Файл: Учебнометодический комплекс дисциплины математический анализ1.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.12.2023
Просмотров: 177
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
левостороннего предела:
Обратите внимание на запись . «Добавка» «минус ноль» символизирует бесконечно малое отрицательное число, по сути это и обозначает, что мы подходим к числу с левой стороны.
Аналогично, если приближаться к точке «ка» справа , то «игреки» придут к тому же значению , но уже по зелёной стрелке, и правосторонний предел оформится следующим образом:
«Добавка» символизирует бесконечно малое положительное число, и запись читается так: «икс стремится к ка справа».
Если односторонние пределы конечны и равны : , то будем говорить, что существует ОБЩИЙ предел .
Заметьте, что если функция не определена при , то перечисленные выкладки остаются справедливыми. Как уже неоднократно отмечалось, в частности, в статье о бесконечно малых функциях, выражения означают, что «икс» бесконечно близко приближается к точке , при этом НЕ ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЯ, определена ли сама функция в данной точке или нет.
Определение: функция непрерывна в точке , если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке: .
Определение детализируется в следующих условиях:
1) Функция должна быть определена в точке , то есть должно существовать значение .
2) Должен существовать общий предел функции . Как отмечалось выше, это подразумевает существование и равенство односторонних пределов: .
3) Предел функции в данной точке должен быть равен значению функции в этой точке: .
Если нарушено хотя бы одно из трёх условий, то функция теряет свойство непрерывности в точке .
Непрерывность функции на интервале формулируется остроумно и очень просто: функция непрерывна на интервале , если она непрерывна в каждой точке данного интервала.
В частности, многие функции непрерывны на бесконечном интервале , то есть на множестве действительных чисел . Это линейная функция, многочлены, экспонента, синус, косинус и др. И вообще, любая элементарная функция непрерывна на своей области определения, так, например, логарифмическая функция непрерывна на интервале .
Если в точке нарушено условие непрерывности и односторонние пределы конечны, то она называется точкой разрыва первого рода.
Лекция 6. Определение производной, ее геометрический и
механический смысл. Правила дифференцирования
Определение производной базируется на понятии предела.
Определение: Приращением аргумента х в точке называется разность .
Определение. Приращением функции в точке называется разность
.
Производной функцииy = f(x) называется конечный предел приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует):
Δy f (x+Δx) – f (x)
y' = f'(x) = lim ― = lim ―――――― .
Δx→0 Δx Δx→0 Δx
Если функция в точке x0 (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).
Если функция y = f ' (x) дифференцируема в точке х0 (или на промежутке Х), то она в этой точке непрерывна (или на промежутке Х). Если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке.
Определение. Если существует предел
то это число называется производной функции в точке .
Этот предел можно записывать также в виде
Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если она имеет конечную производную в этой точке.
Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.
Мгновенная скорость точки в момент равна производной от пути, проходимого этой точкой по времени при . Это и есть механический смысл производной.
Геометрический смысл производной.
Рассмотрим функцию (синий график), которая определена и непрерывна на некотором интервале, произвольную точку , принадлежащую данному интервалу, и соответствующее значение :
Зададим аргументу функции приращение (красный отрезок) в точке . Обратите внимание, что – это тоже вполне определённая точка нашего интервала (на всякий случай отметил её малиновым цветом). И в этой точке существует своё значение функции .
Приращение аргумента повлекло за собой приращение функции:
(малиновый отрезок)
В данном случае , поскольку в качестве примера выбран промежуток, на котором функция возрастает.
Рассмотримсекущую (коричневая прямая) и прямоугольный треугольник .
Угол наклона секущей к оси обозначим через и отметим его коричневой дугой в двух местах. Такое внимание к данному углу не случайно – он однозначно определяется приращениями . Рассмотрим прямоугольный треугольник и угол . Согласно определению, тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:
Определение: производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента в этой точке при . Или коротко:
Если данный предел конечен, то функция является дифференцируемой в точке , то предел существует и конечен.
А также, приращение аргумента стремится к нулю, но нуля не достигает, иными словами, величина бесконечно мала, но не равна нулю!
Теперь, согласно определению производной , медленно двигаем линейку влево к точке, уменьшая тем самым приращение . При этом приращение функции тоже уменьшается: точка будет бесконечно близко приближаться к точке по горизонтали (красному отрезку), и точка – бесконечно близко приближаться к той же точке , но уже по графику функции (синей линии).
В результате секущая стремится занять положение касательной к графику функции в точке . Искомая касательная изображена зелёным цветом.
Таким образом, мы получили строгое определение касательной к графику функции:
Касательная к графику функции в точке – это предельное положение секущей в данной точке.
