Файл: Учебные материалы по дисциплине Теоретическая механика.pdf
Добавлен: 12.12.2023
Просмотров: 234
Скачиваний: 5
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Раздел 5. Динамика системы материальных точек
Введение
Механической системой называется любая система материальных точек и тел. Внешними силамимеханической системы называются силы, с которыми действуют тела не входящие в рассматриваемую систему, на материальные точки данной механической системы Равнодействующая всех внешних сил приложенных к k-ой точке (точке с номером - k) обозначается
(от латинского exterior - внешний). Внутренними силами механической системы называются силы взаимодействия между точками и телами рассматриваемой системы. Равнодействующая всех внутренних сил приложенных к точке обозначается
(от латинского interior - внутренний). Это разделение является условным и зависит от того, какая механическая система рассматривается. Внутренние силы системы обладают следующими свойствами:
Главный вектор (векторная сумма) всех внутренних сил системы точек равен нулю при любом состоянии системы.
(211)
Действительно согласно третьему закону Ньютона, любые две точки системы действуют друг на друга с силами равными по величине, но противоположными по направлениям. Векторная сумма этих сил равна нулю. Все внутренние силы являются просто векторной суммой таких парных сил. Поэтому сумма всех внутренних сил равна нулю.
При любом состоянии системы векторная сумма всех внутренних моментов сил системы (главный внутренний момент силы) относительно любой точки или оси равен нулю.
(212)
(213)
87
Доказательство этого факта аналогично рассмотренному выше. Любые две точки системы действуют друг на друга с равными по величине, но противоположно направленными силами. Сумма моментов этих сил относительно любой точки или оси равна нулю. Все внутренние силы являются суммой таких парных сил. Поэтому сумма моментов всех внутренних сил относительно любой точки или оси также равна нулю.
Законы движения системы материальных точек могут быть получены из основного уравнения динамики (второго закона Ньютона), записанного для каждой из N таких точек, входящих в систему.
(214)
Геометрия масс.
Рассмотрим механическую систему, которая состоит из конечного числа N материальных точек с массами m1, m2, ... mN, а положение точек в пространстве задается радиус-векторами тогда центром масс механической системы называется геометрическая точка C, радиус-вектор которой определяется выражением:
(215)
где
- суммарная масса всех точек системы.
Рис. 51. Центp масс системы материальных точек
88
Центр масс является не материальной точкой, а геометрической. Центр масс характеризует распределение масс в системе и часто позволяет описывать некоторые общие свойства системы, как будто имеется одна единая точка с массой M, находящаяся в месте, на которое указывает радиус- вектор
(215). Координаты вектора центра масс вычисляются по формулам:
(216)
(217)
(218)
Моменты инерции.
Для описания распределения масс в системе при изучении ее вращательных вводится понятие моментов инерции. Момент инерции системы относительно некоторой точки, например, относительно начала координат вычисляется по формуле.
(219)
Величина J0 называется полярным моментом инерции относительно точки О, где ρk – расстояние от текущей точки с номером k до начала координат - точки О. Полярный момент инерции обычно используется для описания динамики вращений плоской системы материальных точек вокруг оси перпендикулярной плоскости, в которой они находятся.
89
Момент инерции относительно оси lвычисляется по формуле:
.
(220)
где
rk– расстояние от точки c номером k до оси l. Момент инерции относительно оси обычно используется при рассмотрении задач вращения системы материальных точек вокруг некоторой фиксированной оси, не меняющей своего направления.
Моменты инерции одинаковых по форме однородных тел, изготовленных из разных материалов, отличаются друг от друга.
Моменты инерции относительно осей координат
(221)
(222)
(223)
Центробежные моменты инерции
(224)
(225)
(226)
Между различными моментами инерции относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс, имеется взаимосвязь, описываемая теоремой Штейнера.
90
Момент инерции системы материальных тел относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы системы M на квадрат расстояния d между этими осями.
