Файл: Учебные материалы по дисциплине Теоретическая механика.pdf

99 где
.
(259)
Дальнейшие упрощения связаны с тем, что в качестве полюса подвижной системы координат выбирается точка центра масс системы
(A=C), для которой и
В этом случае формула для кинетического момента системы точек принимает вид:
.
(260)

100
Особый интерес вызывает такое расположение системы материальных точек, когда все они остаются неподвижными в системе отсчета S1. Тогда относительный момент количества движения (259) в системе S1. будет равен нулю и формула (260) преобразуется к совсем простому виду.
(261)
Вектор отвечает за вращательные степени свободы системы материальных точек. Этот случай соответствует динамике движения абсолютно твердого тела, кинетический момент которого равен сумме момента количества движения центра масс и моментов импульса вращения абсолютно твердого тела вокруг его центра масс. Вращательный момент импульса может быть выражен через моменты инерции системы и координаты вектора угловой скорости. где
.
(262)
Компоненты тензора моментов инерции вычисляются в подвижной системе отсчета по формулам аналогичным (221) – (226). В общем случае тензор моментов инерции определяется в системе S1. выражениями:
(263)
где индексы α,β принимают значения α,β
∈
{x, y, z}, а дельта-символ
Кронекера δα,β, часто используемый в линейной алгебре, определяется равенством:
.
(264)

101
Таким образом, уравнения динамики вращательного движения системы материальных точек, жестко скрепленных между собой (абсолютно твердого тела), по отношению к неподвижной системе координат S принимают вид:
.
(265)
Путем поворота координатных осей в системе S1 можно будет избавиться от центробежных моментов инерции в формуле (262). Тогда вектор кинетического момента абсолютно твердого тела можно будет выразить только через главные моменты инерции (235).
.
(266)
Конкретные значения моментов инерции для различных однородных тел будут приведены в следующей главе.

102
Раздел 6. Динамика и статика абсолютно твердого тела
Уравнения динамики абсолютно твердого тела.
Законы динамики абсолютно твердого тела могут быть получены из общих теорем, описывающих законы движения системы материальных точек. Твердое тело можно рассматривать как систему бесконечного числа материальных точек, распределенных в пространстве и не меняющих своего взаимного расположения при движении системы как единого целого.
Изучение законов динамики абсолютно твердого тела проще всего начать с описания вращательного движения тела конечных размеров вокруг одной неподвижной оси. Выберем в качестве оси вращения ось OZ (см. рис. 54) и вычислим момент количества движения абсолютно твердого тела при таком вращении. Согласно формуле (247) момент импульса системы материальных тел определяется формулой:
.
(267)
Рис. 54. Кинетический момент абсолютно твердого тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси

103
В том случае, когда массы
Δmk = ρk ΔVk распределены непрерывно, знак суммы следует заменить на тройной интеграл от плотности тела ρk по всему его объему - V. Учтем также тот факт, что при вращении твердого тела вокруг оси, скорости движения всех его точек зависят лишь от угловой скорости вращения ω и от расстояния, отделяющего эти точки до оси вращения
(см. 34). vk = hk · ω.
(268)
Спроектируем результирующий вектор кинетического момента (267) на направление оси вращения OZ и учтем, что
Получаем:
(269)
Переходя в формуле (269) к непрерывному распределению масс, получаем:
Lz = ω · Jzz,
(270)
где
Jzz - момент инерции абсолютно твердого тела относительно оси вращения OZ.
(271)

104
Выражение (271) представляет собой тройной интеграл от произведения плотности ρ (x, y, z) на квадрат расстояния до оси вращения, вычисленный по всему объему абсолютно твердого тела. Эта формула является непосредственным обобщением соотношения (223) для момента инерции системы материальных точек. Таким образом, момент количества движения абсолютно твердого тела при вращательном движении вокруг неподвижной оси OZ равен произведению угловой скорости тела на его момент инерции относительно этой оси.
Уравнение динамики вращательного движения для этого случая получается непосредственно из формулы (249), спроектированной на ось вращения OZ.
(272)
Производная по времени от момента количества движения абсолютно твердого тела, взятого относительно неподвижной оси вращения, равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на тело относительно этой же оси.
Формула (272) позволяет рассчитать угловое ускорение ε и найти закон вращения твердого тела, если известны моменты внешних сил и геометрия распределения масс твердого тела, выраженная через момент инерции (271).
Движение твердого тела с одной закрепленной точкой.
Для изучения динамики вращения твердого тела с одной неподвижной точкой (точкой A) наряду с неподвижной инерциальной системой S отсчета будем рассматривать подвижную систему отсчета S1, жестко связанную с твердым телом. Выберем начала систем отсчета S и S1 совпадающими с точкой A (см. рис. 55).
Рис. 55. Подвижная система отсчета S 1, вращающаяся с твердым телом
вокруг неподвижной точки A в инерциальной системе координат S

