Файл: Электрический привод.pdf

157 2
m
m
m
M
M
s
s
s
s
=
+
, то уравнение движения привода будет иметь вид:
2
m
m
m
M
d
J
s
s
dt
s
s
ω
=
+
. (3.40)
Перейдём к новой переменной с учётом того, что
0 0
(1
)
d
ds
s
dt
dt
ω
ω = ω −
= −ω
. Тогда уравнение (3.40) запишется как:
0 2
m
m
m
M
ds
J
s
s
dt
s
s
= − ω
+
. (3.41)
Разделяя переменные, получим
m
m
m
s
s
dt
T
ds
s
s
⎛
⎞
= −
+
⎜
⎟
⎝
⎠
, (3.42) где
0
m
m
T
J
M
ω
=
– некоторая величина, имеющая структуру электромеханической постоянной времени, и равная интервалу времени разгона привода с моментом инерции J из неподвижного состояния до скорости идеального холостого хода
0
ω с постоянным моментом, равным максимальному
m
M .
Из (3.42) время переходного режима из состояния со скольжением
b
s в со- стояние со скольжением
e
s равно
2
e
b
s
m
m
m
s
T
s
s
t
ds
s
s
⎛
⎞
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
. (3.43)
При пуске
1
b
s
=
2 0
1 1
ln
2 2
s
m
s
m
m
T
s
t
s
s
s
→
⎛
⎞
−
=
+
⎯⎯⎯
→∞
⎜
⎟
⎝
⎠
. (3.44)
Это значение стремится к бесконечности, отражая то, что конечное сколь- жение в идеальном переходном процессе является асимптотой. Если же при- нять для окончания переходного процесса стандартное отклонение в 5% от ус- тановившегося значения, то длительность пуска будет равна
2 1 0,05 1
1 1
ln
3 1,5 2
2 0,05 2 2 4
m
m
s
m
m
s
m
m
m
m
T
T
t
s
s
s
s
s
s
⎛
⎞
⎛
⎞
−
=
+
≈
+
⇔ τ =
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
, (3.45) где
s
τ – длительность по отношению к электромеханической постоянной вре- мени.
Функция ( )
s
m
s
τ
имеет минимум

158
min
0,407 1,22
m
s
s
=
τ
=
Время пуска в (3.45) определено по отношению к условной электромеха- нической постоянной времени, в которой в качестве пускового принят опроки- дывающий момент
m
M . Однако из определения электромеханической постоян- ной времени можно найти такое значение момента
s e
M , при котором время пуска при прочих равных условиях будет таким же, как при расчёте по выраже- нию (3.45), т.е.
0 0
2 1
1 3
3 2 2 2
2 0,25 1,5
m
s
m
m
m
m
m
s e
m m
s e
m
T
t
s
J
s
J
s
M
s
M
M s
M
s
⎛
⎞
⎛
⎞
ω
ω
=
+
=
+
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⇓
=
+
. (3.46)
Определённый таким образом эффек- тивный пусковой мо- мент
s e
M означает за- мену реальной меха- нической характери- стики двигателя на механическую харак- теристику двигателя с постоянным момен- том, равным эффек- тивному (рис. 3.4, а), которая обеспечивает пуск привода на холостом ходу за такое же время (рис.
3.4, б). Максимальным эффективным моментом при пуске по отношению к критическому моменту
/
0,81
s e
m
M
M
=
обладают двигатели с критическим скольжением
0,407
m
s
=
Торможение противовключением и реверсирование осуществляется пере- ключением двух фаз статора (рис. 3.5, а). Характеристики, иллюстрирующие переход из двигательного режима в режим противовключения, показаны на рис.
3.5, б.
При нулевом сопротивлении тормозного резистора
b
R рабочая точка a по- сле переключения перемещается в положение b. Если при этом включается тормозной резистор, то состояние двигателя при переводе ключа S в новое по- ложение соответствует точке c.
Из выражения (3.42) для времени переходного процесса с учётом того, что при торможении противовключением
2
b
s
= и
1
e
s
= можно получить выраже- ние, аналогичное (3.45)
Рис.3.4

