Файл: Учебные материалы по дисциплине Теоретическая механика.pdf

115
Рис. 59.
Освободим тело от связи, мысленно разрезав нить в любом месте и добавив силу реакции связи, которую направим вдоль нити вверх, обозначив ее через Тело становится свободным. На него действуют две силы: сила веса - и сила натяжения нити - при этом тело находится в равновесии.
Согласно аксиоме о равновесии двух сил,
- эти силы равны по величине и противоположны по направлению.
Вырежем мысленно кусочек нити в любом месте и добавим в местах разреза силы реакции связи, обозначив их и
. Кусочек нити под действием двух сил находится в равновесии.
Следовательно, силы и равны по величине и действуют вдоль одной прямой в противоположные стороны. Таким образом, сила реакция связи не меняет своего значения вдоль нити, если сама нить при этом является невесомой.
Соединение тел с помощью шарниров.
Шарниром называется устройство, связывающее тела и позволяющее совершать вращение одного тела относительно другого. Цилиндрический
шарнир допускает вращение тел вокруг одной оси (и скольжение вдоль нее). Шарнирно-неподвижная опорапрепятствует любому поступательному движению, но дает возможность свободно вращаться вокруг оси шарнира.

116
Реакция шарнирно-неподвижной опоры проходит через центр шарнира и лежит в плоскости перпендикулярной к оси шарнира. Модуль и направлении силы как правило неизвестны.
Шарнирно-подвижная
опора не препятствует перемещению параллельно опорной поверхности. Эта связь может быть получена из шарнирно-неподвижной опоры, поставленная на катки.
Если не учитывать трения катков, то линия действия реакции такой опоры проходит через центр шарнира перпендикулярно опорной поверхности. Неизвестен только модуль этой реакции.
Шаровой шарнир. Шаровым шарниром называется устройство, позволяющее сочлененным телам, имеющим общую точку сочленения, совершать вращение в пространстве относительно друг друга вокруг общей точки. Шаровой шарнир состоит из сферической чаши, находящейся на одном теле, и сферического выступа того же диаметра на другом. Реакция в шаровом шарнире может иметь любое направление в пространстве.
Жесткая заделка. В случае заделки одного тела в другое реакция связи состоит из самой силы реакции и пары сил с некоторым моментом Величины и направления сил реакции неизвестны и определяется из общих уравнений равновесия твердого тела.

117
Пара сил.
Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил действующих на абсолютно твердое тело. Плоскостью действия пары сил называется плоскость, в которой расположены эти силы. Плечом пары сил d называется кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары.
Моментом пары сил называется вектор , модуль которого равен произведению модуля одной из сил пары на ее плечо и который направлен перпендикулярно плоскости действия сил пары в ту сторону, откуда пара видна стремящейся повернуть тело против хода часовой стрелки (см. рис.
60).
.
(299)
Рис. 60. Вектор момента пары сил
Теорема о сумме моментов пары сил. Сумма моментов сил, входящих в состав пары, относительно любой точки не зависит от выбора этой точки и равна моменту этой пары сил.
.
(300)

118
Выберем произвольно точку O и проведем из нее радиус-векторы в точки приложения сил точки A и B (см. рис. 61). Тогда моменты сил относительно точки O равны:
(301)
Учтем, что
Суммируя формулы (301), получаем:
.
(302)
.
(303)
Таким образом, вращающий момент пары сил имеет одно и то же значение при различном выборе системы координат и определяется лишь формулой (299).
Рис. 61. Вычисление момента пары сил относительно произвольной
точки O