Развиваем мысль дальше. Вспомним полученную ранее формулу тангенса угла наклона секущей и осуществим в обеих её частях так называемый предельный переход.
При бесконечном уменьшении и нахождения предела ) угол наклона секущей стремится к углу наклона касательной (последний дважды отмечен зелёными дугами). Аналогичное утверждение справедливо и для тангенсов данных углов: . В итоге:
Тогда можно сделать следующтй вывод: производная функции в точке численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке: .
А тангенс угла наклона касательной – это в точности её угловой коэффициент:
Из курса аналитической геометрии выведена формула, по которой можно составить уравнение прямой с угловым коэффициентом:
Учитывая полученное равенство , перепишем уравнение в виде .
Данная формула является формулой уравнения касательной.
.
Через две точки и на графике функции проведём прямую.
Определение.Касательной к графику функции в точке называется прямая, являющаяся предельным положением секущей, проходящей через точку при .
Другими словами, касательная в точке - это прямая, проходящая через , угловой коэффициент которой .
Если существует, то из (1) следует, что .
В этом случае график функции в точке имеет касательную.
Таким образом, есть угловой коэффициент касательной к графику в точке (геометрический смысл производной).
Уравнение этой касательной имеет вид
Основные правила дифференцирования:
Теорема 1. (правила дифференцирования суммы, произведения и частного). Если функции и дифференцируемы в точке x, то сумма, произведение и частное этих функций (частное при условии, что ) также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы:
1.
2.
3. .
Дифференцирование сложной функции
Пусть функция дифференцируема в точке , , функция дифференцируема в точке , тогда сложная функция дифференцируема в и её производная равна .
3. Таблица производных основных элементарных функций
С помощью этой таблицы и правил вычисления производных можно вычислить производную любой элементарной функции.
Лекция7. Дифференциал функции и приближенные вычисления. Производные и дифференциалы высших порядков. Экономический смысл производной. Эластичность функции
7.1Дифференциал функции
Рассмотрим функцию , которая является непрерывной на интервале . Предположим, что в нкоторой точке независимая переменная получает приращение . Приращение функции соответствующее такому изменению аргумента выражается формулой
.
Для любой дифференцируемой функции приращение можно представить в виде суммы двух слагаемых:
где первый член линейно зависит от приращения , а второй член имеет более высокий порядок малости относительно . Выражение называется дифференциалом функции и обозначается символом
.
В этом и следующем параграфах каждую из функций будем считать дифференцируемой при всех рассматриваемых значениях её аргументов.
Геометрический смысл дифференциала функции
На рисунке схематически показана разбивка приращения функции на главную часть (дифференциал функции) и член высшего порядка малости
. Касательная MN
проведенная к кривой функции как известно, имеет угол наклона , тангенс которого равен производной: . При изменении аргумента на касательная получает приращение Это линейное приращение, образованное касательной, как раз и является дифференциалом функции. Остальная часть полного приращения (отрезок ) соответствует "нелинейной" добавке с более высоким порядком малости относительно Δx.
Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной
Если функции - дифференцируемые функции в точке , то ; ; , где - постоянное число ; .
Из равенства или:
,
можно последнюю формулу использовать для приближенного вычисления.
Производные высших порядков
Рассмотрим функцию ). Если у функции имеется первая производная на интервале , то вторая производная – это производная от 1-й производной или .
В принципе, вторую производную уже считают производной высшего порядка.
Аналогично: третья производная – это производная от 2-й производной. Четвёртная производная – есть производная от 3-й производной и т.д.
В общем случае ,
или
Иногда встречается такая запись: – третья, четвёртая, пятая, …, «энная» производные соответственно.
Пусть заданы дифференцируемые функций и . Для суммы и произведения дифференцируемых функций выполняется следующее правило дифференцирования:
1. ;
Формула Лейбница:
, где . Это авенство можно доказать методом математической индукции.
Дифференциалы высших порядков. Пусть задана -кратно дифференцируемая функция f(x) на интервале , где -независисмая переменная. Тогда дифференциал от первого дифференциала данной функции называется вторым дифференциалом функции и обозначается , и
тең
-кратный дифференциал функции обозначается:
Для -кратного дифференциала функции выполняются равенства:
1)
2)
Примеры:1. Найти функции . Записать производную порядка
Решение: найдём пятую производную:
Очевидно,что
Ответ:
2. Найти функции .