(227)
Рассмотрим две декартовы системы координат OXYZ и CX'Y'Z', оси которых параллельны. Допустим, что начало координат второй системы
CX'Y'Z' находится в центре масс – точке C. системы. Вычислим моменты инерции относительно осей OZ и CZ' (см. рис. 52).
Рис. 52. Теорема Штейнера связывает моменты инерции системы тел
относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через
центp масс системы
.
(228)
91
Координаты материальных точек, входящих в состав системы, связаны между собой соотношениями:
,
(229)
где
- декартовы координаты радиус-вектора точки C - центра масс системы. Подставляем формулы (229) в (228) и получаем:
(230)
Центр масс системы материальных точек расположен в начале координат системы отсчета CX'Y'Z', поэтому два последних слагаемых в формуле (230) обращаются в нуль.
.
(231)
Первое слагаемое в формуле (230) представляет собой момент инерции системы материальных точек относительно оси CZ'. Учтем также и то, что расстояние d между двумя параллельными осями OZ и CZ' выражается формулой:
(232)
92
Следовательно, можно записать соотношение
(233)
доказывающее справедливость теоремы Штейнера.
Моменты инерции системы материальных точек обычно используются в том случае, когда взаимное расположение точек по отношению друг к другу остается неизменным. Предполагается, что хотя каждая из точек материальной системы может каким-то образом перемещаться по отношению к началу координат, существует некоторая подвижная система отсчета O1X1Y1Z1 , в которой эти точки остаются неподвижными. Иными словами относительное движение точек в системе отсчета S1 полностью отсутствует.
Моменты инерции системы тел вычисляются, как правило, в этой неподвижной по отношению к точкам системе координат S1. В общем случае имеется 6 независимых компонент у величины, которая называется тензором моментов инерции и может быть записана в виде следующей таблицы:
.
(234)
В курсе линейной алгебры доказывается, что всегда за счет поворота осей можно выбрать такую систему координат, в которой тензор моментов инерции будет иметь лишь диагональные значения, а все центробежные моменты инерции будут равны нулю.
.
(235)
Такая система координат называется главными осями инерции системы материальных точек. Моменты инерции, вычисленные относительно главных осей, называютсяглавными моментами инерции.
Нахождение главных осей и главных моментов инерции системы материальных тел существенно упрощается, если в расположении точек системы существует некоторая геометрическая симметрия.
93
Общие теоремы динамики системы тел.
Количество движения системы.
Количеством движения (импульсом) системы материальных точек называется векторная сумма импульсов всех точек системы.
.
(236)
Дифференцируя формулу (215) по времени, получаем, что суммарный импульс системы тел можно выразить через общую массу системы M и скорость движения центра масс
.
(237)
Производная по времени от количества движения системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему.
(238)
Справедливость данного утверждения вытекает непосредственно из второго закона Ньютона, записанного для каждой из точек системы (214).
(239)
Складывая все N уравнений вида (239) и учитывая равенство (211), получаем теорему об изменении количества движения системы
материальных точек (238).
В дифференциальной форме данную теорему можно записать в виде равенства:
(240)
Дифференциал количества движения системы тел равен векторной сумме элементарных импульсов всех внешних сил, действующих на систему.
94
В интегральной форме теорема об изменении импульса системы материальных точек звучит так. Изменение количества движения системы за какой-либо промежуток времени равно векторной сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему за этот же промежуток времени.
.
(241)
Законы сохранения количества движения.
Из теоремы об изменении количества движения (238) системы материальных точек имеются важные следствия. Если главный вектор всех внешних сил, действующих на систему равен нулю, то такая система тел называется замкнутой:
(242)
Для замкнутой системы тел суммарный вектор импульса (236) остается неизменной величиной, как по модулю, так и по направлению при любых внутренних взаимодействиях материальных точек, входящих в эту систему.
(243)
Это утверждение называется законом сохранения импульса замкнутой системы тел, и оно часто применяется при описании процессов столкновения и соударения различных тел, входящих в эту изолированную от внешних воздействий систему.
