Файл: Александры Анатольевны.doc

30 человек.

Так как меньшее число учащихся может быть в 7-м и 9-м классах, то должны выполняться неравенства 36 –  30 и 33 –  30. Отсюда получаем, что n 18 и n 9. Следовательно, n 9.

Из того, что числа 36 – , 36 + и 33 – должны быть натуральными, следует, что nкратно 3.

Учитывая эти два условия (n 9 и nкратно 3), заключаем, что nравно 3, 6 или 9.

Поэтому окончательный ответ на вопрос задачи мы можем записать так: в 7-м классе было 36 – учащихся, в 8-м классе 36 + и в 9-м классе 33 – , где n = 3, n = 6, n = 9.

Иначе говоря, возможны три варианта: в 7-м, 8-м и 9-м классах могло быть соответственно 35, 38, 32; или 34, 40, 31; или 33, 42, 30 учащихся.
Задача очень объемная. Цель ее рассмотрения:

1. 
   показать, как "рождаются" задачи с параметрами;
   
2. 
   зависимость ответа от значения параметра;
   

Поэтому целесообразно первую часть разобрать в форме диалога с учащимися, а далее конструктивно перейти к ответу, акцентировать внимание на возможных значениях n. Непосредственно закончить решение задачи предлагается самостоятельно по желанию, с последующим выставлением оценки в журнал, либо разобрать на факультативном занятии.

Во вводной беседе следует заметить, что изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Наиболее трудной и важной частью решения таких задач является исследование процесса в зависимости от параметров.

Формированию некоторых навыков решения таких задач и посвящена данная тема.

Итак, решение линейного уравнения

---

ax = b в общем виде, исследование количества его корней в зависимости от значений параметра относится к задачам с параметром.

Решим ряд устных упражнений типа:

1. 
   Дано уравнение ax = 3a + 8.
   

Какое уравнение получится при а) a = 10; б) a = 2;

в) a = ¼; г) a = 0.

2. 
   Является ли уравнение 2ax (a – 1) + a = 4x – 8a линейным
   

а) относительно x;

б) относительно a.

3. 
   Дано уравнение ax = 4x + 5.
   

Найдите множество корней этого уравнения в случае, если a = 4, a  4.

После этого восстановим схему решения линейного уравнения ax = b (x – переменная, a, b – некоторые числа). Для этого можно пригласить к доске сильного ученика.

ax = b



a 0, b – любое a = 0



x = b = 0b  0

0  x = 0 0  x = b

x – любое числокорней нет

Однако, учитывая, что решение задачи обычно записывается не блок-схемой, предпочтительно знакомить учащихся со словесным алгоритмом решения. Его они и записывают в тетрадь вслед за учителем.

Алгоритм решения линейных уравнений с параметром.

Ax = B (x – неизвестное,

A, B – выражения, зависящие только от параметров)

1. 
   Если A  0, то x = .
   

Уравнение имеет один корень, причем x  0, если a  0 и b  0 или a  0 и b  0;

x = 0, если b = 0;

x  0, если a  0 и b  0 или a  0 и b  0.

2. 
   а) Если A = 0, B = 0
   

0  x = 0, x – любое число.

---

Уравнение имеет бесконечно много корней.

б) Если A = 0, B  0

0  x = B, корней нет.

Уравнение корней не имеет.

Сначала прорешиваем ключевые уравнения, акцентируя внимание на правильную запись ответа.

1. 
   ax = 10
   

Решение: а) Если a  0, то x = ;

б) Если a = 0, то 0  x =10, корней нет.

Ответ: при a  0 x = ;

при a = 0 корней нет.

2. 
   0  x = a
   

Решение: а) Если a = 0, то 0  x = 0, x – любое число;

б) Если a  0, то 0  x = a, корней нет.

Ответ: при a = 0 x – любое число;

при a  0 корней нет.

Обращаем внимание, что значение коэффициента известно, буквой a обозначен свободный член. При решении данного уравнения работает второй шаг алгоритма.

3. 
   2m (m – 2) x = m – 2
   

Решение: 1. Если 2m (m – 2)  0, то m  0, m  2;

x = ; x = .

2. а) Если m = 0, то

(на первых порах записываем подробно, чтобы ученики видели источник появления уравнения)

2  0 (0 – 2)  x = 0 – 2,

0  x = – 2,

корней нет.