Решение: найдём несколько производных:
Запишем «энную» производную:
Таким образом:
Ответ:
Лекция7. Дифференциал функции и приближенные вычисления. Производные и дифференциалы высших порядков. Экономический смысл производной. Эластичность функции
Обратите внимание на запись . «Добавка» «минус ноль» символизирует бесконечно малое отрицательное число, по сути это и обозначает, что мы подходим к числу с левой стороны.
Аналогично, если приближаться к точке «ка» справа , то «игреки» придут к тому же значению , но уже по зелёной стрелке, и правосторонний предел оформится следующим образом:
«Добавка» символизирует бесконечно малое положительное число, и запись читается так: «икс стремится к ка справа».
Если односторонние пределы конечны и равны : , то будем говорить, что существует ОБЩИЙ предел .
Заметьте, что если функция не определена при , то перечисленные выкладки остаются справедливыми. Как уже неоднократно отмечалось, в частности, в статье о бесконечно малых функциях, выражения означают, что «икс» бесконечно близко приближается к точке , при этом НЕ ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЯ, определена ли сама функция в данной точке или нет.
Определение: функция непрерывна в точке , если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке: .
Определение детализируется в следующих условиях:
1) Функция должна быть определена в точке , то есть должно существовать значение .
2) Должен существовать общий предел функции . Как отмечалось выше, это подразумевает существование и равенство односторонних пределов: .
3) Предел функции в данной точке должен быть равен значению функции в этой точке: .
Если нарушено хотя бы одно из трёх условий, то функция теряет свойство непрерывности в точке .
Непрерывность функции на интервале формулируется остроумно и очень просто: функция непрерывна на интервале , если она непрерывна в каждой точке данного интервала.
В частности, многие функции непрерывны на бесконечном интервале , то есть на множестве действительных чисел . Это линейная функция, многочлены, экспонента, синус, косинус и др. И вообще, любая элементарная функция непрерывна на своей области определения, так, например, логарифмическая функция непрерывна на интервале .
Если в точке нарушено условие непрерывности и односторонние пределы конечны, то она называется точкой разрыва первого рода.
Лекция 6. Определение производной, ее геометрический и
механический смысл. Правила дифференцирования
Определение производной базируется на понятии предела.
Определение: Приращением аргумента х в точке называется разность .
Определение. Приращением функции в точке называется разность
.
Производной функцииy = f(x) называется конечный предел приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует):
Δy f (x+Δx) – f (x)
y' = f'(x) = lim ― = lim ―――――― .
Δx→0 Δx Δx→0 Δx
Если функция в точке x0 (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).
Если функция y = f ' (x) дифференцируема в точке х0 (или на промежутке Х), то она в этой точке непрерывна (или на промежутке Х). Если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке.
Определение. Если существует предел
то это число называется производной функции в точке .
Этот предел можно записывать также в виде
Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если она имеет конечную производную в этой точке.
Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.
Мгновенная скорость точки в момент равна производной от пути, проходимого этой точкой по времени при . Это и есть механический смысл производной.
Геометрический смысл производной.
Рассмотрим функцию (синий график), которая определена и непрерывна на некотором интервале, произвольную точку , принадлежащую данному интервалу, и соответствующее значение :
Зададим аргументу функции приращение (красный отрезок) в точке . Обратите внимание, что – это тоже вполне определённая точка нашего интервала (на всякий случай отметил её малиновым цветом). И в этой точке существует своё значение функции .
Приращение аргумента повлекло за собой приращение функции:
(малиновый отрезок)
В данном случае , поскольку в качестве примера выбран промежуток, на котором функция возрастает.
Рассмотримсекущую (коричневая прямая) и прямоугольный треугольник .
Угол наклона секущей к оси обозначим через и отметим его коричневой дугой в двух местах. Такое внимание к данному углу не случайно – он однозначно определяется приращениями . Рассмотрим прямоугольный треугольник и угол . Согласно определению, тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:
Определение: производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента в этой точке при . Или коротко:
Если данный предел конечен, то функция является дифференцируемой в точке , то предел существует и конечен.
А также, приращение аргумента стремится к нулю, но нуля не достигает, иными словами, величина бесконечно мала, но не равна нулю!
Теперь, согласно определению производной , медленно двигаем линейку влево к точке, уменьшая тем самым приращение . При этом приращение функции тоже уменьшается: точка будет бесконечно близко приближаться к точке по горизонтали (красному отрезку), и точка – бесконечно близко приближаться к той же точке , но уже по графику функции (синей линии).
В результате секущая стремится занять положение касательной к графику функции в точке . Искомая касательная изображена зелёным цветом.
Таким образом, мы получили строгое определение касательной к графику функции:
Касательная к графику функции в точке – это предельное положение секущей в данной точке.