119
Две пары сил называются эквивалентными, если их действие на твердое тело одинаково при прочих равных условиях. Приведем без доказательства теоремы об эквивалентных парах сил.
Теорема об эквивалентности пар сил. Пару сил, действующую на твердое тело, можно заменить другой парой сил, расположенной в той же плоскости действия и имеющий одинаковый с первой парой момент.
Теорема о переносе пары сил в параллельную плоскость. Действие пары сил на твердое тело не изменится от переноса этой пары в параллельную плоскость.
Следствия:
1. Пару сил как жесткую фигуру можно как угодно поворачивать и переносить в ее плоскости действия.
2. У пары сил можно изменять плечо и силы, сохраняя при этом момент пары и плоскость действия.
3. Момент пары сил, действующий на твердое тело, есть свободный вектор.
4. Две пары сил, действующих на одно и то же твердое тело, эквивалентны, если они имеют одинаковые по модулю и направлению моменты.
Теорема о сложении пар сил. Две пары сил, действующих на одно и то же твердое тело, и лежащие в пересекающихся плоскостях, можно заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.
.
(304)
Условия равновесия пар сил твердого тела.
Если на твердое тело действует несколько пар сил, расположенных произвольным образом в пространстве, то последовательно применяя правило параллелограмма к каждым двум моментам пар сил, можно любое количество пар сил заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.
(305)
Для равновесия всех пар сил твердого тела, необходимо и достаточно, чтобы суммарный момент всех пар сил, приложенных к телу (305), равнялся нулю.

120
(306)
В другой формулировке можно еще сказать, что для равновесия всех пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций моментов пар сил на каждую из трех координатных осей была равна нулю.
Приведение системы сил к заданному центру.
Равнодействующая системы сходящихся сил непосредственно находится с помощью сложения сил по правилу параллелограмма.
Очевидно, что аналогичную задачу можно будет решить и для произвольной системы сил, если найти для них метод, позволяющий перенести все силы в одну точку.
Рис. 62. Параллельный перенос силы с добавлением момента пары сил
Теорема о параллельном переносе силы. Силу, приложенную к абсолютно твердому телу, не изменяя оказываемого ею действия, можно переносить из данной точки в любую другую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно конечной точки перемещения.
Рассмотрим силу , приложенную в некоторой точке A. Действие этой силы не изменяется, если в точке B приложить две уравновешенные силы
Полученная система трех сил представляет собой силу равную
, приложенную уже в точке В и пару сил с моментом

121
Процесс замены силы силой и парой сил с моментом называется приведением силы к заданному центру В.
Приведение системы сил к заданному центру.
Основная теорема статики.
Любую произвольную систему сил, действующую на твердое тело, можно в общем случае привести к равнодействующей силе и равнодействующему моменту всех пар сил. Этот процесс замены системы сил одной силой и одной парой сил называется приведением системы сил
к заданному центру.
Главным вектором системысил называется вектор, равный векторной сумме этих сил.
.
(307)
Главным
моментом
системысилотносительно некоторой точки О твердого тела, называется вектор, равный векторной сумме моментов всех сил системы относительно этой точки.
(308)
Условия равновесия твердого тела.
Для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы сил (307) был равен нулю и главный момент системы сил относительно любого центра приведения (308) также был равен нулю.
.
(309)
В алгебраической форме записи уравнения (308) эквивалентны шести уравнениям в проекциях на оси декартовой системы координат. Для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы три суммы проекций всех сил на оси декартовых координат были равны нулю и три суммы моментов всех сил относительно трех осей координат также были равны нулю.

122
(310)
(311)
(312)
(313)
(314)
(315)
Условия равновесия плоской системы сил.
Допустим, что на твердое тело действует плоская система сил.
Расположим оси OX и OY в плоскости действия этих сил. Уравнения (312),
(313) и (314) при этом выполняются автоматически благодаря геометрической конфигурации задачи. Для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух прямоугольных осей координат, расположенных в плоскости действия сил, были равны нулю и сумма моментов этих сил относительно любой точки, находящейся в плоскости действия сил также была равна нулю. Таким образом, для плоской системы сил достаточно выполнения лишь трех уравнений (310), (311) и (312). Иногда эти три уравнения можно эквивалентным образом записать на языке моментов сил.
Теорема о трех моментах. Для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов этих сил относительно трех любых точек A, B, C, расположенных в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю.
.
(316)