б) Если m = 2, то

2  2 (2 – 2)  x = 2 – 2,

0  x = 0,

x – любое число.

Ответ: при m  0, m  2 x = ;

при m = 0 корней нет;

при m = 2 x – любое число.

4. 
   ax + 3 = 4a – 2x
   

Решение: Преобразуем уравнение к виду ax = b.

ax + 2x = 4a – 3,

(a + 2) x = 4a – 3.

1. Если a + 2  0, то a  –2, x = ;

2. Если a = –2, то (–2 + 2) x = 4 (–2) – 3,

0  x = –11,

корней нет.

Ответ: при a  –2 x = ;

при a = –2 корней нет.

5. 
   При каком значении параметра а уравнение = имеет корень:
   

---

а) больший нуля; б) меньший нуля; в) равный нулю?

Решение: =

Умножим обе части уравнения на 12:

20x – 4a = 18x – 3;

20x – 18x = 4a – 3;

2x = 4a – 3;

x = ;

x = 2a – 1,5.

а) x  0, если 2a – 1,5  0, 2a  1,5, a  0,75;

б) x  0, если 2a – 1,5  0, 2a  1,5, a  0,75;

в) x = 0, если 2a – 1,5= 0, 2a = 1,5, a = 0,75.

Ответ: при a  0,75 x  0;

при a  0,75 x  0;

при a = 0,75 x = 0.

Далее учащиеся решают блок задач на отработку задач типа 15. Такие задачи составляются весьма легко.

Разные задачи

6. 
   Составить линейное уравнение, обе части которого содержат параметр a так, чтобы уравнение имело решение при любом действительном a.
   

Ответ: (a² + 1) x = a или ax = a

7. 
   При каком целом неотрицательном значении n имеет целые корни уравнение
   

– = 1 ?

Решение: Умножим обе части уравнения на 9:

4n – 6 – 3 (x – 2) = 9;

4n – 6 – 3x + 6 = 9;

–3x = 9 – 4n;

x = ;

x = .

Уравнение имеет целые корни, если 4n – 9 кратно числу 3, следовательно, 4n кратно числу 3, отсюда n = 3k, где k – натуральное число.

Ответ: n = 3k, k  N.

8. 
   Решить уравнение x – xy + 5y = 7в целых числах.
   

Решение: Решим это уравнение относительно x, т.е. букву y будем считать параметром. Имеем:

x – xy = 7 – 5y;

x (1 – y) = 7 – 5y;

x = ;

Выделим из дроби целую часть:

= = – = 5 – .

---

Итак, x = 5 – . Дробь обращается в целое число лишь при тех значениях y, при которых y – 1 является делителем числа 2, т.е. при y, равном –1, 0, 2, 3.

Вычислим соответствующие значения x:

Если y = –1, то x = 5 – = 6;

Если y = 0, то x = 5 – = 7;

Если y = 2, то x = 5 – = 3;

Если y = 3, то x = 5 – = 4.

Ответ: x₁ = 6; y₁ = –1;

x₂ = 7; y₂ = 0;

x₃ = 3; y₃ = 2;

x₄ = 4; y₄ = 3.

Чуть позже, когда будут изучены формулы сокращенного умножения, можно предложить следующие задачи:

9. 
   Решить относительно x уравнение x (a² – 1) = (a + 1) (1 – x).
   

Решение: x (a² – 1) = a + 1 – x (a + 1);

((a² – 1) + (a + 1)) x = a + 1;

(a² + a) x = a + 1;

a (a + 1) x = a + 1.

1. 
   Если a (a + 1)  0, то a  0, a  –1
   

x = ; x = .

2. а) Если a = 0, то 0  x = 1, корней нет.

б) Если a = –1, то 0  x = 0, x – любое число.

Ответ: при a  0, a  –1 x = ;

при a = 0 корней нет;

при a = –1 x – любое число.

10. 
    При каких значениях параметра n уравнение (n² – 4) x = n³ – 2n² – n + 2 :
    

а) имеет единственный корень;

б) имеет бесконечное множество корней;

в) не имеет корней?

11. 
    Зная, что n  N, выясните, имеет ли заданное уравнение целые решения и, если имеет, то при каких n:
    

а) n (x – 1) = n² + n + 1

Ответ: при n = 1.

б) n (x + 5) = n² + n + 4

---