159 0,75 0,75 0,345 0,345
b
m
m
b
m
m
m
t
T
s
s
s
s
⎛
⎞
=
+
⇔ τ =
+
⎜
⎟
⎝
⎠
. (3.47)
Функция ( )
b
m
s
τ
имеет минимум min
1,47 1,027
m
b
s
=
τ
=
Для режима торможения можно найти эффективное значение тормозного момента, аналогично тому, как это было сделано для режима пуска:
b e
M
=
Для критического сколь- жения, соответствующего ми- нимальному времени,
1,47
m
s
=
отношение эффек- тивного тормозного момента к максимальному равно
/
0,98
b e
m
M
M
=
Расчёт времени реверси- рования можно выполнить в два этапа: на первом по выра- жению (3.47) рассчитывается время торможения противовключением до нуле- вой скорости, а на втором время пуска по выражению (3.45).
Динамическое торможение выполняется отключением двигателя от сети и подключением к источнику постоянного тока, например, к выпрямителю как показано на рис. 3.6, а.
Характеристики, соответ- ствующие режиму динамиче- ского торможения коротко- замкнутого ротора и ротора со включёнными тормозными ре- зисторами, показаны на рис.
3.6, б.
Учитывая то, что при ди- намическом торможении
0 0
/
/
/
s
d
dt
ds dt
= ω ω ⇒ ω
= ω
, из уравнения движения(3.40) по- лучим время динамического торможения от начального
b
s до конечного
b
s скольжения:
2
ln
2 2
b
e
s
m
d
m d
m d
s
T
s
t
s
s
s
⎛
⎞
=
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
, (3.49)
Рис.3.5
Рис.3.6

160
где
m d
s – критическое скольжение в режиме динамического торможения;
0
/
m
m d
T
J
M
= ω
– электромеханическая постоянная времени для критического момента в режиме динамического торможения
m d
M
Для торможения без нагрузки
1
b
s
= , а 0,05
e
s
=
. Тогда время торможения
1 1
3 1,5 2 2 4
m
d
m
d
m
m
m
T
t
s
s
s
s
⎛
⎞
≈
+
⇔ τ =
+
⎜
⎟
⎝
⎠
, (3.50) т.е. это время вычисляется по выражению аналогичному времени пуска. Значит и эффективный момент при динамическом торможении можно вычислять по форму- ле (3.46). Однако при вычис- лении времени и эффектив- ного момента нужно учиты- вать, что максимальный мо- мент и критическое сколь- жение здесь зависят от схе- мы подключения обмоток статора и величины посто- янного тока в них (см. раздел
2.3.3.3).
Понятие эффективного момента можно использо- вать для оценки длительностей переходных режимов, если момент нагрузки не зависит от скорости вращения const
c
M
=
. В этом случае время определяется как
0
tp
s e
c
t
J
M
M
ω
=
±
, (3.51) где знак выбирается в зависимости от переходного режима: плюс в режимах торможения, а минус при разгоне.
3.2.2. Электромеханические переходные процессы
Наличие магнитных полей в асинхронном двигателе нарушает однознач- ные связи между электромагнитным моментом и скоростью вращения, а также между током и скоростью, устанавливаемые статическими характеристиками.
Статические характеристики определяются только параметрами машины и пи- тающей сети, а динамические также параметрами нагрузки. Поэтому каждый двигатель при заданном напряжении сети обладает только одной статической и множеством динамических скоростных и механических характеристик, пред- ставляющих собой фазовые траектории переходных процессов.
Асинхронная машина является сложной системой электрических цепей с магнитными связями и параметрами, зависящими от скорости вращения. При
Рис.3.7

