Файл: Электрический привод.pdf

149
3.1. Переходные процессы при постоянной скорости холостого хода
3.1.1. Механические переходные процессы
Предположим, что электромагнитные переходные процессы протекают быстро и не оказывают существенного влияния на переходные режимы приво- да. Тогда динамика системы будет описываться одним уравнением движения
c
d
M M
J
dt
ω
−
=
(3.1)
Полагая далее, что механическая характеристика двигателя линейная, мож- но записать её уравнение
0 2
R
M
c
ω = ω −
(3.2) где
0
/
/
a
a N
U c
U
c
ω =
= υ
– скорость холостого хода при напряжении на якоре
a
a N
U
U
= υ
;
υ – относительное значение напряжения;
0
/
/
a
c E
M I
=
ω =
– кон- станта, соответствующая номинальному потокосцеплению якоря;
a
R
r
= ρ – пол- ное сопротивление цепи якоря; 1
≤ ρ < ∞ относительное сопротивление цепи якоря.
Уравнения (3.1) и (3.2) можно представить в относительных единицах в виде:
c
m
d
T
dt
ν
μ − μ =
; (3.3)
ν = υ − ρμ , (3.4) где ,
c
μ μ – относительные значения электромагнитного момента двигателя и нагрузки, для которых базовой величиной является пусковой момент естест- венной механической характеристики
2 0
/
s N
n
a
M
c
r
= ω
;
0
/
N
ν = ω ω – относитель- ная скорость вращения, для которой базовой величиной является скорость иде- ального холостого хода естественной механической характеристики
0
/
n
a N
U
c
ω =
;
0 2
N
a
m
s N
r
T
J
J
c
M
ω
=
=
– электромеханическая постоянная времени, соответствующая приведённому моменту инерции на валу двигателя J.
Из уравнения (3.1) в конечных приращениях следует
0 0
0 0
N
N
m
s N
s N
M
J
t J
J
J
T
t
M
M
M
Δω
Δω
ω −
ω
Δ =
⇒ Δ =
=
=
=
Δ
Δ
−
т.е. электромеханическая постоянная времени это время, в течение которого привод, обладающий моментом инерции J, разгоняется без нагрузки из непод- вижного состояния до скорости идеального холостого хода.
Подставляя значение момента двигателя из (3.4) в (3.3), получим уравне- ние для скорости вращения в переходном процессе
m
c
c
d
T
dt
ν
ρ
+ ν = υ − ρμ = ν , (3.5)

150
а подставляя значение скорости – уравнение для электромагнитного момента:
m
c
d
T
dt
μ
ρ
+ μ = μ , (3.6) где
c
c
ν = υ − ρμ – относительная скорость вращения в статическом режиме.
Так как электромагнитный момент и ток якоря связаны линейной зависи- мостью
a
M
cI
=
, то уравнение для тока якоря будет иметь вид уравнения (3.6)
m
c
d
T
dt
ι
ρ
+ ι = ι , (3.7) где
,
c
ι ι – текущее и установившееся значения тока якоря, для которых ба- зовой величиной является пусковой ток естественной скоростной характери- стики
/
s N
a N
a
I
U
r
=
В уравнениях (3.5)-(3.7) напряжение
υ является управляющим воздействи- ем, а момент нагрузки
c
μ – возмущающим.
Характеристическое уравнения для скорости, момента и тока имеет вид:
1 0
m
T p
ρ
+ = , (3.7) а его корень
1
m
p
T
= −
ρ
. Отсюда выражение для скорости в переходном режиме
/(
)
m
t
T
c
Ae
− ρ
ν =
+ ν .
Скорость в начальном состоянии (0)
b
c
A
ν
= ν = + ν . Тогда
b
c
A
= ν − ν и
/(
)
(
)
m
t
T
b
c
c
e
− ρ
ν = ν − ν
+ ν . (3.8)
Аналогичный вид будут иметь уравнения для момента и тока
/(
)
(
)
m
t
T
b
c
c
e
− ρ
μ = μ − μ
+ μ ; (3.9)
/(
)
(
)
m
t
T
b
c
c
e
− ρ
ι = ι − ι
+ ι . (3.10)
На рис. 3.1, а и б показаны кривые переходных процессов при скачкообраз- ном изменении момента нагрузки ( )
c
t
μ
Заштрихованные площади на рис.
3.1, а соответствуют интервалам неуста- новившихся процессов, где динамиче- ский момент ( )
( )
/
0
c
m
t
t
T d
dt
μ − μ
= ρ
ν
≠ .
При набросе нагрузки в момент времени
a
t t
= возникает тормозной динамиче- ский момент, препятствующий разгону двигателя, а при сбросе нагрузки (
b
t t
= ) динамический момент разгоняет ротор, за счёт кинетической энергии, накоп- ленной в маховых массах.
Включение в цепь якоря добавоч-
Рис.3.1