Закон сохранения количества движения можно выразить в терминах поведения центра масс системы: В замкнутой системе тел центр масс системы сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, в котором он находился, при любых внутренних взаимодействиях между материальными точками этой системы.
95
Если условие (242) не выполнено, то система не является замкнутой и суммарный вектор импульса (236) может изменяться. Однако, если проекция главного вектора всех внешних сил, действующих на систему, на какую-либо ось равна нулю, например на ось OZ,
,
(244)
то, несмотря на непостоянство вектора количества движения системы
, проекция этого вектора на ось Z , будет оставаться постоянной величиной.
(245)
Это утверждение называется законом сохранения проекции
импульса незамкнутой системы материальных точек.
В общем случае для произвольной незамкнутой системы тел описание законов ее движения представляет собой довольно сложную задачу.
Ключевым моментом при решении этой задачи является расчет поведения центра масс системы. Оказывается, что центр масс системы движется так же, как и материальная точка с суммарной массой M под влиянием всех внешних сил, приложенных к рассматриваемой механической системе.
.
(246)
Это утверждение, непосредственно вытекающее из формул (238) и
(237) называется теоремой о движении центра масс. Таким образом, первый шаг при расчете поведения системы материальных точек, находящейся под влиянием некоторых внешних сил состоит в том, что необходимо будет найти закон движения центра масс такой системы как решение дифференциальных уравнений динамики одной точки.
Момент количества движения системы.
Моментом количества движениясистемы материальных точек относительно некоторого центра – начала координат, точки O, называется векторная сумма моментов импульса отдельных точек этой системы
.
(247)
96
Моментом количества движениясистемы материальных точек относительно какой-либо оси, проходящей через центр O, например оси OZ, называется проекция Lz вектора количества движения (247) на эту ось.
.
(248)
Производная по времени от момента количества движения системы равна векторной сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему. Данное утверждение называется теоремой об изменении
кинетического момента (момента импульса) системы материальных тел.
.
(249)
Справедливость данного утверждения вытекает непосредственно из закона изменения момента импульса (257), записанного для каждой из точек системы.
.
(250)
Складывая все N уравнений вида (250) и учитывая равенство (212), приходим к формуле (249), выражающей теорему об изменении момента
количества движения системы тел. В том случае если имеется изолированная система, на которую не действуют внешние силы, или в случае замкнутой системы, для которой сумма моментов внешних сил равна нулю, получаем из (249) закон сохранения кинетического момента:
(251)
97
Для замкнутой системы тел суммарный вектор момента импульса
(247) остается неизменной величиной, как по модулю, так и по направлению при любых внутренних взаимодействиях материальных точек, входящих в эту систему. Если система не замкнута, но равна нулю одна из проекций вектора главного момента внешних сил, например проекция на ось OZ:
(252)
то будет сохраняться не весь вектор кинетического момента, а лишь его проекция на эту ось OZ.
(253)
Динамика системы материальных точек в подвижных
координатах.
Особо следует рассмотреть случай сложного описания движения материальных точек системы относительно подвижной системы координат
S1 с некоторым полюсом – точкой A (см. рис. 53.)
Рис. 53. Сложное движение системы материальных точек относительно
подвижной неинерциальной системы отсчета S1
Введем в подвижной системе координатах S1 радиус-векторы материальных точек, которые будем обозначать дополнительным штрихом
Радиус-вектор точки A, начала координат системы S1, позволяет связать координаты точек в подвижной и неподвижной системах.
98
.
(254)
Скорости точек в неподвижных координатах S выражаются через относительные скорости в системе S1
.
(255)
и вектор угловой скорости вращения подвижной системы координат см. (197):
.
(256)
Подставляем (256) в выражение для суммарного импульса системы
(236) и находим:
(257)
(258)
где
- радиус-вектор и скорость центра масс, точки C, в системе отсчета S1. В частности, если в качестве полюса системы S1 выбрать точку центра масс системы (A=C), то формула (258) приобретает совсем простой вид (237).