161
подключении к сети в этих цепях возникают переходные токи, сильно отли- чающиеся от установившихся значений. Следовательно, и вращающий момент также будет отличаться от своего установившегося значения.
На рис. 3.7 показаны статические скоростная и механическая характери- стики
1
( )
ν ι и ( )
ν μ , а также динамические характеристики или фазовые траек- тории прямого пуска асинхронного короткозамкнутого двигателя на холостом ходу
1
( , )
t
ν ι
и ( , )
t
ν μ .
На начальном этапе механический переходный процесс сопровождается возбуждением магнитных полей в машине. Нестабильность магнитных потоков приводит к тому, что изменения тока и вращающего момента носят колеба- тельный характер. При этом их максимальные величины значительно превос- ходят пусковые значения, соответствующие статическому режиму и приводи- мые в справочных данных.
Режим возбуждения полей заканчивается приблизительно при достижении критического скольжения, после чего магнитные потоки стабилизуются на уровне статического режима и переходный процесс обретает монотонный ха- рактер.
Вблизи точки статического режима переходный процесс может снова стать колебательным (рис. 3.7), однако это зависит уже от соотношения электромаг- нитной и электромеханической постоянных времени, соответствующих стати- ческому режиму.
Исследование электромеханических переходных процессов в асинхронном приводе является обязательным для правильного выбора двигателя при задан- ных ограничениях на условия работы исполнительного механизма, а также па- раметров сети и элементов системы управления, т.к. при пуске динамические усилия и токи могут в 4
…6 раз превышать номинальные значения, а при ревер- се – в 8
…15 раз. При этом, как видно из рис. 3.7, момент валу может быть от- рицательным.
3.3. Переходные процессы в синхронном приводе
Анализ переходных режимов приводов с синхронными двигателями пред- ставляет значительные трудности в связи с большой сложностью физических явлений, происходящих в двигателе. Поэтому мы ограничимся рассмотрением наиболее распространённого переходного режима, связанного с изменением на- грузки.
Упрощённо можно считать, что вращающий момент синхронного двигате- ля складывается из трёх составляющих: синхронного M
ε
, реактивного
dq
M и асинхронного
a
M моментов
sn
dq
a
M
M
M
M
ε
=
+
+
Синхронный момент двигателя пропорционален синусу угла нагрузки
ϑ max sin
M
M
ε
ε
=
ϑ

162
где
1 0
max
1
p
d
mz U E
M
x
ε
=
ω
– максимальное значение момента m-фазного двигателя, обладающего индуктивным сопротивлением по продольной оси
d
x , соответст- вующее напряжению сети
1
U , частоте сети
1 1
2 f
ω = π и ЭДС основного магнит- ного потока
0
E .
Реактивный момент явнополюсных машин равен max sin 2
dq
dq
M
M
=
ϑ где
(
)
2 1
max
1 2
p
d
q
dq
d q
mz U x
x
M
x x
−
=
ω
– максимальное значение момента двигателя, об- ладающего индуктивным сопротивлением по поперечной оси
q
x . У неявнопо- люсных машин
d
q
x
x
≈ и
0
dq
M
= .
При наличии скольжения ротора относительно магнитного поля в его пус- ковой или успокоительной обмотке наводятся токи, создающие тормозной а- синхронный вращающий момент. Этот момент можно представить как
a
M
Cs
=
где C – некая константа, соответствующая жёсткости механической характери- стики асинхронного момента.
Так как разность скоростей вращения ротора и поля статора представляет собой скорость изменения угла нагрузки
ϑ, то
1 1
p
d
s
z
dt
ϑ
=
ω
. (3.52)
Тогда асинхронный момент
1
a
p
C d
d
M
D
z
dt
dt
ϑ
ϑ
=
=
ω
Таким образом, суммарный вращающий момент синхронного двигателя равен max max sin sin 2
sn
dq
d
M
M
M
D
dt
ε
ϑ
=
ϑ +
ϑ +
. (3.53)
Основное уравнение движения привода
sn
c
d
M
M
J
dt
ω
−
=
с учётом того, что
0 1
(1
)
p
d
s
z
dt
ϑ
ω = ω − = ω −
(3.54) и
2 2
d
d
dt
dt
ω
ϑ
= −
, имеет вид:
2
max max
2
sin sin 2
dq
c
d
d
M
M
D
M
J
dt
dt
ε
ϑ
ϑ
ϑ +
ϑ +
−
= −
. (3.55)

