Файл: Учебные материалы по дисциплине Теоретическая механика.pdf

127
Равнодействующая системы параллельных сил может быть найдена суммированием (интегрированием) элементарных внешних сил
dF (x) = q(x) ·dx, распределенных с интенсивностью q(x) по отрезку. Такая система сил эквивалентна сосредоточенной силе
(323)
точка приложения которой находится в центре параллельных сил с координатой XC
(324)
Рис. 66. Система параллельных сил, распределенных непрерывно по
отрезку 0 ≤ x ≤ l
Рассмотрим частные случаи применения формул (323), (324) для разного типа внешних нагрузок

128 б) Постоянная интенсивность.
Рис. 67. Система параллельных сил, равномерно распределенных по
отрезку 0 ≤ x ≤ l
В случае постоянной интенсивности внешних сил (см. рис. 67) результирующая сосредоточенная сила и центр ее приложения могут быть найдены по формулам:
(325)
в) Интенсивность, меняющаяся по линейному закону.
В том случае, когда интенсивность внешних сил линейно нарастает от нуля до некоторого максимального значения q (x) = q0 · x (см. рис. 68), результирующая сосредоточенная сила и центр ее приложения выражаются иначе.
(326)
Рис. 68. Система параллельных сил, распределенных по отрезку 0 ≤ x ≤ l c
линейно нарастающей интенсивностью

129
Центр тяжести.
Центром тяжести твердого тела называется геометрическая точка, жестко связанная с этим телом, и являющаяся центром параллельных сил тяжести, приложенных к отдельным элементарным частям тела. Координаты центра тяжести неоднородного твердого телав выбранной системе отсчета определяются следующим образом.
Рис. 69. Вычисление центра тяжести неоднородного твердого тела
В случае однородного поля тяжести элементарные параллельные силы, действующие на различные части твердого тела зависят лишь от массы этих частей
ΔFi = Δmig = ρig· ΔVi, где
g – ускорение свободного падения;
ρi - плотность бесконечно малой частицы твердого тела, занимающей объем
ΔV = Δx ΔyΔz.
Подставляя эти соотношения в общие выражения (322), находим, что координаты точки центра тяжести твердого тела можно вычислить по формулам:
(327)
(328)

130
,
(329) где
m – суммарная масса твердого тела, выражающаяся через его плотность ρ (x, y. z)
(330)
Таким образом, в случае однородного поля тяготения центр тяжести твердого тела совпадает с его центром масс. Для однородного твердого тела, плотность, которого постоянна ρ (x, y. z) формулы (327) – (329) принимают более простой вид:
(331)
где
V – обозначает объем однородного твердого тела. Для большинства геометрически симметричных тел центр тяжести совпадает с их геометрическим центром (шар, сфера, эллипсоид, параллелепипед, цилиндр). Центры тяжести некоторых других однородных геометрических тел приводятся ниже.
Полуокружность:
(332)
Полукруг:
(333)

131
Полусфера:
(334)
Полушар:
.
(335)
Однородный прямой круглый конус радиусом основания R и высотой
H:
(336)
Центр тяжести однородной треугольной пластины лежит в плоскости этой пластины в точке пересечения медиан треугольника, образованного сторонами пластины.

132

133
Рис. 70. Кинетическая энергия абсолютно твердого тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси
Тогда суммарная кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг оси Z, будет равна:
(340)
где
zz- момент инерции абсолютно твердого тела относительно оси вращения.
Вычислим кинетическую энергию твердого тела при плоскопараллельном движении всех точек в плоскости OXY (см. рис. 71).
Допустим, что мгновенный центр скоростей твердого тела находится в точке
P.

134
Рис. 71. Плоскопараллельное движение твердого тела, вращающегося
вокруг оси ZP. Точка P, мгновенный центр скоростей, неподвижна в
инерциальной системе координат в данный момент времени
Тогда согласно формуле (340) кинетическую энергию твердого тела можно будет записать в виде:
(341)
где
- момент инерции абсолютно твердого тела относительно мгновенной оси вращения ZP. Этой формулой неудобно пользоваться, поскольку при движении твердого тела положение точки P все время изменяется. Более предпочтительным оказывается выбор оси вращения, проходящей через центр масс – точку C. Согласно теореме
Штейнера моменты инерции твердого тела, относительно осей вращения ZP и ZC. связаны соотношением:
Jp = Jc + M · h2c.