Выразим теперь вектор суммарного момента количества движения через параметры подвижной системы координат S1.
Введение
Механической системой называется любая система материальных точек и тел. Внешними силамимеханической системы называются силы, с которыми действуют тела не входящие в рассматриваемую систему, на материальные точки данной механической системы Равнодействующая всех внешних сил приложенных к k-ой точке (точке с номером - k) обозначается
(от латинского exterior - внешний). Внутренними силами механической системы называются силы взаимодействия между точками и телами рассматриваемой системы. Равнодействующая всех внутренних сил приложенных к точке обозначается
(от латинского interior - внутренний). Это разделение является условным и зависит от того, какая механическая система рассматривается. Внутренние силы системы обладают следующими свойствами:
Главный вектор (векторная сумма) всех внутренних сил системы точек равен нулю при любом состоянии системы.
(211)
Действительно согласно третьему закону Ньютона, любые две точки системы действуют друг на друга с силами равными по величине, но противоположными по направлениям. Векторная сумма этих сил равна нулю. Все внутренние силы являются просто векторной суммой таких парных сил. Поэтому сумма всех внутренних сил равна нулю.
При любом состоянии системы векторная сумма всех внутренних моментов сил системы (главный внутренний момент силы) относительно любой точки или оси равен нулю.
(212)
(213)
87
Доказательство этого факта аналогично рассмотренному выше. Любые две точки системы действуют друг на друга с равными по величине, но противоположно направленными силами. Сумма моментов этих сил относительно любой точки или оси равна нулю. Все внутренние силы являются суммой таких парных сил. Поэтому сумма моментов всех внутренних сил относительно любой точки или оси также равна нулю.
Законы движения системы материальных точек могут быть получены из основного уравнения динамики (второго закона Ньютона), записанного для каждой из N таких точек, входящих в систему.
(214)
Геометрия масс.
Рассмотрим механическую систему, которая состоит из конечного числа N материальных точек с массами m1, m2, ... mN, а положение точек в пространстве задается радиус-векторами тогда центром масс механической системы называется геометрическая точка C, радиус-вектор которой определяется выражением:
(215)
где
- суммарная масса всех точек системы.
Рис. 51. Центp масс системы материальных точек
88
Центр масс является не материальной точкой, а геометрической. Центр масс характеризует распределение масс в системе и часто позволяет описывать некоторые общие свойства системы, как будто имеется одна единая точка с массой M, находящаяся в месте, на которое указывает радиус- вектор
(215). Координаты вектора центра масс вычисляются по формулам:
(216)
(217)
(218)
Моменты инерции.
Для описания распределения масс в системе при изучении ее вращательных вводится понятие моментов инерции. Момент инерции системы относительно некоторой точки, например, относительно начала координат вычисляется по формуле.
(219)
Величина J0 называется полярным моментом инерции относительно точки О, где ρk – расстояние от текущей точки с номером k до начала координат - точки О. Полярный момент инерции обычно используется для описания динамики вращений плоской системы материальных точек вокруг оси перпендикулярной плоскости, в которой они находятся.
89
Момент инерции относительно оси lвычисляется по формуле:
.
(220)
где
rk– расстояние от точки c номером k до оси l. Момент инерции относительно оси обычно используется при рассмотрении задач вращения системы материальных точек вокруг некоторой фиксированной оси, не меняющей своего направления.
Моменты инерции одинаковых по форме однородных тел, изготовленных из разных материалов, отличаются друг от друга.
Моменты инерции относительно осей координат
(221)
(222)
(223)
Центробежные моменты инерции
(224)
(225)
(226)
Между различными моментами инерции относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс, имеется взаимосвязь, описываемая теоремой Штейнера.
90
Момент инерции системы материальных тел относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы системы M на квадрат расстояния d между этими осями.
(227)
Рассмотрим две декартовы системы координат OXYZ и CX'Y'Z', оси которых параллельны. Допустим, что начало координат второй системы
CX'Y'Z' находится в центре масс – точке C. системы. Вычислим моменты инерции относительно осей OZ и CZ' (см. рис. 52).