151
ного сопротивления увеличивает электромеханическую постоянную времени, снижая пульсации момента двигателя и скорости вращения при скачках нагруз- ки [см. кривые ( )
t
′
μ
и ( )
t
′
ν
на рис. 3.1]. Такой же эффект возникает при увели- чении момента инерции маховых масс J, т.е. при установке маховика на валу двигателя.
Реакцию привода на скачки нагрузки можно изобразить на плоскости
νμ
, построив ординаты точек переходных режимов ( )
t
μ и ( )
t
ν для одинаковых мо- ментов времени. Годограф этих точек называется динамической механической характеристикой или фазовой траекторией (рис. 3.1, в). В данном случае он представляет собой участок abc статической механической характеристики.
Переходный процесс начинается в точке a, и далее вдоль отрезка ab. В точке b,
не достигнув статического режима b′, происходит сброс нагрузки и после этого рабочая точка движется по отрезку bc.
В случае нагрузки типа сухого и вязкого трения
0
c
c
M
M
k
=
+ ω можно по- лучить аналогичные зависимости. Уравнение движения в относительных еди- ницах тогда имеет вид
0
c
m
d
T
k
dt
ν
′
μ − μ =
+ ν , (3.11) где
2
/
a
k
kr c
′ =
. После подстановки в него электромагнитного момента двигате- ля, мы получим
0
(
1)
m
c
d
T
k
dt
ν
′
ρ
+
ρ + ν = υ − ρμ . (3.12)
Корень характеристического уравнения равен
1 1
m
m
k
p
T
T
′ρ +
= −
= −
′
ρ
, а устано- вившееся значение скорости
0 1
c
c
k
υ − ρμ
ν =
′ρ +
. Отсюда решение уравнения (3.12)
/
(
)
m
t T
b
c
c
e
′
−
ν = ν − ν
+ ν . (3.13)
Оно имеет такой же вид, как выражение (3.8). Отличие заключается только в величине электромеханической постоянной времени
m
m
T
T
′ < ρ и установив- шейся скорости. Значит, переходные процессы с приводе с такой нагрузкой бу- дут протекать быстрее, но по характеру будут аналогичны процессам в приводе с постоянной нагрузкой.
Уравнения (3.8)-(3.10) позволяют также исследовать динамику привода при реостатном пуске. Начальные и конечные значения токов на всех ступенях реостата одинаковы –
2
ι и
1
ι . Тогда из выражения (3.10) можно найти длитель- ность k-го межкоммутационного интервала
/(
)
1 1
2 2
(
)
ln
k
k m
t
T
c
c
c
k
k m
c
e
t
T
−
ρ
ι − ι
ι = ι − ι
+ ι ⇒
= −ρ
ι − ι

152
Так как const
m
T
=
и
1 2
ln const
c
c
ι − ι
=
ι − ι
, то эти длительности пропорциональны относительным значениям сопротивлений ступеней реостата
k
ρ .
Временные диаграммы тока и скорости при пуске двигателя постоянного тока независимого возбуждения показаны на рис. 3.2, б. Переключения ступе- ней обычно производится с помощью реле тока, реле времени или центробеж- ных реле.
3.1.2. Время пуска и торможения электропривода
Уравнение движения привода позволяет оценить длительность переходных режимов. Пуск и остановка любого электропривода являются неотъемлемыми элементами рабочего процесса. В некоторых технологических циклах они оп- ределяют условия выбора типа и мощности двигателя.
В большинстве приводов момент инерции, приведённый к валу двигателя, остаётся постоянным const
J
=
. Тогда уравнение движения можно преобразо- вать
c
d
dt J
M M
ω
=
−
Отсюда интервал времени, в течение которого скорость вращения изменяется от
1
ω до
2
ω
2 1
tp
c
d
t
J
M M
ω
ω
ω
=
−
∫
. (3.14)
Во многих приводах пусковой момент двигателя ограничивается и под- держивается почти постоянным системой управления или свойствами самого двигателя, как, например, у синхронных гистерезисных или у асинхронных двигателей. Если при этом момент нагрузки также постоянный, то длитель- ность пуска составляет
0
c
c
s
s
N
c
s
N
c
d
J
t
J
k M
M
k M
M
ω
ω
ω
=
=
−
−
∫
, (3.15)
Рис.3.2