Развиваем мысль дальше. Вспомним полученную ранее формулу тангенса угла наклона секущей и осуществим в обеих её частях так называемый предельный переход.
При бесконечном уменьшении и нахождения предела ) угол наклона секущей стремится к углу наклона касательной (последний дважды отмечен зелёными дугами). Аналогичное утверждение справедливо и для тангенсов данных углов: . В итоге:
Тогда можно сделать следующтй вывод: производная функции в точке численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке: .
А тангенс угла наклона касательной – это в точности её угловой коэффициент:
Из курса аналитической геометрии выведена формула, по которой можно составить уравнение прямой с угловым коэффициентом:
Учитывая полученное равенство , перепишем уравнение в виде .
Данная формула является формулой уравнения касательной.
.
Через две точки и на графике функции проведём прямую.
Определение.Касательной к графику функции в точке называется прямая, являющаяся предельным положением секущей, проходящей через точку при .
Другими словами, касательная в точке - это прямая, проходящая через , угловой коэффициент которой .
Если существует, то из (1) следует, что .
В этом случае график функции в точке имеет касательную.
Таким образом, есть угловой коэффициент касательной к графику в точке (геометрический смысл производной).
Уравнение этой касательной имеет вид
Основные правила дифференцирования:
Теорема 1. (правила дифференцирования суммы, произведения и частного). Если функции и дифференцируемы в точке x, то сумма, произведение и частное этих функций (частное при условии, что ) также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы:
1.
2.
3. .
Дифференцирование сложной функции
Пусть функция дифференцируема в точке , , функция дифференцируема в точке , тогда сложная функция дифференцируема в и её производная равна .
3. Таблица производных основных элементарных функций
| | |
С помощью этой таблицы и правил вычисления производных можно вычислить производную любой элементарной функции.
Лекция7. Дифференциал функции и приближенные вычисления. Производные и дифференциалы высших порядков. Экономический смысл производной. Эластичность функции
7.1Дифференциал функции
Рассмотрим функцию , которая является непрерывной на интервале . Предположим, что в нкоторой точке независимая переменная получает приращение . Приращение функции соответствующее такому изменению аргумента выражается формулой
.
Для любой дифференцируемой функции приращение можно представить в виде суммы двух слагаемых:
где первый член линейно зависит от приращения , а второй член имеет более высокий порядок малости относительно . Выражение называется дифференциалом функции и обозначается символом
.
В этом и следующем параграфах каждую из функций будем считать дифференцируемой при всех рассматриваемых значениях её аргументов.
Геометрический смысл дифференциала функции
На рисунке схематически показана разбивка приращения функции на главную часть (дифференциал функции) и член высшего порядка малости
. Касательная MN
проведенная к кривой функции как известно, имеет угол наклона , тангенс которого равен производной: . При изменении аргумента на касательная получает приращение Это линейное приращение, образованное касательной, как раз и является дифференциалом функции. Остальная часть полного приращения (отрезок ) соответствует "нелинейной" добавке с более высоким порядком малости относительно Δx.
Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной
Если функции - дифференцируемые функции в точке , то ; ; , где - постоянное число ; .
Из равенства или:
,
можно последнюю формулу использовать для приближенного вычисления.
Производные высших порядков
Рассмотрим функцию ). Если у функции имеется первая производная на интервале , то вторая производная – это производная от 1-й производной или .
В принципе, вторую производную уже считают производной высшего порядка.
Аналогично: третья производная – это производная от 2-й производной. Четвёртная производная – есть производная от 3-й производной и т.д.
В общем случае ,
или
Иногда встречается такая запись: – третья, четвёртая, пятая, …, «энная» производные соответственно.
Пусть заданы дифференцируемые функций и . Для суммы и произведения дифференцируемых функций выполняется следующее правило дифференцирования:
1. ;
Формула Лейбница:
, где . Это авенство можно доказать методом математической индукции.
Дифференциалы высших порядков. Пусть задана -кратно дифференцируемая функция f(x) на интервале , где -независисмая переменная. Тогда дифференциал от первого дифференциала данной функции называется вторым дифференциалом функции и обозначается , и
тең
-кратный дифференциал функции обозначается:
Для -кратного дифференциала функции выполняются равенства:
1)
2)
Примеры:1. Найти функции . Записать производную порядка
Решение: найдём пятую производную:
Очевидно,что
Ответ:
2. Найти функции .
Решение: найдём несколько производных:
Запишем «энную» производную:
Таким образом:
Ответ:
Лекция7. Дифференциал функции и приближенные вычисления. Производные и дифференциалы высших порядков. Экономический смысл производной. Эластичность функции