105
При таком выборе систем координат кинетический момент движения твердого тела будет определяться лишь его вращениями вокруг точки A.
(273)
Хотя радиус векторы точек твердого тела в системах S и S1 совпадают преимущество используемого способа описания состоит в том, что переменные координаты различных точек твердого тела (xk; yk; zk) заменяются переменными векторами подвижного базиса системы координат S1.
(274)
.
(275)
При этом координаты точек твердого тела в подвижном базисе (x′ k ;
y′ k ; z′ k) остаются неизменными. Момент количества движения в системе
S1 может быть выражен через проекции вектора угловой скорости на орты
(276)
и компоненты тензора моментов инерции абсолютно твердого тела:
(277)
(278)
(279)

106
Центробежные моменты инерции равны:
(280)
(281)
(282)
Разложение вектора момента импульса по подвижному базису имеет вид:
(283)
где
(284)
Надлежащим выбором направления осей системы S1 всегда можно добиться того, чтобы центробежные моменты инерции (280) – (282) были равны нулю. Тогда вектор кинетического момента твердого тела в главных осях принимает вид:
(285)
Уравнения динамики вращательного движения твердого тела с одной неподвижной точкой получаем из общей теоремы об изменении кинетического момента системы материальных точек (249).
.
(286)

107
Первое слагаемое в формуле (286) - относительная производная момента количества движения в подвижной системе координат S1 при как бы неподвижных ортах
(287)
Второе слагаемое в формуле (286) обусловлено вращением системы координат S1 и может быть выражено в главных осях (285) через определитель третьего порядка:
(288)
(289)
Спроектируем уравнение (286) на оси подвижной системы координат и получаем систему уравнений Эйлера, описывающую динамику вращательного движения твердого тела.
(290)
Наиболее известные точные решения уравнений Эйлера, которые справедливы при произвольных начальных условиях относятся к следующим случаям:
 Решения Эйлера для уравновешенного волчка, когда неподвижная точка и центр масс твердого тела совпадают.
 Решения Лагранжа для симметричного неуравновешенного волчка, когда Jxx = Jyy ≠ Jzz, а центр масс твердого тела лежит на оси OZ1.

108
 Решение Ковалевской для симметричного неуравновешенного волчка, когда Jxx = Jyy = 2Jzz, а центр масс твердого тела находится в плоскости OX1Y1Z1.
Многие практические задачи используют приближенные решения уравнений Эйлера, которые нашли широкое применение в технике, в частности в теории гироскопов. При решении таких задач необходимо знать моменты инерции некоторых простейших геометрических тел. Конкретные вычисления по формулам (277) - (279) приводят к следующим широко известным результатам.
Моменты инерции простейших тел, относительно их центра масс.
Тонкий однородный стержень длиной l и массой m:
x = y = 0, 0 ≤ z ≤ l.
(291)
Однородный прямоугольный параллелепипед массой m:
0 ≤ x ≤ α, 0 ≤ x ≤ b, 0 ≤ x ≤ c
(292)
Однородный прямой цилиндр радиусом основания R, высотой H и массой m:
x2 + y2 ≤ R2, 0 ≤ z ≤ H
(293)
Однородный эллипсоид с полуосями a, b, c и массой m:

109
(294)
Однородный шар радиуса R и массой m:
x2 +y2+z2 ≤ R2
(295)
Однородная тонкостенная сфера радиуса R и массой m:
x2 +y2+z2 = R2
(296)
Однородный прямой круглый конус радиусом основания R, высотой H и массой m:
.
(297)
Между различными моментами инерции относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс, имеется взаимосвязь, которая описываемая теоремой Штейнера (см. формулу
(227)). Момент инерции твердого тела относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между этими осями. Доказательство этой теоремы аналогично тому, чтобы было рассмотрено в предыдущей главе.