153
где
/
s
s
N
k
M M
=
– кратность пускового момента const
s
M
≈
по отношению к номинальному
N
M ;
c
ω – скорость вращения в статическом режиме при момен- те нагрузки const
c
M
=
Если разгон происходит на холостом ходу, то
0
c
M
= и
0 0
s
s
N
J
t
k M
ω
=
. (3.16)
Умножим числитель и знаменатель в (3.16) на
0
/ 2
ω
. Тогда будет видно, что время пуска
2 2
0 0
0 2
2
s
s N
s N
J
J
t
k P
k P
ω
ω
=
≈
⋅
. (3.17) равно отношению кинетической энергии, которую нужно передать приводимо- му в движение механизму, к мощности двигателя в пусковом режиме, т.е. к мощности источника механической энергии.
Аналогичные выражения можно получить также для длительности тормо- жения двигателем
0
c
c
b
s
N
c
s
N
c
d
J
t
J
k M
M
k M
M
ω
ω
ω
=
=
−
−
+
∫
(3.18) и для режима торможения с отключённым двигателем
0
b c
c
J
t
M
ω
=
. (3.19)
Для двигателя с линейной механической характеристикой
0
(
)
M
h
= ω − ω , где h – жёсткость характеристики, динамический момент равен
0
/
d
c
c
M
Jd
dt M M
h M
h
g h
=
ω
=
−
= ω −
− ω = − ω, где
0
c
g
h M
= ω −
. Тогда дли- тельность переходного процесса
2 1
1 1
2 2
ln ln
d
tp
m
d
d
J
g h
M
t
J
T
g h
h
g h
M
ω
ω
ω
− ω
=
=
=
− ω
− ω
∫
. (3.20)
3.1.3. Электромеханические переходные процессы
Во многих случаях длительность электромагнитных процессов в приводе соизмерима с длительностью механических процессов. Тогда в уравнении ме- ханической характеристики двигателя нужно учесть инерционный характер электромагнитного момента. Уравнение Кирхгофа для цепи якоря с учётом ин- дуктивности обмотки имеет вид
a
a
a
a a
di
U
L
r i
E
dt
ω
=
+
+
Тогда с учётом соотношений, использованных при выводе уравнений (3.3) и (3.4), получим уравнение механической характеристики
0 2
2
a
a
e
L dM
r
d
M
T
c dt
c
dt
μ
ω =
+
+ ω ⇔
+ μ = υ − ν , (3.21)

154
где
/
e
a
a
T
L r
=
– электромагнитная постоянная времени цепи якоря.
Подставляя выражения для относительной скорости
ν и относительного момента
μиз (3.21) в (3.3), получим уравнения для скорости и момента
2 2
e m
m
c
c
d
d
T T
T
dt
dt
ν
ν
+
+ ν = υ − μ = ν
; (3.22)
2 2
e m
m
c
d
d
T T
T
dt
dt
μ
μ
+
+ μ = μ . (3.23)
Характеристическое уравнение для скорости и момента имеет вид
2 1 0
e m
m
T T p
T p
+
+ = , (3.24) а его корни
(
)
1,2 1
1 1 4 /
2
e
m
e
p
T T
T
= −
− ±
−
(3.25)
Если
/
4
m
e
m T T
=
> , то корни вещественные отрицательные
(
)
1,2 1
1 1 4 /
2
e
m
e
p
T T
T
= −
− ±
−
= −α ± β , (3.26) где
1
,
1 4 /
2
e
m
e
T T
T
α =
β = α −
В случае если
/
4
m
e
m T T
=
< , то корни комплексно-сопряжённые
(
)
1,2 1
1 4 /
1 2
e
m
e
p
j
T T
j
T
= −
− ±
− = −α ± γ , (3.27) где
4 /
1
e
m
T T
γ = α
−
Общее решение уравнения (3.22) при
4
m
< имеет вид:
(
)
( )
cos sin
t
c
t
e
A
t B
t
−α
ν
= ν +
β +
β , (3.28) где постоянные интегрирования A и B определяются из начальных условий
0
(0)
;
b
c
b
c
t
m
d
A
A
B
dt
T
=
ν
μ − μ
ν
= ν = ν +
= −α + β =
. (3.29)
Определив постоянные из (3.29) и подставив их в (3.28), получим решение в виде: sin
( )
cos
t
c
m
t
t
e
t
T
−α
⎡
⎤
⎛
⎞
Δμ
β
ν
= ν +
Δν ⋅
β + αΔν +
⎢
⎥
⎜
⎟ β
⎝
⎠
⎣
⎦
, (3.30) где
,
b
c
b
c
Δν = ν − ν Δμ = μ − μ .
Решение уравнения (3.23) нужно искать в виде
(
)
( )
cos sin
t
c
t
e
C
t D
t
−α
μ
= μ +
β +
β . (3.31)
Здесь также из начальных условий необходимо определить постоянные интегрирования C и D
0
(0)
;
b
b
b
c
t
e
d
C
C
D
dt
T
=
μ
υ − ν − μ
μ
= μ = μ +
=
= −α + β . (3.32)