Рис. 52. Теорема Штейнера связывает моменты инерции системы тел
относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через
центp масс системы
.
(228)
91
Координаты материальных точек, входящих в состав системы, связаны между собой соотношениями:
,
(229)
где
- декартовы координаты радиус-вектора точки C - центра масс системы. Подставляем формулы (229) в (228) и получаем:
(230)
Центр масс системы материальных точек расположен в начале координат системы отсчета CX'Y'Z', поэтому два последних слагаемых в формуле (230) обращаются в нуль.
.
(231)
Первое слагаемое в формуле (230) представляет собой момент инерции системы материальных точек относительно оси CZ'. Учтем также и то, что расстояние d между двумя параллельными осями OZ и CZ' выражается формулой:
(232)
92
Следовательно, можно записать соотношение
(233)
доказывающее справедливость теоремы Штейнера.
Моменты инерции системы материальных точек обычно используются в том случае, когда взаимное расположение точек по отношению друг к другу остается неизменным. Предполагается, что хотя каждая из точек материальной системы может каким-то образом перемещаться по отношению к началу координат, существует некоторая подвижная система отсчета O1X1Y1Z1 , в которой эти точки остаются неподвижными. Иными словами относительное движение точек в системе отсчета S1 полностью отсутствует.
Моменты инерции системы тел вычисляются, как правило, в этой неподвижной по отношению к точкам системе координат S1. В общем случае имеется 6 независимых компонент у величины, которая называется тензором моментов инерции и может быть записана в виде следующей таблицы:
.
(234)
В курсе линейной алгебры доказывается, что всегда за счет поворота осей можно выбрать такую систему координат, в которой тензор моментов инерции будет иметь лишь диагональные значения, а все центробежные моменты инерции будут равны нулю.
.
(235)
Такая система координат называется главными осями инерции системы материальных точек. Моменты инерции, вычисленные относительно главных осей, называютсяглавными моментами инерции.
Нахождение главных осей и главных моментов инерции системы материальных тел существенно упрощается, если в расположении точек системы существует некоторая геометрическая симметрия.
93
Общие теоремы динамики системы тел.
Количество движения системы.
Количеством движения (импульсом) системы материальных точек называется векторная сумма импульсов всех точек системы.
.
(236)
Дифференцируя формулу (215) по времени, получаем, что суммарный импульс системы тел можно выразить через общую массу системы M и скорость движения центра масс
.
(237)
Производная по времени от количества движения системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему.
(238)
Справедливость данного утверждения вытекает непосредственно из второго закона Ньютона, записанного для каждой из точек системы (214).
(239)
Складывая все N уравнений вида (239) и учитывая равенство (211), получаем теорему об изменении количества движения системы
материальных точек (238).
В дифференциальной форме данную теорему можно записать в виде равенства:
(240)
Дифференциал количества движения системы тел равен векторной сумме элементарных импульсов всех внешних сил, действующих на систему.
94
В интегральной форме теорема об изменении импульса системы материальных точек звучит так. Изменение количества движения системы за какой-либо промежуток времени равно векторной сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему за этот же промежуток времени.
.
(241)
Законы сохранения количества движения.
Из теоремы об изменении количества движения (238) системы материальных точек имеются важные следствия. Если главный вектор всех внешних сил, действующих на систему равен нулю, то такая система тел называется замкнутой:
(242)
Для замкнутой системы тел суммарный вектор импульса (236) остается неизменной величиной, как по модулю, так и по направлению при любых внутренних взаимодействиях материальных точек, входящих в эту систему.
(243)
Это утверждение называется законом сохранения импульса замкнутой системы тел, и оно часто применяется при описании процессов столкновения и соударения различных тел, входящих в эту изолированную от внешних воздействий систему.
