = 0; б) (a + 2)x² + 2(a + 2)x + 2 = 0имеет один корень?Ответ: а) –; 0 ; б) 0.

12. 
    При каких значениях a уравнение (a² – 6a + 8)x² + (a² – 4)x + (10 – 3a – a²) = 0 имеет более двух корней?
    

Ответ:2.

12. 
    Докажите, что при любом значении k уравнение 3y² – ky – 2 = 0 имеет два корня.
    
13. 
    Докажите, что не существует такого значения m, при котором уравнение x² – mx + m – 2 = 0 имело бы один корень.
    

---