155
Решив уравнения (3.32) и подставив решение в (3.31), получим sin
( )
cos
t
b
b
c
e
t
t
e
t
T
−α
⎡
⎤
⎛
⎞
υ − ν − μ
β
μ
= μ +
Δμ ⋅
β + αΔμ +
⎢
⎥
⎜
⎟ β
⎝
⎠
⎣
⎦
. (3.33)
Для случая
4
m
> общие решения уравнений (3.22) и (3.23) имеют вид:
1 2
( )
p t
p t
c
t
Ae
Be
ν
= ν +
+
; (3.34)
1 2
( )
p t
p t
c
t
Ce
De
μ
= μ +
+
. (3.35)
Постоянные интегрирования A, B, C и D определяются из уравнений
1 2
0
(0)
;
b
c
b
c
t
m
d
A B
p A p B
dt
T
=
ν
μ − μ
ν
= ν = ν + +
=
+
=
. (3.36)
1 2
0
(0)
;
b
b
b
c
t
e
d
C D
p C
p D
dt
T
=
μ
υ − ν − μ
μ
= μ = μ + +
=
=
+
. (3.37)
Определив постоянные, мы получим решения для скорости и момента
1 2
2 1
1 2
1 2
( )
p t
p t
c
m
m
e
e
t
p
p
p
p
T
p
p
T
⎛
⎞
⎛
⎞
Δμ
Δμ
ν
= ν +
Δν +
−
Δν +
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
⎝
⎠
⎝
⎠
, (3.38)
1 2
2 1
1 2
1 2
( )
p t
p t
b
b
b
b
c
e
e
e
e
t
p
p
p
p
T
p
p
T
⎛
⎞
⎛
⎞
υ − ν − μ
υ − ν − μ
μ
= μ +
Δμ +
−
Δμ +
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
⎝
⎠
⎝
⎠
. (3.39)
Рис.3.3

156
Кривые переходных процессов при набросе нагрузки от 0,1
b
μ =
до
0,6
c
μ =
при различных соотношениях постоянных времени m показаны на рис.
3.3. Из этих кривых видно, что при скачкообразном увеличении нагрузки ско- рость вращения падает. Это вызывает уменьшение ЭДС и, соответственно, рост тока якоря и электромагнитного момента двигателя. Однако из-за наличия ин- дуктивности увеличение тока происходит замедленно, поэтому в кривой скоро- сти возникает провал. Она падает ниже установившегося значения. При сбросе нагрузки наблюдается противоположная картина, когда скорость вращения в начале переходного процесса возрастет выше установившегося значения.
Таким образом, наличие индуктивности нарушает связь между угловой
скоростью и моментом двигателя, определяемую статической механической
характеристикой. Отклонение скорости отрицательно сказывается на работе многих приводов и на практике должно быть ограничено 5
…10% от устано- вившегося значения.
При колебательном переходном процессе помимо отклонения скорости существует также проблема перегрузки двигателя по току. Первый пик тока может превосходить значение, допустимое по условиям коммутации двигателя постоянного тока. Поэтому в цепь якоря необходимо вводить резистор, умень- шающий электромагнитную постоянную времени и за счёт этого снижающий колебательность переходного процесса и уменьшающий его продолжитель- ность.
Полученные выше результаты исследования переходных процессов спра- ведливы для приводов с двигателями постоянного тока независимого и парал- лельного возбуждения, а также для асинхронных приводов, если реакция на возмущающее воздействие с учётом перерегулирования не выходит за пределы рабочего участка статической механической характеристики.