110
Аксиомы статики.
Задачи статики связаны с описанием условий равновесия твердых тел.
Равновесие или неподвижность тел конечных размеров возможны лишь в том случае, когда уравнения динамики дают тривиальные решения. Общие положения задач статики могут быть получены из уравнений динамики системы материальных точек. Однако, чтобы не заниматься обоснованием этих утверждений, можно сформулировать их виде отдельных независимых аксиом.
Аксиома о равновесии двух сил. Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по величине, и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны.
Аксиома о добавлении (отбрасывании) уравновешенной системы
сил.Если на твердое тело действует система сил, то к ней можно добавить
(отбросить) уравновешенную систему сил. Полученная после добавления
(отбрасывания) новая система сил эквивалентна первоначальной.
Аксиома параллелограмма сил. Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую приложенную в той же точке и равную по величине и направлению диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах.

111
Модуль вектора равнодействующей силы может быть вычислен по формуле:
(298)
где
α- угол между направлениями сил и
Эта аксиома допускает и обратное толкование: Произвольную силу можно разложить бесчисленным множеством способов на две силы, приложенные в любой точке линии действия данной силы.
Аксиома о равенстве действия и противодействия. При всяком действии одного материального тела на другое имеет место такое же по величине, но противоположное по направлению противодействие.
Если к данному телу приложена сила воздействия от другого тела, то от данного тела к другому телу будет приложена сила , равная и прямо противоположная силе
Силы приложены в одной геометрической точке, но к разным телам.
Свободным твердым теломназывается тело, имеющее возможность получать любое движение из данного положения, для чего необходимо приложить соответствующую силу. При решении большинства задач механики приходится иметь дело с телами несвободными, т.е. лишенными возможности перемещаться в направлении действия приложенных к ним активных сил. Тела, ограничивающие движение рассматриваемого тела, называются связями. Сила, с которой связь действует на тело, препятствуя его перемещению в том или ином направлении, называется силой реакции
(противодействия) этой связи или просто реакцией связи.

112
Аксиома о связях.Эффект от действия связей такой же, как от действия определенных, дополнительных сил, которые могут быть приложены к свободному телу вместо связей. Аксиому о связях называют также принципом освобождения от связей. Согласно этой аксиоме, не изменяя равновесия тела, каждую связь можно отбросить, заменив ее реакцией связи.
Силы, которые могут сообщать свободному телу движение, называются активными силами. Приложив к телу, кроме активных сил, реакции связей, можно рассматривать тело как свободное. Активные силы и силы реакции называются внешними силами.
Пусть, например, на гладкой неподвижной горизонтальной плоскости покоится шар. Плоскость, ограничивающая движение шара, является для него связью. Если мысленно освободить шар от связи, то для удержания его в покое к нему в точке касания с плоскостью нужно приложить силу , равную по модулю весу шара и противоположную ему по направлению.
Сила и есть реакция плоскости (реакция связи). Шар, освобожденный от связи, будет свободным телом, на которое действует задаваемая (активная) сила и реакция плоскости
Рис. 56. Иллюстрация принципа освобождения от связей для шара,
лежащего на горизонтальной плоскости
Теоремы статики.
Теорема о переносе силы вдоль линии действия. Действие силы на твердое тело не изменится при переносе силы вдоль линии своего действия.
Действительно сила эквивалентна системе из трех сил
(см. рис.
57) при условии, что

113
Система из двух сил имеет нулевую равнодействующую, поэтому сила эквивалентна силе
Рис. 57. Иллюстрация теоремы о переносе силы вдоль силы ее действия
Теорема о трех силах.Если твердое тело под действием трех сил, две из которых пересекаются в одной точке, находится в равновесии, то линии действия таких трех сил пресекаются в одной точке. Действительно система двух сил эквивалентна некоторой равнодействующей
(см. рис. 58). Поскольку твердое тело находится в равновесии, то
Следовательно, силы и лежат на одной прямой и все три силы пересекаются в одной точке.

114
Рис. 58. Теорема о трех силах
Соединение тел между собой.
При решении задач статики приходится рассматривать сразу несколько твердых тел, которые могут быть связаны между собой разными способами.
Рассмотрим возможные способы такого соединения.
Опора на поверхность.
Если соприкасаются абсолютно гладкие тела, то силы взаимодействия между ними направлены по общей нормали к их поверхностям в точке соприкосновения.
Связь с помощью нитей, цепей или тросов.
Связь, осуществляемая в виде гибкой нерастяжимой и невесомой нити, не дает удаляться телу от точки подвеса. Поэтому реакция натянутой нити также направлена вдоль нити, к точке подвеса (см. рис. 59).