163
Пусть статический момент нагрузки имеет составляющие сухого и вязкого трения, т.е.
1
c
t
v
t
t
p
c
d
d
M
M
M
M
k
M
kz
k
M
k
dt
dt
∞
ϑ
ϑ
=
+
=
+ ω =
+
ω −
=
−
, (3.56) где
1
c
t
p
M
M
kz
∞
=
+
ω – установившееся значение статического момента при синхронной скорости вращения.
Подставляя (3.56) в (3.55), получим
2
max max
2
(
)
sin sin 2
dq
c
d
d
J
D k
M
M
M
dt
dt
ε
∞
ϑ
ϑ
+
+
+
ϑ +
ϑ =
. (3.57)
Уравнение (3.57) нелинейно и его решение сопряжено со значительными трудностями. Задача несколько упрощается, если ограничится неявнополюсной машиной, тогда
0
dq
M
= и
2
max
2
(
)
sin
c
d
d
J
D k
M
M
dt
dt
ε
∞
ϑ
ϑ
+
+
+
ϑ =
. (3.58)
Уравнение (3.58) можно линеаризовать, если перейти к малым отклонени- ям угла
Δϑ от установившегося значения
∞
ϑ , т.е.
∞
ϑ = ϑ + Δϑ . Тогда sin sin(
) sin cos cos sin sin cos
∞
∞
∞
∞
∞
ϑ =
ϑ + Δϑ =
ϑ
Δϑ +
ϑ
Δϑ ≈
≈
ϑ + Δϑ
ϑ
В установившемся режиме: 0
Δϑ = ,
2 2
0
d
dt
ϑ
=
,
d
dt
ϑ
и max sin
c
M
M
ε
∞
∞
ϑ =
. С учётом этого уравнение (3.58) принимает окончательный вид:
2 2
1 0
d
d
S
dt
T dt
J
Δϑ
Δϑ
+
+ Δϑ = , (3.59) где max cos
S M
ε
∞
=
ϑ , /(
)
T
J D k
=
+
Характеристическое уравнение
2 0
D k
S
p
p
J
J
+
+
+ = имеет корни
2 1,2 1
1 2
2
S
p
T
T
J
⎛
⎞
= −
±
−
⎜
⎟
⎝
⎠
Обычно
2 1
4
S
J
T
>
, поэтому корни уравнения комплексно-сопряжённые
2 1,2 1
1 2
2
S
p
j
j
T
J
T
⎛
⎞
= −
±
−
= −δ ± ν
⎜
⎟
⎝
⎠
, где
2 1
2
S
J
T
⎛
⎞
ν =
− ⎜
⎟
⎝
⎠
частота колебаний ротора в переходном режиме. При от- сутствии демпфирования, т.е. если асинхронный момент и момент вязкого тре-

164
ния равны нулю
0
D k
+ = и колебания будут незатухающими с собственной частотой
0
S
J
ν =
Общее решение уравнения (3.59) имеет вид:
(
)
1 2
sin cos
t
e
A
t A
t
−δ
Δϑ =
ν +
ν
Определив постоянные интегрирова- ния из начальных условий
0 0
0
;
0
d
dt
∞
Δϑ
Δϑ = ϑ − ϑ
= :
2 0
2 0
0 1
;
2 2
A
A
A
T
T
∞
Δϑ
= Δϑ = ϑ − ϑ
=
=
ν
ν
, получим для малых отклонений и скоро- сти их изменения
/(2 )
0 0
sin arctg 2
t
T
t
e
T
−
ν +
⎛
⎞
Δϑ ν
Δϑ =
⎜
⎟
+
ν
ν
⎝
⎠
(3.60)
/(2 )
0 0 2
1 1
(
)
arctg 2
sin arctg1/(
)
t
T
d
e
dt
T
t
T
T
−
Δϑ
=
Δϑ ν
+
×
ν
ν +
ν −
⎡
⎤
×
⎢
⎥
−
ν
⎣
⎦
(3.61)
Приращение вращающего момента двигателя линейно связано с прираще- нием угла, поэтому функция (3.60) соответствует также изменению момента.
На рис. 3.8 показаны временные диаграммы реакции двигателя на наброс и сброс нагрузки, а также соответствующие фазовые траектории.
Из полученных уравнений и рис. 3.8 следует, что переходные режимы в синхронном приводе практически всегда сопровождаются колебаниями ротора, что часто требует принятия особых мер для демпфирования этих колебаний.