135
Подставляем эту формулу в (341) и получаем:
(342)
где
- скорость центра масс твердого тела. Таким образом, приходим к заключению, что кинетическая энергия твердого тела при плоскопараллельном движении равна сумме кинетической энергии центра масс, в котором условно сосредоточена масса всего тела, и кинетической энергии тела при его вращении вокруг центральной оси, перпендикулярной плоскости движения.
В общем случае произвольного движения твердого тела его кинетическая энергия может быть выражена через компоненты тензора моментов инерции. Введем в рассмотрение вспомогательную подвижную систему отсчета S1 , жестко связанную с твердым телом.
Рис. 72. Подвижная система отсчета S1, вращающаяся с твердым телом
вокруг некоторой подвижной точки A в инерциальной системе
координат S
Скорости точек твердого тела в инерциальной системе отсчета S выражаются через скорость полюса – точки A и угловую скорость вращения системы S1.
.
(343)

136
Подставляем (342) в (338) и находим, что
(344)
где
- радиус-вектор точки центра масс твердого тела в системе S1.
Последнее слагаемое в формуле (344) представляет собой кинетическую энергию вращения твердого тела вокруг точки A и выражается через компоненты тензора инерции (277) - (282) и проекции вектора угловой скорости на оси X1Y1Z1 подвижной системы координат S1.
(345)
Наиболее простой вид формула для кинетической энергии твердого тела имеет в том случае, когда точка A совпадает с центром масс (тогда
), а оси подвижной системы координат S1 совпадают с главными осями инерции твердого тела. Тогда центробежные компоненты моментов инерции равны нулю и получаем:
(346)
Формула (346) является математической записью более общего утверждения о кинетической энергии системы материальных точек, которое более известно как теорема Кёнига.
Кинетическая энергия системы материальных точек в абсолютном
движении складывается из кинетической энергии центра масс, если в нем
сосредоточить всю массу системы, и кинетической энергии
относительного движении системы по отношению к ее центру масс.

137
Работа силы.
Эффект действия силы на материальное тело зависит от времени действия силы, направления силы по отношению к перемещению, точки приложения силы, а также от пути, на протяжении которого сила действует на тело. Для описания результата действия силы на материальное тело в зависимости от взаимного расположения векторов силы, перемещения и от пути, на котором действует сила, вводится понятие работы силы. Различают
элементарную и полную работу силы. Допустим, что материальная точка
М под действием силы совершила элементарное перемещение
(см. рис. 73). Тогда элементарной работой силы на перемещении называется скалярное произведение вектора силы на вектор элементарного перемещения
.
(347)
Рис. 73. Элементарная работа силы по перемещению материальной точки
M на бесконечно малое расстояние
Угол между направлением
силы и перемещения равен
Элементарная работа может быть выражена через вектор скорости материальной точки и бесконечно малый промежуток времени, за который произошло данное перемещение.
(348)

138
Полная работа силы на конечном перемещении находится суммированием элементарных работ силы на каждом бесконечно малом расстоянии вдоль траектории движения. В непрерывном случае суммирование элементарных работ заменяется криволинейным интегралом. Полная работа силы при перемещении из начальной точки A в конечную точку B зависит от вида траектории LAB, по которой произошло это перемещение, и выражается в виде криволинейного интеграла вдоль линии движения от A к B.
.
(349)
Если заданы вектор силы и вектор скорости движения точки как функции времени, то криволинейный интеграл (349) может быть вычислен в виде интеграла по времени.
.
(350)
Как уже было замечено выше, полная работа силы при конечном перемещении в общем случае зависит от траектории движения материальной точки, а иногда и от закона ее движения по этой траектории.
Особый интерес в механике представляют такие силы, работа которых зависит лишь от начального и конечного положений точки. Существует обширный класс подобных сил, к числу которых можно отнести силы тяготения, силы упругости и силы электромагнитных взаимодействий.
Процесс вычисления работы для таких сил на конечных перемещениях значительно упрощается.
В самом общем случае сила, приложенная к материальной точке, является функцией ее координат, скорости и времени. Если сила зависит только от координат точки ее приложения или от взаимного расположения точек материальной системы, то такая сила называется позиционной.
Область пространства, в которой на помещенную туда материальную точку действует позиционная сила, являющаяся однозначной конечной и дифференцируемой функцией координат этой точки и времени, называется силовым полем. Поле называется стационарным, если сила явно не зависит от времени; в противном случае поле называется нестационарным.

139
Стационарное поле называется потенциальным, если существует функция U (x, y, z), дифференциал которой равен элементарной работе силы поля, взятой со знаком минус.
.
(351)
Функция U (x, y, z) называется потенциальной энергией или потенциалом силы. Условия существования силовой функции U (x, y,
z) можно вывести из вида полного дифференциала функции U (x, y, z), согласно его математическому определению.
.
(352)
Сравнивая формулы (351) и (352), получаем, что
(353)
Такая связь между скалярной числовой функцией U (x, y, z) и векторным полем может быть записана через вектор градиента потенциального поля:
.
(354)
где введен векторный оператор дифференцирования в трехмерном пространстве, называемый оператором набла:
.
(355)
Таким образом, при перемещении материальной точки в потенциальном силовом поле U (x, y, z) полная работа силы (349) не зависит от формы траектории и определяется лишь разностью значений потенциальной энергии в конечной и начальной точках.
.
(356)