123
Для любой плоской системы сил, действующих на твердое тело, имеется три независимых условия равновесия. Следовательно, для любой плоской системы сил из условий равновесия можно найти не более трех неизвестных. В случае пространственной системы сил, действующих на твердое тело, имеется шесть независимых условия равновесия.
Следовательно, для любой пространственной системы сил из условий равновесия можно найти не более шести неизвестных. Задачи, в которых число неизвестных не больше числа независимых условий равновесия для данной системы сил, приложенных к твердому телу, называются статически
определимыми. В противном случае задачи статически неопределимы.
Равновесие системы тел.
Рассмотрим равновесие сил, приложенных к системе взаимодействующих между собой тел. Тела могут быть соединены между собой с помощью шарниров или иным способом. Силы, действующие на рассматриваемую систему тел, можно разделить на внешние и внутренние
силы.Внешними называются силы, с которыми на тела рассматриваемой системы действуют тела, не входящие в эту систему сил. Внутренними называются силы взаимодействия между телами рассматриваемой системы.
При рассмотрении равновесия сил, приложенных к системе тел, можно мысленно расчленить систему тел на отдельные твердые тела и к силам, действующим на эти тела, применить условия равновесия, полученные для одного тела. В эти условия равновесия войдут как внешние, так и внутренние силы системы тел. Внутренние силы на основании аксиомы о равенстве сил действия и противодействия в каждой точке сочленения двух тел образуют равновесную систему сил.
Покажем это на примере системы двух тел и плоской системы сил (см. рис. 63). Если составить условия равновесия для каждого твердого тела системы тел в отдельности, то для тела I получаем:
(317)
Для тела II запишем аналогичные уравнения:
(318)
где
- силы реакции связи между телами I и II.

124
Рис. 63. Равновесие системы из двух твердых тел
Кроме того, из аксиомы о равенстве сил действия и противодействия для двух взаимодействующих тел получаем еще дополнительные уравнения.
(319)
Представленные соотношения (317), (318), (319) дают замкнутую систему уравнений, определяющих условия равновесия внешних сил действующих на систему.
Реакция заделки.
Рассмотрим балку АВ, один конец которой заделан в стену (см. рис.
64). Такое крепление конца балки АВ называется заделкой в точке B.
Допустим, что на балку действует плоская система внешних сил. Определим силы реакции связи, которые надо приложить к точке B балки, чтобы часть балки АВ можно было отбросить. В сечении балки в точке B приложены распределенные силы реакции связей. Если эти силы заменить элементарными сосредоточенными силами и затем привести их к точке B, то получим главный вектор сил реакции заделки и еще пару сил с моментом
(главный вектор моментов сил реакции относительно точки В).
Момент сил реакции называют моментом
заделки или реактивным моментом. Силу реакции заделки можно еще разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие

125
Рис. 64. Силы реакции заделки
Таким образом, заделка в отличие от шарнира, создает не только неизвестную по величине и направлению силу реакцию
, но еще и пару сил с неизвестным реактивным моментом в заделке.
Центр параллельных сил.
Допустим, что на твердое тело действует система параллельных сил
, точки приложения которых равны Ai (xi, yi, zi) (см. рис. 65). Для такой системы параллельных сил вводится понятие центра параллельных
сил. Выберем оси декартовой системы координат так, чтобы ось OZ была параллельна действующим силам.
Проекции векторов внешних сил на оси декартовой системы координат при этом равны:
(320)
Проекции сил на ось OZ обозначим просто символом Fi = Fz,i без индекса z. Определим точку C ,координаты которой вычислим по формулам:
(321)

126
Рис. 65. Система параллельных сил, приложенных к твердому телу
Точка C с координатами C (Xc, Yc, Zc) называется центром
параллельных сил.
Свойства центра параллельных сил:
1. Сумма моментов всех сил относительно точки C равна нулю
.
(322)
2. Если все параллельные силы повернуть на один и тот же угол, не меняя точек приложения сил, то центр новой системы параллельных сил также будет в точке С.
Параллельные силы, распределенные по отрезку прямой. а) Общий случай.
Допустим, что внешние параллельные силы распределены с некоторой интенсивностью
- вдоль перпендикулярного им отрезка направленного по оси OX: 0 ≤ x ≤ l, где l – длина этого отрезка (см. рис. 66). Требуется найти равнодействующую этой системы параллельных сил и точку центра параллельных сил XC, определяющую их суммарный момент относительно точки O:
M0 = R · XC.