Закон сохранения количества движения можно выразить в терминах поведения центра масс системы: В замкнутой системе тел центр масс системы сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, в котором он находился, при любых внутренних взаимодействиях между материальными точками этой системы.
95
Если условие (242) не выполнено, то система не является замкнутой и суммарный вектор импульса (236) может изменяться. Однако, если проекция главного вектора всех внешних сил, действующих на систему, на какую-либо ось равна нулю, например на ось OZ,
,
(244)
то, несмотря на непостоянство вектора количества движения системы
, проекция этого вектора на ось Z , будет оставаться постоянной величиной.
(245)
Это утверждение называется законом сохранения проекции
импульса незамкнутой системы материальных точек.
В общем случае для произвольной незамкнутой системы тел описание законов ее движения представляет собой довольно сложную задачу.
Ключевым моментом при решении этой задачи является расчет поведения центра масс системы. Оказывается, что центр масс системы движется так же, как и материальная точка с суммарной массой M под влиянием всех внешних сил, приложенных к рассматриваемой механической системе.
.
(246)
Это утверждение, непосредственно вытекающее из формул (238) и
(237) называется теоремой о движении центра масс. Таким образом, первый шаг при расчете поведения системы материальных точек, находящейся под влиянием некоторых внешних сил состоит в том, что необходимо будет найти закон движения центра масс такой системы как решение дифференциальных уравнений динамики одной точки.
Момент количества движения системы.
Моментом количества движениясистемы материальных точек относительно некоторого центра – начала координат, точки O, называется векторная сумма моментов импульса отдельных точек этой системы
.
(247)
96
Моментом количества движениясистемы материальных точек относительно какой-либо оси, проходящей через центр O, например оси OZ, называется проекция Lz вектора количества движения (247) на эту ось.
.
(248)
Производная по времени от момента количества движения системы равна векторной сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему. Данное утверждение называется теоремой об изменении
кинетического момента (момента импульса) системы материальных тел.
.
(249)
Справедливость данного утверждения вытекает непосредственно из закона изменения момента импульса (257), записанного для каждой из точек системы.
.
(250)
Складывая все N уравнений вида (250) и учитывая равенство (212), приходим к формуле (249), выражающей теорему об изменении момента
количества движения системы тел. В том случае если имеется изолированная система, на которую не действуют внешние силы, или в случае замкнутой системы, для которой сумма моментов внешних сил равна нулю, получаем из (249) закон сохранения кинетического момента:
(251)
97
Для замкнутой системы тел суммарный вектор момента импульса
(247) остается неизменной величиной, как по модулю, так и по направлению при любых внутренних взаимодействиях материальных точек, входящих в эту систему. Если система не замкнута, но равна нулю одна из проекций вектора главного момента внешних сил, например проекция на ось OZ:
(252)
то будет сохраняться не весь вектор кинетического момента, а лишь его проекция на эту ось OZ.
(253)
Динамика системы материальных точек в подвижных
координатах.
Особо следует рассмотреть случай сложного описания движения материальных точек системы относительно подвижной системы координат
S1 с некоторым полюсом – точкой A (см. рис. 53.)
Рис. 53. Сложное движение системы материальных точек относительно
подвижной неинерциальной системы отсчета S1
Введем в подвижной системе координатах S1 радиус-векторы материальных точек, которые будем обозначать дополнительным штрихом
Радиус-вектор точки A, начала координат системы S1, позволяет связать координаты точек в подвижной и неподвижной системах.
98
.
(254)
Скорости точек в неподвижных координатах S выражаются через относительные скорости в системе S1
.
(255)
и вектор угловой скорости вращения подвижной системы координат см. (197):
.
(256)
Подставляем (256) в выражение для суммарного импульса системы
(236) и находим:
(257)
(258)
где
- радиус-вектор и скорость центра масс, точки C, в системе отсчета S1. В частности, если в качестве полюса системы S1 выбрать точку центра масс системы (A=C), то формула (258) приобретает совсем простой вид (237).
Выразим теперь вектор суммарного момента количества движения через параметры подвижной системы координат S1.